ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2014, том 115, № 12, с. 1254-1261
^ ТЕОРИЯ ^^^^^^^^^^^^^^^^
МЕТАЛЛОВ
УДК 620.193.918
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ СТАРЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПОПЕРЕЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ СИСТЕМЫ В ДВУМЕРНОЙ XY-МОДЕЛИ © 2014 г. В. В. Прудников, П. В. Прудников, С. В. Алексеев, И. С. Попов
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского 644047Омск, пр. Мира, 55а e-mail: prudnikp@univer.omsk.su Поступила в редакцию 22.07.2013 г.; в окончательном варианте — 23.05.2014 г.
Проведено исследование явления старения в низкотемпературном неравновесном критическом поведении двумерной XY-модели методами Монте-Карло из различных начальных состояний. Выполнено исследование температурной зависимости поперечной жесткости в низкотемпературном критическом поведении двумерной XY-модели методами Монте-Карло.
Ключевые слова: критическая динамика двумерной ХУ-модели, эффекты старения, методы Монте-Карло.
Б01: 10.7868/80015323014120055
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения [1—3]. В этих системах наблюдается явление старения при медленной эволюции из неравновесного начального состояния, сопровождающееся нарушением флукту-ационно-диссипативной теоремы [4]. Хорошо известными примерами систем с медленной динамикой и эффектами старения являются аморфные сплавы и стекла. Однако, как показали аналитические и численные исследования [5], данные особенности неравновесного поведения могут наблюдаться и в структурно однородных системах при фазовых переходах второго рода. Динамика таких систем в критической точке характеризуется аномально большими временами релаксации.
Аномально медленная динамика реализуется также для широкого класса систем, описываемых двумерной ХУ-моделью. Ее отличительной чертой является аномальное поведение не только вблизи температуры фазового перехода Березин-ского—Костерлица—Таулесса ТБКХ, но и во всей низкотемпературной фазе, каждая температура в ней является критической, т.е. наблюдается непрерывный каскад фазовых переходов [6—8]. Коррелятор параметра порядка переходит от экспоненциального спадания при высоких температурах к "дальнодействующему" степенному спаданию в низкотемпературной фазе. Особенностью поведе-
ния двумерной ХУ-модели является возникновение жесткости в низкотемпературной фазе относительно поперечных флуктуаций спиновой плотности [7].
Под процессом старения материалов понимается явление замедления релаксации системы с увеличением "возраста" материала т.е. времени прошедшего после приготовления образца до начала измерения его характеристик [9]. Явление старения проявляется, прежде всего, в двухвре-менной зависимости корреляционной функции и функции отклика от времени ожидания и времени наблюдения Двухвременные зависимости динамических функций экспериментально исследовались, как для "классических" спиновых стекол А§1 —хМпх для х = 0.04 и 0.027 [10,11], так для СаСг171п0384 [12-14], Ре05Мп05ХЮ3 [15].
К системам, описываемым двумерной ХУ-мо-делью, относятся: ультратонкие магнитные пленки из атомов переходных металлов (Со и N1), на немагнитной подложке, например, Си [16]; важный класс планарных магнетиков [7, 16, 17], например, К2СиБ4 [18]; двумерные кристаллы [7, 17]; поверхности сверхпроводников [17]; сверхпроводящие тонкие пленки [7, 17]; двумерные бозе-жидкости и пленки сверхтекучего Не4 [8, 17]; решетки джозефсоновских контактов и решетки 8—Б—8-контактов [17, 19-21], и даже поведение стай птиц [22].
Рис. 2 Температурная зависимость показателя автокорреляционной функции А для динамик Кавасаки (1) и Метрополиса (2), при численном исследовании жесткости (3) и аналитическое решение [25, 26] (4).
Рис. 1. Конфигурации системы с Ь = 512 при Т = 0.1 в различные моменты времени при старте из начального высокотемпературного состояния т0 ^ 1. Глубина цвета отражает значения ео8(ф;/2).
В [9] было предсказано скейлинговое поведение динамических функций для неравновесного критического поведения двумерной ХУ-модели. В настоящей работе проведено всестороннее исследование эффектов старения в неравновесном критическом поведении двумерной ХУ-модели и осуществлен расчет жесткости системы во всей низкотемпературной фазе для Т < ТБКТ.
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ХУ-модель является частным случаем общих решеточных моделей с «-компонентным параметром порядка для случая п = 2 и моделью с непрерывной симметрией. Фазовый переход в двумерной ХУ-модели связан со сменой асимптотик корреляционных функций: с экспоненциальной в высокотемпературной фазе на степенное асимптотическое поведение в низкотемпературной фазе. Дальнодействующий степенной характер поведения функций в низкотемпературной фазе определяет сильно коррелированное состояние системы с эффективно бесконечным радиусом корреляции. При рассмотрении двумерной ХУ-модели задается плоская решетка, содержащая N = Ь2 узлов. С каждым узлом связан единичный двумерный вектор Б,- (в случае магнетиков — спин, в случае бозе-систем — фаза волновой функции). Конкретная конфигурация системы задается набором спинов для всех узлов решетки.
В отсутствие внешнего поля гамильтониан двумерной ХУ-модели может быть записан следующим образом [6]:
Н = -/£
(1)
где I > 0 — обменный интеграл. Для численного статистического описания гамильтониан (1) был представлен в виде, который сразу указывает на сильную нелинейность двумерной ХУ-модели
Н = — ^ ео8(фг- -ф]),
(2)
где ф; — угол 1-го спина относительно произвольной вертикальной оси, являющийся фазой.
Динамика двумерной ХУ-модели обеспечивается двумя вкладами: спиновыми волнами и топологическими образованиями типа солитонов — вихрями [6, 8, 17]. Наглядный вид изменения состояния системы приведен на рис. 1.
Динамика изменения состояния двумерной ХУ-модели может задаваться алгоритмом одно-спинового переворота Метрополиса и алгоритмом обмена спинов Кавасаки. Динамика Метрополиса описывает процессы в системе, сопровождающие релаксацию из начального неравновесного состояния к равновесному, и отражает стохастические процессы динамики спиновых флуктуаций в критической области (модель критической динамики А [23, 24]). Алгоритм Кавасаки описывает критическую динамику системы с сохраняющимся параметром порядка (модель критической динамики В [23, 24]). Результаты расчета температурной зависимости показателя автокорреляционной функции А для динамик Метрополиса и Кавасаки в сравнении с результатами аналитического решения [25, 26] представлены на рис. 2. На основе полученных результатов можно сделать
1256
ПРУДНИКОВ и др.
вывод, что динамика Метрополиса правильно описывает неравновесное поведение двумерной XY-модели во всей низкотемпературной фазе. Динамика Кавасаки применима только при низких температурах, где не происходит сильного взаимодействия вихрей и антивихрей с образованием связанных состояний. В соответствии с этим при дальнейшем моделировании использовался алгоритм Метрополиса.
Начальное низкотемпературное состояние создавалось упорядочиванием всех спинов в одном направлении. Начальное высокотемпературное состояние приготавливалось путем динамической эволюции системы при температуре Т $ТБКХ = = 0.89 (T в единицах обменного интеграла J) [27]. После достижения заданного значения намагниченности m0 = 0.001 с точностью Am0 = 0.01m0 состояние системы считалось начальным для последующего моделирования.
Неравновесное начальное состояние может задаваться различными способами и характеризуется начальным значением намагниченности m0 = m(t = = 0). Начальному низкотемпературному состоянию c m0 = 1 соответствует основное состояние системы, т.е. состояние термостатированной при Т = 0 системы. Начальному высокотемпературному состоянию c m0 < 1 — состояние термостатированной при Т §> ТБКХ-системы.
Из приготовленного неравновесного начального состояния система свободно эволюционирует в низкотемпературной фазе Т < ТБКХ в соответствии с алгоритмом Метрополиса до момента tw. Расчет автокорреляционной функции производился с момента tw в течение времени наблюдения t—tw.
Эффекты старения исследовали во всей низкотемпературной фазе посредством анализа временной зависимости автокорреляционной функции A(t, tw) медленной динамики.
Автокорреляционная функция однородной системы задается в виде:
A(t, О = NSÁt)SÁf}j -N^XS^ S^(3)
Двухвременная зависимость автокорреляционной функции, стартующей из начального низкотемпературного состояния с m0 = 1, при Т < ТБКХ может быть представлена в следующей скейлин-говой форме [9]:
A(t,t w) =
1
(t - tw)
п(Т )/2
'(1 + t/t w)2'
. 4t¡t w _
n(T )/4
(4)
для времен ^ - > а , где а — ультрафиолетовый параметр обрезания микроскопической природы; ц(Т) — критический индекс, связанный с по-
перечной жесткостью системы следующим соотношением [21]:
П(Т)
Т
2ярДТ)
(5)
На временах t - tw < tw автокорреляционная функция ведет себя как:
A(t,t w)
1
чп(т)/2 '
(6)
И - I„)"
Это соответствует квазиравновесному состоянию системы. На больших временах ? - > наблюдается спадание автокорреляционной функции по степенному закону
A(t,t w)
1
t
п(Т)/4 •
(7)
Переход между двумя режимами происходит при
t tw tw'
Для расчета жесткости системы было использовано следующее выражение:
4L2 - Xсо8(ф;.-ф;)
i X(Ф(* + a) -ф(х))2
(8)
Величина жесткости отражает вклад элементарных возбуждений в характеристики системы, описываемой гамильтонианом (1), относительно вклада ангармонических безвихревых флуктуа-ций параметра порядка [6, 7].
В данной работе была рассмотрена плоская решетка, содержащая N = Ь2 узлов с линейным размером Ь = 256. Исследование эффектов старения было проведено для трех значений времени ожидания: ^ = 100, 500 и 1000 МСБ/з, где МСБ/з - шаг Монте Карло на спин, время моделирования, за которое каждый спин системы имел возможность изменить свое состояние. Как видно из представленного на рис. 3 поведения автокорреляционной функции, эффекты старения и замедления релаксации системы наиболее заметно проявляются при выбранных значениях Температур
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.