Оптические методы
УДК 535.41
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИНТЕРФЕРОГРАММ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В. Ф. Рожковский, Н.В. Саган
Рассмотрены алгоритмы интерпретации (расшифровки) интерферограмм, построенные с помощью метода конечных элементов, в которых используют три метода построения поля направлений: комплексного усреднения, проекционно-дисперсионный и спектральный. Эффективность алгоритмов проверяется на смоделированных и реальных интерферограммах. Ключевые слова: интерферограмма, поле направлений, метод конечных элементов.
ВВЕДЕНИЕ
Интерферометрические методы измерения получили широкое распространение как в научных исследованиях, так и на практике. Их основное достоинство заключается в информативности интерферограмм. Однако полезная информация на интерферограмме представлена в скрытом (зашифрованном) виде, поэтому успешность ее извлечения в решающей степени зависит от способа интерпретации.
Освещенность в точке с координатами / и к интерферограммы можно представить формулой
Л}к = 0,5(0^ + Хк)[1 + со8ф(/, к)], (1)
где 0.к — освещенность изображения объекта в точке с координатами/ и к; Х.к — случайная величина, обусловленная когерентностью используемого при получении интерферограмм освещения, а также искажениями при формировании изображения; ф(/, к) — фаза световой волны. Поскольку интерферограмма представляет собой цифровое изображение, координаты / и к являются номерами строки и столбца матрицы для значения освещенности соответствующего пикселя. С другой стороны, фаза ф(/, к) обязана быть непрерывной и для этого координаты/ и к должны изменяться непрерывно.
Поисковой величиной является фаза, заданная в виде функции ф(/, к). Поскольку определение деформаций и напряжений связано с поиском производных, функция ф(/, к) должна быть определена аналитически. Форма поверхности, задаваемая функцией ф(/, к), может быть достаточно сложной (иметь много степеней свободы), поэтому для ее задания целесообразно использовать метод конечных элементов. Его идея заключается в том, что в нем область определения функции разбивается на большое количество подобластей, называемых конечными элементами, на каждом из которых функция ф(/, к) имеет простой вид, а ее сложность для всей области определения достигается за счет большого количества конечных элементов.
На основе метода конечных элементов разработано несколько способов интерпретации интерферограмм [1, с. 98—105]. В [2, с. 175—182] описан способ интерпретации интерферограмм, в котором вместе с методом конечных элементов используется метод комплексного усреднения для построения поля направлений. Под полем направлений понимается поле углов между направлением интерференционных полос и определенной осью.
Владимир Фаустович Рожковский, канд. техн. наук, доцент, старший научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории неразрушающего контроля и диагностики сложных систем Днепропетровского национального университета им. Олеся Гончара. Тел. (38056) 745-12-93. E-mail: rozhkowskij@yandex.ua
Наталья Васильевна Саган, аспирант кафедры РЭА Днепропетровского национального университета им. Олеся Гончара. Тел. (38056) 745-12-93. E-mail: natashasagan@mail.ru
Задача определения поля направлений для интерферограмм в условиях их зашумленности исследована в [3, с. 461—470, 487—491]. Для ее решения разработано множество способов, которые в [3, с. 469] сведены в 5 классов. Все эти способы исследованы на эффективность в условиях попиксельной обработки, когда направление интерференционной полосы вычисляли для каждого пикселя отдельно. При этом каждый способ использует для вычисления направления распределение освещенности в некотором окне на интерферограмме. Размер этого окна для каждого метода индивидуален. В методе же конечных элементов размер окна фиксирован и определяется размерами конечного элемента. Кроме того, вычисляются лишь параметры функции, задающей поле направлений в пределах конечного элемента. В этом случае оценка эффективности может измениться.
В данной статье исследованы методы определения поля направлений при интерпретации интерферограмм методом конечных элементов. Наиболее эффективные (по исследованиям в [3]) — методы усреднения, проекционно-дисперсионный и спектральный.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Необходимо осуществить адаптацию наиболее эффективных методов вычисления поля направлений (комплексного усреднения, спектрального и проекционно-дисперсионного) к методу конечных элементов, на примере тестовых интерферограмм оценить эффективность разработанных алгоритмов.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Метод комплексного усреднения формулируется следующим образом. Традиционное усреднение непосредственно не может быть применено к определению полей направлений. Это связано с особенностями арифметики направлений, которая является периодической по значениям с периодом, равным п. Проблема снимается с помощью использования комплексных чисел вида
= w>exP(г'2а,k), (2)
где а.к — вещественное значение направления (0 < а < п), угол между направлением интерференционной полосы и осью абсцисс для элемента матрицы направлений с координатами 1 и к; ^^ — вес, некоторое вещественное число (0 < w.k < 1), показывающее степень выраженности данного направления; 7 — мнимая единица.
Для окна среднее направление вычислено по формуле
• 1 ^ -
ас = N £ак, (3)
1 к
где ^ — сумма по точкам данного окна; N — количество пикселей в
1 ,к
данном окне.
Формула (3) может быть использована и для метода конечных элементов. Подробнее адаптация метода усреднений к методу конечных элементов описана в [2].
Проекционно-дисперсионный метод основан на преобразовании Радона. Оно заключается в том, что непрерывная функция /(х, у) преобразуется в функцию Я(!, а) путем интегрирования (сложения) значений/вдоль наклон-
ной линии АВ (рис. 1), заданной своим наклоном а и расстоянием I. Для области интерферограммы в виде прямоугольного конечного элемента СВЕ¥ функцию Я(/, а) можно представить в виде
Ь/ 2
Я(1, а) = | / ^д/ 12 + г2 со8 ^а + аг^г^ 12 + г2 8т ^
а + агс^у | (4)
где I — переменная, выражающая расстояние от заданного начала до линии, по которой ведется интегрирование; а — переменная, выражающая
угол ориентации прямоугольника относительно принятой системы координат; / — функция освещенности интерферограммы; г — переменная интегрирования, представляющая собой расстояние от оси до точки на изображении интерферограммы.
Функция (4) рассмотрена при фиксированном значении параметра а
Рис. 1. Линейное преобразование Радона.
Е
и значениях аргумента I е [-Ь/2, Ь/2] и измеряется разброс ее значений относительно среднего ("дисперсия")
Ь 2
Да) = |
- Ь 2
- Ь/2
Я ((, а)-- | Я (I, а)
Ь -Ь/ 2
(5)
Проведено сканирование изображения/(х, у) квадратной маской М*М и для каждого из ее положений сформировано 4 последовательности средних значений для отсчетов, расположенных вдоль линий, параллельных одному из четырех направлений: 0, 45, 90, 135°. За направление интерференционной полосы принимается либо одно из четырех указанных значений с максимальным значением величины Я(а), либо направление определяется путем синусоидальной интерполяции функции Я(а) по четырем указанным точкам и последующим нахождением максимума.
Для адаптации алгоритма к методу конечных элементов необходимо учесть следующее. Во-первых, квадратное окно при попиксельной обработке может быть ориентировано по осям системы координат. В методе конечных элементов обычно используют конечные элементы прямоугольной или треугольной формы с произвольной ориентацией. Во-вторых, метод конечных элементов предполагает задание направления в виде функции от координат. Это требует обобщения преобразования Радона на криволинейную систему координат.
Проведенная адаптация преобразования Радона для метода конечных элементов заключается в следующем. Предположим, направления интерференционных полос в точках каждого конечного элемента задаются с помощью функции у(у, к, аи, аъ, ..., ам), где у и к — координаты точки; 7 — номер конечного элемента; а17, а27, ..., а№ — определенные параметры. Направление интерференционных полос в каждой точке совпадает с касательной к линии уровня этой функции (рис. 2).
Линию уровня с номером m определим уравнением
m (w - w )
V т max т mm /
w(/, k, au, a2i, . aj =--, (6)
где Wmax, Wmin — максимальное и минимальное значения функции в конечном элементе соответственно; M — количество промежутков между wmax и wmin, определяющее требуемое количество линий уровня.
Построенные таким образом линии уровня делят конечный элемент на M частей. Номер m каждой из частей можно считать значением криволинейной координаты для всех точек этой части. Она для точки с координатами j и k вычисляется по формуле
f MWU k, aii, a2i, aN, )1 /r-j\
m = 1-(w - w)-f, (7)
max min
где фигурные скобки обозначают взятие целой части числа.
После того, как для всех точек, в которых заданы освещенности, определена их криволинейная координата, определим среднюю освещенность для точек с одинаковой координатой. Обозначим множество точек с заданными значениями освещенности, имеющих одинаковую координату m, через ßm, а количество таких точек — через Lm. Средние освещенности по областям образуют функцию R(m) и вычисляются по формуле
Щщ ai „ a2„ aJ = L- X A/k, (8)
ßm
где X — сумма для тех значений j и k, которые попадают в множество ßm.
ßm
По функции R(m, a1i, a2i, ..., aN,) можно оценить ее разброс
D^ a2i, .. aN) = X
1 M
R ( aii, a2i, aN, ) - M XR U aii, a2i, aN, )
iVi m_i
2
6 Дефектоскопия, № 6, 2014
Для решения поставленной задачи, то есть определения тех значений а а ..., а которые приводят к согласованной с экспериментом функции у, к, а а ..., а№), необходимо найти те значения а а ..., а которые максимизирУют функцию разброса 0(аи, а27, ..., а№).
Максимизацию функции (9) осуществляли численным методом симплексного спуска. Начальное значение выбирали из множества тех значений а1 а2 ..., а№, которые выпрямляют криволинейную координату. В качестве алгоритма для определения начальных значений исследовали дисперсионный с интер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.