научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО УСВОЕНИЯ ДАННЫХ ДЛЯ МОДЕЛИ ТЕРМОДИНАМИКИ БАЛТИЙСКОГО МОРЯ Геофизика

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО УСВОЕНИЯ ДАННЫХ ДЛЯ МОДЕЛИ ТЕРМОДИНАМИКИ БАЛТИЙСКОГО МОРЯ»

УДК 551.465.4.001.572

Исследование чувствительности оптимального решения задачи вариационного усвоения данных для модели термодинамики Балтийского моря

В. П. Шутяев*, Е. И. Пармузин*

Предложены алгоритмы исследования чувствительности оптимального решения к погрешностям данных наблюдений в задаче вариационного усвоения данных о температуре поверхности моря с целью восстановления потоков тепла для нестационарной системы уравнений термодинамики. Представлены численные эксперименты в приложении к модели термодинамики Балтийского моря.

Ключевые слова: математическое моделирование, вариационное усвоение данных, оптимальное управление, сопряженные уравнения, чувствительность к погрешностям.

1. Введение

При математическом моделировании изменений климата для разных районов планеты важную роль играет теория чувствительности избранных функционалов по отношению к характеристикам континентов, Мирового океана, начальным данным, внешним источникам и внутренним параметрам задачи. Исследование чувствительности климата позволяет на основе реальных данных ретроспективно оценить качество моделей и найти новые механизмы, ответственные за формирование климата.

В 1970-е годы Г. И. Марчук сформулировал фундаментальный подход к решению задачи долгосрочного прогноза погоды, основанный на так называемых сопряженных уравнениях для нелинейных моделей гидротермодинамики атмосферы и океана, дающих возможность построить функцию чувствительности для нестационарных нелинейных задач. Этот подход стал основным при решении важнейших задач диагноза, например при оценке роли аномалий поверхностной температуры океана в формировании средних аномалий температуры в разных районах земной атмосферы.

В дальнейшем в работах Г. И. Марчука было дано развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений для исследования чувствительности функционалов различных классов задач математической физики, которая оказалась плодотворной и для других направлений науки. В результате появились общие подходы к исследованию сложных систем и математических моделей. Эти подходы явились основным содержанием многолетних исследований Г. И. Марчука и его научной школы в разных областях математики и ее приложениях к проблемам диффузии, моделям охраны окружающей среды, теории

* Институт вычислительной математики Российской академии наук; e-mail: shutyaev@ inm.ras.ru.

климата и его изменений, математическим проблемам обработки информации со спутников и др. [21].

В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений на планете Земля очень важной является проблема получения и рационального использования данных измерений с целью ретроспективного анализа в разных областях знаний [17, 20—29]. Математическая модель данной проблемы может быть сформулирована как задача об усвоении и обработке многомерных (включающих зависимость от временной и пространственных переменных) данных, представляющая собой одну из задач оптимального управления. Начиная с работ Л. С. Понтрягина, Н. Н. Красовского, Ж.-Л. Лионса, Г. И. Марчука постановка и изучение задач вариационного усвоения данных наблюдений на основе теории сопряженных уравнений привлекают внимание многих исследователей, занимающихся приложениями методов оптимального управления для практического решения тех или иных проблем [1, 5, 7—9, 16—29]. Наряду с разработкой и обоснованием алгоритмов численного решения задач вариационного усвоения данных наблюдений, важную роль играют свойства самого оптимального решения [11—14]. Чрезвычайно важным является малоисследованный до последнего времени вопрос о чувствительности оптимальных решений задач вариационного усвоения к погрешностям данных наблюдений и параметрам моделей.

В настоящей работе рассматривается проблема исследования чувствительности оптимального решения задачи вариационного усвоения данных наблюдений о температуре поверхности моря для модели термодинамики в постановке, аналогичной введенной в работе [1]. На основе соотношений, связывающих погрешности оптимального решения задачи вариационного усвоения с ошибками данных наблюдений через гессиан функционала стоимости, предложены алгоритмы вычисления коэффициентов чувствительности как норм операторов отклика, возникающих в уравнениях для погрешностей. Проведено численное исследование чувствительности оптимального решения (потоков тепла на поверхности моря) к ошибкам данных наблюдений на основе экспериментов по вычислению спектра гессиана и сравнению оптимальных решений в возмущенной и невозмущенной задачах вариационного усвоения в приложении к акватории Балтийского моря.

2. Задача об усвоении данных для модели термодинамики моря

Рассмотрим модель термодинамики моря в следующем виде [2, 6]: T + (U, Grad)T - Div(ör Grad T) = fT в D x (t0, t1), T = T0 при t = t0 в D,

dT dT

-Vt d- = Q на Гs x (t0,tx), — = 0 на Г x (t0, tx) dz dNT

T

_ дт _

UnT + — = UndT + QTна Гw>op x (t0,tx),

' T

dT

dNT

= 0 на Гh x (t0,0, (1)

где Т = Т(х, у, г, 0 — неизвестная функция температуры; t е (х, у, г) е Б =

= О х (0, Н); О с Я2, Н = Н(х, у) — функция рельефа дна; Q = Q(x, у, 0 — поток тепла через верхнюю границу; и = (и, V, м>); ат = diag (аТ)..; (аТ)11 = (аТ)22 = цТ; (аТ)33 = /Т = /Т(х, у, г, 0 — заданные функции. Граница области Г = дБ пред-72

ставляется как объединение четырех непересекающихся частей Гх, Г^ ор, Г^ , Г^, где Гх = О (невозмущенная поверхность моря); Г^ ор — жидкая (открытая) часть вертикальной боковой границы; Г^ — твердая часть вертикальной боковой границы; Гя — дно моря. Другие обозначения и детальное описание постановки задачи можно найти в работах [1, 31].

Задачу (1) можно записать в форме операторного уравнения:

Т+ьт=г+ВО, t е (,№ д,

Т = Т0 при , = ,0 (2)

где равенство понимается в слабом смысле, а именно:

(Т, Т) + (LT, Т) = F(Т) + (BQ, Т) V Т е W21 (П). (3)

При этом Ь, Г, В определяются следующими соотношениями:

(LT, Т) = | - Т div(й Т) + | и 1+>Ти Г +1 ТТ grad Т grad ТdD,

о Г„,„р о

F(Т) = | (От + ип}dT)ТdT +|ТТСЮ,

г„,„Р Ю

(Т, Т) = | Т ТСЮ, Ш Т) = | Q Т \=0 Са,

в а

а функции ат, ОТ,/г О таковы, что равенство (3) имеет смысл. Свойства оператора Ь исследованы в работе [1].

Мы рассмотрим задачу об усвоении данных о температуре поверхности моря [1]. Предположим, что в задаче (1) функция О е Ь2(Ох(,0, неизвестна. Пусть задана функция данных наблюдений ТоЫ(х, у, ,) на а = аида при , е (,0, ,1), которая по своему физическому смыслу есть приближение к функции поверхностной температуры на О, т. е. к Т |г=0. Предполагаем, что ТоЬз е Ь2(Ох(,0, ,1)), однако большей гладкостью функция ТоЬв может не обладать, поэтому ее нельзя использовать в качестве граничного условия на Гу Допускается случай, когда ТоЫ имеется лишь на некотором подмножестве из Ох(,0, ,1), характеристическую функцию которого обозначим через т0. Вне этого подмножества для определенности считаем ТоЬз тривиальной.

Рассмотрим задачу об усвоении данных о температуре поверхности. Необходимо найти Т и О, такие что

т + LT = F + BQ в D х (г0,г1), т = т0 при г = г0,

J (Q)=inf J а (4)

где

Q

JQ) = 71 ¡Q - в(0) I2 d^dt + 2 }\m0 |T U - Tobs |2 dQdt, (5)

2 t0 a 2 t0 a

Q(0) = Q(0) (x, y, t) — заданная функция, a = const > 0. Функционал J определяет среднеквадратическое отклонение от наблюдаемых значений.

При a > 0 поставленная задача вариационного усвоения данных имеет единственное решение. Существование оптимального решения следует из классических результатов теории экстремальных задач, так как нетрудно показать, что решение задачи (2) непрерывно зависит от потока Q (имеют место априорные оценки в соответствующих функциональных пространствах).

При а = 0 задача имеет решение не всегда, однако как показано в работе [1], имеет место однозначная и плотная разрешимость, что позволяет построить последовательность регуляризованных решений, минимизирующую функционал.

Система оптимальности, которая определяет решение сформулированной задачи вариационной ассимиляции данных (4) и (5) согласно необходимому условию grad/ = 0, имеет вид

T + LT = F + BQ в D х (to, g,

Т = Т; при t = ^ (6)

-(Т•), + L-T' = Bmo(T- T0bs) в D х (to, t!),

T * = 0 при t = tv (7)

a(Q - Q(0)) + T ' = 0 на il х (to, tj), (8)

где L* — оператор, сопряженный к L.

В дальнейшем предполагаем, что supp(m0) = П х [t tj, и исследуем вопрос о чувствительности оптимального решения Q к входным данным, а именно к погрешностям задания функций Tobs и Q(0).

3. Алгоритмы исследования чувствительности оптимального решения к погрешностям данных наблюдений

В результате решения задачи вариационного усвоения данных (6)—(8) получаем функцию полного потока Q, которая является оптимальным решением в смысле минимизации функционала (5). Это решение зависит от функции данных наблюдений Tobs на поверхности моря. Важным является вопрос о чувствительности оптимального решения Q к изменениям функции Tobs. Это имеет большое значение с точки зрения прогноза, поскольку оптимальное решение, найденное в результате решения задачи вариационного усвоения, используется в дальнейшем для интегрирования модели на следующем временном интервале. В настоящем разделе рассматриваются алгоритмы исследования чувствительности оптимального решения к погрешностям данных наблюдений.

Пусть данные наблюдений заданы с ошибками:

Q= Q, Tobs = TI=0 + ^, _ (9)

где g L2(i х (t0, tj)), a T есть точное решение прямой задачи при Q = Q: - + L- = F + BQ в D х (t0, tj),

T = T0 при t = tQ. (10)

Функции ^ и можно рассматривать как погрешности входных данных Q(0) и Tobs соответственно. Влияние этих ошибок на оптимальное решение Q, полученное из системы оптимальности (6)—(8), исследовалось в работе [24], где показано, что уравнение для погрешности оптимального решения при а > 0 имеет единственное решение

SQ = aH j ^ + H1 Я^, (11)

где H = H0 + aE; E — единичный оператор; H0 определяется на v g L2 (Пх (t0, tj)) последовательным решением задач:

y + Ly = Bv в D х (t0, tj),

y = 0 при t = t0, (12)

-(y*) + L'y' = Bm0У в D х (t0, tj),

y' = 0 при t = t (13)

Н? = на О х t1), ^ (14)

а оператор Я действует на функции g е Ь2(О,х^0, t1)) по формуле

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком