НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.2
ИСКАЖЕНИЕ ПОЛЯ СФОКУСИРОВАННОГО УЛЬТРАЗВУКОВОГО ПУЧКА КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ ЗА СЛУЧАЙНЫМ ФАЗОВЫМ СЛОЕМ © 2010 г. П. В. Юлдашев, Л. М. Крутянский*, В. А. Хохлова, А. П. Брысев*, Ф. В. Бункин*
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 119991 Москва, Ленинские горы E-mail: {petr, vera}@acs366.phys.msu.ru *Научный центр волновых исследований учреждения Российской академии наук Института общей физики им. А.М. Прохорова (филиал) 119991, ГСП-1, Москва, ул. Вавилова 38 E-mail: {krut,brysev}@orc.ru Поступила в редакцию 17.09.09 г.
Экспериментально и численно исследовано поле спектральных компонент сфокусированного ультразвукового пучка конечной амплитуды в воде за слоем, вносящим постоянный по величине и случайно распределенный в плоскости фазовый сдвиг. На основе полученных фокальных распределений поля и предложенного критерия определена степень сохранения фокусировки первых шести гармоник пучка, излучаемого на частоте 1.1 МГц. Рассмотрено несколько положений слоя по дальности от излучателя. Показано, что фокусировка высших гармоник может быть менее подвержена разрушению фазовым слоем, чем фокусировка волны основной частоты. Приведено сравнение расчета и эксперимента для двух частных случаев: 90-градусного и 180-градусного фазового слоя. Для последнего случая продемонстрировано избирательное разрушение фокусировки нечетных гармоник.
I. ВВЕДЕНИЕ
Случайный фазовый слой является распространенной моделью для изучения эффектов распространения волн в случайно-неоднородной среде [1—7]. В теоретических расчетах и при моделировании достаточно часто область случайно-неоднородной среды конечной толщины стягивается в бесконечно тонкий фазовый слой (фазовый экран) [2, 5—7]. В акустике модель фазового слоя используется для описания распространения звука через приземную атмосферную турбулентность, через кожу и жировые ткани при диагностических УЗ исследованиях и т.д. [1, 3, 4, 6, 7].
К настоящему времени большая часть результатов с моделью случайного фазового слоя получена в теории и для линейного распространения волн [2]. Сравнительно недавно были разработаны методы для исследования статистики плоских пилообразных волн и ударных импульсов за фазовым слоем [6, 7]. С практической точки зрения большое значение имеют задачи, связанные с исследованием волновых пучков [3, 4, 8, 9]. Так, задача о прохождении ультразвукового пучка конечной амплитуды через случайно-неоднородную среду представляет интерес как с общеволновой точки зрения, так и в связи с многочисленными приложениями в биомедицине [1], в неразрушающием контроле и пр. Например, в
ультразвуковой гипертермии и хирургии на пути интенсивного пучка встречаются существенные неоднородности — слои кожи и жира, соединительные ткани, кости. Неоднородности искажают фокусировку, реализуемую классическими методами, уменьшая полезное воздействие или приводя к нежелательным побочным эффектам из-за поражения здоровых тканей. В современной медицинской диагностике все большее распространение получают ультразвуковые приборы, в которых применяются режимы работы, использующие нелинейность среды распространения. Характерным примером является сканирование с использованием вторичной тканевой гармоники, когда распространение волны сопровождается генерацией высших гармоник [10, 12]. Искажение фокусировки упомянутыми неоднородностями уменьшает в такой аппаратуре пространственное разрешение, чувствительность и увеличивает ошибки измерений [3, 4, 9, 11].
Прохождение нелинейных пучков через фазовый слой в основном изучалось численными методами [11]. Недавно были выполнены первые работы по аналитическому описанию нелинейного пучка за фазовым слоем [9], а также эксперименты по прохождению нелинейных пучков через неоднородный фазовый слой [8, 9]. Результаты этих работ позволяют предположить, что
при определенных условиях фокусировка гармоники в неоднородной среде может иметь преимущества по сравнению с обычной фокусировкой пучка, излучаемого на частоте гармоники. Другими словами, одна и та же неоднородность может сильнее разрушать фокусировку пучка частоты /, чем фокусировку я-ой гармоники частоты //п, генерируемой в пучке.
Параллельно в нелинейной акустике недис-пергирующих сред давно обсуждается проблема контроля каскадных процессов генерации гармоник, приводящих к усиленному нелинейному поглощению акустических волн. Эта проблема актуальна в ультразвуковой технике и, особенно, в тех биомедицинских приложениях, где требуется доставка высокой акустической мощности в заданную область пространства. Такой контроль можно осуществлять, например, путем введения резонансных поглотителей на выбранных гармониках [13, 14]. Для этой же цели предлагалось введение фазового сдвига между гармониками (предиска-жение профиля) [15, 16]. По аналогии со вторым методом специально подобранный фазовый слой для избирательной расфазировки выделенной гармоники может представлять интерес как еще один перспективный метод управления процессом генерации гармоник.
Следует особо отметить, что создание слоя с заданными статистическими свойствами представляет собой отдельную интересную и важную задачу. Сходные проблемы возникают, например, при разработке случайных УЗ решеток для медицинских приложений [17]. Существенной особенностью здесь является необходимость учета технологических ограничений и, как следствие, применение псевдослучайного алгоритма и его оптимизация.
В данной работе рассматривался фазовый слой, состоящий из множества случайно расположенных в плоскости одинаковых круглых областей, дающих фиксированный фазовый сдвиг. Подобная модель была использована в работе [9] для экспериментального подтверждения выводов теории, основанной на модели фазового слоя с плавными изменениями фазы. При этом анализ проводился в условиях квазилинейного распространения пучка с учетом лишь первых двух гармоник и слабой модуляции фазы. Основное внимание при сравнении эксперимента и теории было уделено влиянию корреляционной длины слоя на фокусировку нелинейного пучка. Из общих соображений ясно, что такого рода фазовый слой при определенных величинах вносимого фазового сдвига должен обладать специальными свойствами в отношении фокусировки различных гармоник. В настоящей работе величина фазового сдвига подбиралась как раз такой, чтобы обеспечить специфические "резонансные" условия
для определенных гармоник. Кроме того, анализируется более полный их набор, включающий шесть первых гармоник и позволяющий полнее изучить особенности фокусировки пучка конечной амплитуды в рассматриваемой схеме. Численное моделирование показало, что фазовый слой предложенного типа действительно приводит к избирательному воздействию на поле высших гармоник. Полученные результаты были также подтверждены экспериментально.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
А. Уравнение Вестервельта
Для описания нелинейных и дифракционных эффектов в сфокусированном ультразвуковом пучке использовалось уравнение Вестервельта, которое в сопровождающей системе координат можно записать в виде:
= + £0 Др. (1)
дхдг 2р0£0 дт 2 Здесь р — акустическое давление, г — выделенное
направление вдоль оси пучка,т = I - z|£0, t — вре-
2 2 2 2 2 2 мя, Ар = д р/дг +д р/ду +д р/дх , х и у — поперечные к г пространственные координаты; р0, £0 и в — соответственно плотность, скорость звука и коэффициент нелинейности в среде. Заметим, что в отличие от широко используемого уравнения Хохлова-Заболотской [4, 6, 7, 12] в уравнении (1) не делается предположения о малости углов дифракции. В данной работе характерные размеры исследуемых неоднородностей составляют всего несколько длин волн, поэтому дифракционные эффекты необходимо учитывать более точно.
Запись уравнения (1) в сопровождающей системе координат удобна для дальнейшего построения численного решения, в котором использовался метод расщепления по физическим факторам [4, 11]. Нелинейные и дифракционные эффекты рассчитывались последовательно на каждом шаге вдоль направления распространения волны г, моделирование проводилось в спектральном представлении [12], т.е. решалась система уравнений для конечного числа гармоник исходной волны.
N
р(т,х,у,I) = ^ рп(х,у,z)exp(-Ипп/х). (2)
п = ^
Здесь / — основная частота волны. Так как нелинейные эффекты предполагались достаточно слабыми, то типичный расчет проводился с использованием восьми гармоник, из которых анализировались первые шесть. Нелинейный оператор рассчитывался методом Рунге-Кутта четвер-
того порядка точности для каждого из узлов сетки по поперечным пространственным координатам. Дифракционный оператор рассчитывался для каждой из гармоник методом углового спектра [18—20]. В соответствии с этим методом поле давления р„(х,у,г) и-ой гармоники в плоскости (х, у) на расстоянии г с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) разлагается в двумерный спектр р„(кх, ку, г) по пространственным частотам (кх, ку). Компоненты углового спектра на следующем шаге рп(кх, ку, г + Аг)
рп(кх, ку, г + Аг) = р„(кх, ку, г)Н(кх, ky, Аг)
(3)
получаются умножением на соответствующий фазовый множитель,
И{кх, ку,, Аг) = ехр [ /А г^к[-к1-к1\, (4)
который также называют передаточной функцией или пропагатором для данной компоненты углового спектра [20]. Обратное БПФ дает искомое поле рп(х,у,г + Аг). При достижении фазового слоя поле каждой гармоники умножается на фазовый множитель, задаваемый фазовым слоем:
р7(х,У,г) = рп(х,у,г)ехр[шф(х,y)], где ф(х,у) — функция, описывающая вариации фазы в слое на основной частоте.
Использование метода углового спектра (3) для расчета свертки исходного поля с функцией Грина в интеграле Рэлея выгодно отличается по скорости вычислений от непосредственного суммирования интеграла Рэлея за счет использования БПФ [11, 19]. Наряду с этим достоинством методу углового спектра, как любому решению в виде интеграла Рэлея, присущи определенные ограничения. Во-первых, предполагается, что волна распространяется только в одном направлении (в данном случае в положительном направлении оси г) и, тем самым, рассеяние назад не учитывается. Однако, если рассеяние назад слабо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.