по жидкой фазе д С(х, Я)
£ V-
дх
т „ д С(х, Я) „ - I т, - £ Ох-Ц)—- - £ О„ X
X
гд2С(х, Я)
д Я
по твердой фазе: д Сср (х, Я )
д х 2
1 дС ( х, Я) Я --------д-Я-------
(1)
= 0;
- (1- £) w■
дх
К + (1-£)Охд2Сср(X, Я)
- ср )
д х2
+ (1- £)О,
д2Сср(х, Я) 1 дСср(х, Я)
(2)
дЯ2
Я дЯ
= 0.
IV = -4 = (1- £)
дСср(х, Я)
д х
(3)
С(х, Я)|х = о = Свх(Я);
д С(х, Я)
д х
Сср (х, Я) д Сср (х, Я)
= 0;
1х = к
х = к
=С
д х
С(х, Я) д С(х, Я)
ср. ВХ (Я); = 0;
х = о
я = о
х = 0
= С,
дЯ
Сср ( х, Я ) д Сср (х, Я)
= 0;
х = к Я = 0
=С
ср. ВХ 5
дЯ
= 0.
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
(11)
Для описания равновесия ионного обмена воспользуемся уравнением изотермы Никольского:
К =
(С,х - С) ЛС
(ат - С) ЛС
(12)
В качестве уравнения кинетики используем уравнение диффузии в зерне сферической формы:
дС(г,т) _ ~ 1 д
дт
= °эф
,2д С(г , т) д г
(13)
Начальные и граничные условия к уравнению (13):
В уравнениях (1) и (2) мощности источника (стока) вещества в движущихся потоках жидкой и твердой фаз, обусловленные межфазным массо-переносом, связаны равенством:
С (г, т дС(г, т)
= С ;
т = 0 ср. вх'
д г
= 0;
г =0
О дС(г, т)
Оэф
Для решения уравнений (1) и (2) используем кусочно-итерационный метод [2], в соответствии с которым в каждый взвешенный слой ионита высотой к на /-ой тарелке входят потоки раствора и ионита с некоторым сложным начальным распределением концентрации целевого компонента по радиусу аппарата, соответствующим конечному распределению на выходе из предыдущей тарелки. На внутренней поверхности корпуса аппарата используем условие ееs непроницаемости для диффузии компонента. Граничные условия для уравнений (1) и (2) записываем следующим образом:
дг
= в[СвХ - Ср(С)].
(14)
(15)
(16)
Система уравнений (1) - (16) должна быть дополнена уравнением связи между средней концентрацией сорбируемого иона в частице Сср (х, Я) и
локальным её значением С (х, Я, г) на поверхности частицы:
w дСср ( х, Я ) = 3 Оэф дС ( х, Я, г ) дх г0 д г
(17)
В соответствии с кусочно-итерационным методом [2] примем, что в пределах взвешенного слоя ионита высотой к на /-ой тарелке существует постоянство кинетических параметров процесса и линейность изотермы адсорбции. Уравнение нелинейной изотермы Никольского (12) заменяется уравнением касательной к равновесной кривой С = /(С) в точке с координатами (Свх Ср/):
С - /(Свх/) = /(СвХ/)(С - СвХг).
(18)
В этом случае уравнение изотермы адсорбции примет вид:
С = тС + и.
(19)
Параметры т и и в уравнении (19) для случая одновалентных ионов (^Л = ^В) рассчитывают по формулам:
^ тК сС в
т=
[ СвХ + СвХг( Кс -1)]2
а тК сС в
и=
Я = Я0
Свх + Свх/(Кс - 1 )
Св
Свх + Свх/(Кс - 1 )-
(20)
, (21)
а для случая обмена двухвалентного иона на одновалентный (zA = 2 и zB = 1) по формулам:
Введем в рассмотрение новые переменные и безразмерные величины:
щ = (- С2хг1-Г +
4 2 КССвХ i
(22)
С,х| х =0 С
N =
С,
- С - С
-**ср
+
2 КеСвх^т + ( Свх Cвxi)
| х = 0 К = 0
С
Р
2КсСвх;(Свх Cвxi)л/4КеСвыат + (Свх ^х^У '
, , (Свх - Св.)В ^
и = I ащ + в К С-|х
2 ксСвх;
N
С - С
ср.
СР
£ = -• С = -
Ъ г ' ь С
СР
х=0 Я = 0
х
1 (Свх Cвxi )л/4 К0Свмащ + (Свх Свх^)~ '
V = В • х = Н! Г = Хл^ф • 7 =п' х = г)' = н
- а
(Свх Cвxi) ^ а2
- ап
В КС
(23)
X =
В
ф
Е =
7взф БхН
¿0 =
К^Взф
ф
н4Вг '
(27)
г0 ^
К =
ж =
Решение системы уравнение (13)-(16), (19) можно получить аналитическими методами по аналогии с решением известной задачи теплопроводности в сферической частице для граничных Подставим в уравнение материального балан-условий третьего рода [4]. Осуществляя замену са (1) уравнение (3) и запишем его и соответству-
т/Н 7Взф в
wН
„/Взф Вх
переменной по формуле
Х
т = -,
w
ющие ему граничные условия в новых переменных (27):
(24)
уЪЩХ, X) ж1-е)ЭNср(Х, X) ЭвX)
запишем решение системы уравнение (13)-(16), (19) в следующем виде:
ЭX
- У
Ср- Сг ( Г. Х ) _ В (Ср-Свх£^ ^ 8Ш Ц„ - Ц„ 008 Ц
СР
Ср
Цп - 81П Ц„ 008Ц„
х
дХ
. ()х2 X д X . N(X. X) ^ = 0 = NвХ(X)'
д X" = 0'
(25)
х 81пI Ц„- ехр
Ц„Взф х
ГoW
д N ( X. X) дХ
= 0'
X = 7вЭф/Вхх
N(X. X)|X =0 = NвХ,
где ри - корни трансцендентного уравнения:
Ц
X = 0
18 Ц = -
Ыщ - 1
(26)
д N (X. X)
дX
= 0'
Для получения решения системы уравнений (1)—(11) относительно неизвестных функций С(х, К)
и Сср (х, К) достаточно найти решение для одной функции С(х, К), т.е. решить уравнение (1). Функ
ж-
дNср(X. X) _ _ дN(X. X.£)
д X
= 3 X
д£
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
£ = 1
Преобразуем уравнение (28) для i-ой тарелки. ция Сср (х, К), после того как найдена функция Полагаем, что в правой части решения (25) мож-С(х, К), может быть легко получена из общего но огра™читься первым слагаемым бесконечно-уравнения материального баланса. В дальнейшем го ряда. С учетом зтогоподставим в правую часть
уравнения (33) вместо N (X, X, £) соответствующее выражение из решения (25) и продифференцируем
вместо системы уравнений (1) и (2) будем рассматривать только уравнение материального баланса по жидкой фазе (1) с соответствующими уравнение (33) по £. Затем полученное таким обра-
граничными условиями.
зом новое уравнение подставим в уравнение мате-
вх
0
риального баланса (28), которое для /-ой тарелки можно записать в виде:
, /)N (X, I) л д2N (X, I)
V—^— + Лгв--2--
дХ дХ2
д2N (X, I) 1 дN(X, I)
д I2
I д1
= 0,
(34)
С учетом (42) в уравнении (37) разделим переменные и приравняем каждую часть равенства к постоянной -ук2. Получаем
У
ф ;.' I + 1Ф иь = (X) + у ;<х)
[ Фг(1) ' " а
у ¿X) (43)
- Ь = - у к .
В результате получим два дифференциальных уравнения:
где Ах =
6 С /XNвх/( 8Ш \ 1 - Ц 008 Ц )2 \ - 8Ш \j00S \ )
Ф;'(1) + 1- Ф'(1) + к2 Ф/( I) = 0; (44)
Приведем уравнение (34) к более удобному виду. Для этого произведем замену функции Ni(X, I) на новую сначала по формуле:
Ni(X, I) = 0/(X, I)е
-\i\EX
(35)
а затем с учетом обозначений а = V + 2\ Е и Ь =
= V\ Е + \ Е2 по формуле:
Т/(X, I) = 0/(X, I) - ВЬ1.
(36)
у'.'^ - ау'^ + (Ь - ук2)|(X) = 0. (45)
Решения уравнений (44) и (45) имеют соответственно вид:
ФД) = СМЩ + С2ЛкЦ;
, . I Л/Л п I п -p2X
X) = Сзе + С4е ,
(46)
(47)
где Рх,2 = - 2) ^ - Ь + у к2; Сх, С2, Съ, С4 - произвольные постоянные.
Таким образом, частное решение дифферен-В этом случае уравнение материального ба- циального уравнения материального баланса (37)
ланса (34) и соответствующие ему граничные примет вид: условия (29)-(32) примут вид:
д2Т (X, I) , 1 дт (X, I)
д I2
+ а
I дЬ дВД I)
д2 ВД I)
д X2
Т/(X, I) = [С! Jо(kЬ) + С2^0(kЬ)] X X (С3е-Р1 X + С4е-^).
(48)
(37)
дX
- ЬТ(X, I);
Т, (X, I) X =0 = Т вХг (I);
д ВД I)
дX Т (X, I)
= 0;
X =рэф/О,
I = Т ■•
X =0 вхг'
I = 0
Постоянные Сх, С2, С3, С4 находим из граничных условий (38)-(41).
Учитывая условие (40) находим, что С2 = 0, т.к. концентрация на оси цилиндрического аппарата должна быть конечной и не может содержать бес-селеву функцию второго рода, которая стремиться к бесконечности при I —» 0. Следовательно, (39) из физических условий задачи постоянная С2 должна быть равна нулю. Получаем
(38)
дТ,(X, I)
д I
= 0.
(40)
(41)
Т/(X, I) = Jо(кЪ)(Сзе-^ + Сбе-^), (49)
где С5 = С1С3, С6 = С1С4.
Найдем постоянную к из граничного условия (41)
I = I,
дТ/(X, I)
Решение системы уравнений (37)-(41) будем искать в виде:
д I
= - Ых( к! )х
(50)
Т (X, I) = ^Ф^).
(42)
-_1_ п -PlX\ п
х (С5е + С6е ) = 0.
У
Отсюда следует, что в процессе ионообменной сорбции должно быть равенство
^о) = 0 . (51)
Данная функция имеет бесчисленное множество корней:
knX0 Оп' кп т • Xo
(52)
Таким образом, общее решение будет суммой всех частных решений
Т( X. X) = £ Jo( к„Ъ)(Сзпе-^ + С6п е-^). (53)
- Рв*,
п = 1
Постоянные С5п и С6п находим из условиями (38) и (39).
В соответсвии с условием (38) получаем:
Т вxi(X) £ С7 nJ0( кпX )?
(54)
п = 1
где С7п = С5п + С6п.
Умножим обе части равенства (54) на ZJ()(kщL) и проинтегрируем в пределах от 0 до X0:
|XTв1i(X) Jo(^) dX = |£ С7nXJ0(knX)
0 0 п =1
х
х
kщX)dX = £ С7п|XJo(knX)Jo(kщX)dX•
п =1 0
Все интегралы в правой части равенства (55) равны нулю за исключением одного, когда щ = п. Получаем
X2
\ XJ2o(knX) dX = ^).
Таким образом,
с7п
вв | XTвX Л X) J0( knX) dX xo
щХ 1 (knX0 )
Воспользуемся условием (39). Находим:
дТ д^
X
= л/Взф
= В х
£ ^^0(knX)(Р1 пС5пе
"Р^
+
п = 1
РВnX^S
+ Рв пС6п е )
X =
J Взф
= 0.
Поскольку J0(knL) Ф 0, то получаем
£( Р1 пС:
- p1лX , (-1 - pВnX \
5пе + рвпс6пе )
п = 1
(56)
(57)
(58)
= 0. (59)
В
Далее, подставляя С^п = С7п — Сбп в уравнение (55) (59) с учетом найденной постоянной С7п, находим значение С6п. Затем, зная С6п и С7п, нетрудно найти С5п. Опуская несложные, но громоздкие вычисления, запишем окончательное решение искомой задачи в прежних переменных:
X
0
X
X
X
0
X
С, (х. К) С
вх,|Х = 0
К=0
-ц1 Взф х
= 1- е
Ат+£
вJoI опКК
. тг1 р1п РВпх
Р1п е
-Рвп е
- В^ф (Р _ р
, п I РВп р1п
х
п = 1
К JВ (Оп )
Р1 п е
'Рвп е
х К
Свх ^__п свХ,'(к)
х=0 К=0
С
х = 0 К=0
А1
ь
JoI Оп^ IdК
(60)
0
Р1п
РВп
К
0
0
Уравнение (60) позволяет рассчитать распределение концентрации сорбируемого иона в жидкой фазе в радиальном и продольном направлени-
ях на ,-ой тарелке. Общая картина поля концентрации сорбируемого иона в растворе для аппарата в целом может быть получена в резуль-
Таблица 1. Ионный обмен в аппаратах с провальными тарелками
Величина показателя при обмене
Показатели Си2+ —Са2+ [10, 11] №2+—Н+ [12]
Опыт 1 Опыт 2 Опыт 3 Опыт 4 Опыт 5
Производительность аппарата по раствору Q х 106, м3/с 3.76 2.43 5.44 3.492 2.906
Производительность аппарата по иониту Q х 107, м3/с 0.83 1.75 4.2 0.611 1.745
Исходная концентрация ионов Си2+ в растворе Свх х 102, кг-зкв/м3 8.58 15.5 0.1446 1.87 1.87
Диаметр аппарата da, м 0.03 0.03 0.12 0.2 0.2
Высота слоя ионита на тарелке Н, м 0.04 0.03 0.07 3.63 9.66
Порозность слоя е 0.654 0.584 0.638 0.713 0.680
Количество тарелок Ыт 6 12 25 20 20
Козффициент продольной диффузии в жидкой фазе Вх х 105, м2/с 8.01 3.06 1.317 2.60 1.73
Козффици
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.