КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 2, с. 150-164
УДК 551.521
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ РЕЖИМА ЗАКРУТКИ СПУТНИКА
В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ
© 2007 г. А. Ю. Бозшков1, В. В. Сазонов2
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 2Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 07.06.2005 г.
Исследован режим закрутки в плоскости орбиты низколетящего искусственного спутника Земли. В этом режиме спутник вращается вокруг своей главной центральной оси минимального момента инерции, совершающей малые колебания относительно нормали к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения вокруг этой оси в несколько раз превышает орбитальное среднее движение. В уравнениях вращательного движения спутника учитываются гравитационный и восстанавливающий аэродинамический моменты. В уравнения введен малый параметр, характеризующий аэродинамический момент и отклонение тензора инерции спутника от осесимметричного. Методом малого параметра и численно исследована двумерная интегральная поверхность уравнений движения, описывающая квазистационарные вращения спутника, близкие цилиндрической прецессии соответствующего симметричного спутника в гравитационном поле. Такие квазистационарные вращения предлагается считать невозмущенными движениями спутника в режиме закрутки. Исследование интегральной поверхности сведено к численному решению периодической краевой задачи для некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений и вычислению квазистационарных вращений двухцикловым методом. Показана возможность построения квазистационарных вращений посредством минимизации специального квадратического функционала.
PACS: 45.40.Cc
1. ВВЕДЕНИЕ
В [1, 2] исследовано влияние сопротивления атмосферы на закрутку в плоскости орбиты низколетящего искусственного спутника Земли. Спутник вращался вокруг своей главной центральной оси минимального момента инерции, совершавшей малые колебания относительно нормали к плоскости орбиты; угловая скорость вращения вокруг продольной оси в несколько раз превышала орбитальную угловую скорость. В уравнениях движения спутника относительно центра масс учитывались гравитационный и восстанавливающий аэродинамический моменты. Эти уравнения содержали малый параметр, характеризующий материальную асимметрию спутника и аэродинамический момент. Методом малого параметра и численно была исследована двумерная интегральная поверхность уравнений движения, описывающая невозмущенные движения спутника в режиме закрутки.
Существенным в [1, 2] было предположение относительно формы внешней оболочки спутника. Она считалась эллипсоидом, главные оси которого получены из главных центральных осей инерции спутника сдвигом по оси минимального
момента инерции. В результате выражения для компонент аэродинамического момента оказались специфическими четными и нечетными функциями угловых переменных так, что указанная интегральная поверхность состояла из периодических решений.
В данной работе рассматривается по существу тот же спутник, что и в [1, 2], но при произвольном взаимном расположении главных центральных осей инерции и главных осей эллипсоида-оболочки. Интегральная поверхность невозмущенного движения спутника в режиме закрутки теперь уже не состоит из периодических решений. Более того, задающие ее ряды по степеням малого параметра являются формальными и могут служить лишь для приближенного описания представляющих интерес решений на ограниченных, хотя и продолжительных интервалах времени. Тем не менее, исследование интегральной поверхности удается свести к численному исследованию периодической краевой задачи для некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений. Показана также возможность исследования этой поверхности посредством минимизации специального квадратиче-ского функционала.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Спутник будем считать твердым телом, центр масс которого - точка O - движется по неизменной круговой орбите вокруг Земли. Для записи уравнений движения спутника относительно центра масс введем три правые декартовы системы координат.
Орбитальная система OX1X2X3 связана с плоскостью орбиты спутника и геоцентрическим радиусом-вектором точки O. Ось OX3 направлена вдоль этого радиуса-вектора, ось OX2 направлена по вектору кинетического момента орбитального движения спутника.
Система Ox1x2x3 образована главными центральными осями инерции спутника. Оси Ox1 и Ox2 отвечают его минимальному и максимальному моментам инерции.
Система Oy1y2y3 связана с внешней оболочкой спутника и используется при расчете действующего на него аэродинамического момента. Она занимает неизменное положение относительно системы Ox1x2x3.
Ориентацию системы координат Ox1x2x3 относительно орбитальной системы зададим с помощью углов у, 0 и ф, которые определяются следующим образом. Система OX1X2X3 может быть переведена в систему Ox1x2x3 тремя последовательными поворотами: 1) на угол у вокруг оси OX3 2) на угол 0 вокруг новой оси OX2, 3) на угол ф вокруг новой оси OX1, совпадающей с осью Ox1. Введенные углы имеют следующий смысл: 0 -угол между осью Ox1 и плоскостью OX1X2, у -угол между осью OX1 и проекцией оси Ox1 на плоскость OXjX2, ф - угол поворота спутника вокруг оси Ox1. Матрицу перехода от системы
и и 3
Ox1x2x3 к системе OX1X2X3 обозначим \aiAi . = 1, где aij - косинус угла между осями OXi и Oxj. Элементы этой матрицы выражаются через углы у, 0 и ф с помощью формул
a11 = cos у cos 0,
«12 =
a 13 =
«22 =
a 23
- sin у cos Ф + cos у sin 0 sin ф, sin у sin ф + cos у sin 0 cos ф,
a21 = sin у cos 0, cos у cos ф + sin у sin 0 sin ф,
- cos у sin ф + sin у sin 0 cos ф,
a31 = -sin 0, a32 = cos 0 sin ф, a33 = cos 0 cos ф.
Матрицу перехода от системы Ox1x2x3 к системе Oy1y2y3 обозначим ¡bill3 j = 1, где btj - косинус угла между осями Oyi и Oxj. Элементы этой матрицы выражаются в функции углов ус, ac и вс, на которые надо повернуть систему Oy1y2y3 последовательно вокруг осей Oy2, Oy3 и Oy1, чтобы перевести ее в систему Ox1x2x3. Соответствующие выражения имеют вид
b11 = cos ac cos вс,
b12 = sin ac sin ус -cos ac sin вс cos yc,
b13 = sin ac cos Yc + cos ac sin вс sin jc,
b21 = sin pc,
b22 = cos pc cos Yc,
b23 = -cos вс sin Yc,
b31 = -sin ac cos вс,
b32 = cos ac sin Yc + sin ac sin вс cos yc,
b33 = cos ac cos y c -sin ac sin вс sin y c.
В уравнениях движения спутника относительно центра масс будем учитывать гравитационный и восстанавливающий аэродинамический моменты. Компоненты гравитационного момента в системе Ox1x2x3 задаются выражениями [2] Mgi =
= 3 w0 (Ik - Ij)a3ka3j. Здесь индексы i, j и к образуют четные перестановки чисел 1, 2 и 3, ю0 - среднее движение спутника (орбитальная частота), Ii - моменты инерции спутника относительно осей Oxi.
При выводе выражений для аэродинамического момента внешнюю оболочку спутника считаем эллипсоидом, который в системе координат Oy1y2y3 задается уравнением
(y1 - D) 2 + (y2 - D2) 2 + (Уз - D3) 2
.L1 Lo L3
= 1.
Атмосферу полагаем неподвижной в абсолютном пространстве, а ее плотность р вдоль орбиты спутника постоянной. Пусть спутник неподвижен относительно набегающего аэродинамического потока и молекулы воздуха при столкновении со спутником испытывают абсолютно неупругий удар. Тогда компоненты аэродинамического момента в системе Ох1х2х3 имеют вид 2
М = Р^ 5(ах}ёк - а1кё}),
2 a1
2 a2
2
a3
s = пlL2L3 4 + 4 + 4,
L1 L2 L3
3 3
di = X Dkbk" а' = X b'k°ik (- =1 2'3)•
k=1 k=1
Здесь v - геоцентрическая скорость точки O, индексы i, j и k в первой формуле образуют четные перестановки чисел 1, 2 и 3. Эти формулы пригодны и в случае, когда угловая скорость спутника ненамного превышает ю0.
Уравнения движения спутника относительно центра масс возьмем в виде динамических уравнений Эйлера для компонент Ц- абсолютной угловой скорости спутника в системе координат Ox1x2x3 и кинематических уравнений для углов у, 0 и ф. Компоненты угловой скорости будем измерять в единицах ю0, в качестве единицы измерения
времени t примем Ю01. Орбитальный период при этом равен 2п. Уравнения движения имеют вид
ф = Ц1 + (D2sin ф + D3cos ф) tg 0 -sin у/cos 0, i) = D2cos ф - D3sin ф -cos у, . _ D2sinф + D3cosф
У
cos 0
- tg 0 sin у,
Ц = ц(Ц2Ц3 - 3a32a33) + eS(a 12d3 - a13d2), 1 — X
Ц = ,,,.-. (Ц1Ц3-3 a31 a33) +
+
1 + Хц
eXS
(aj3 d!- a a d3),
1 + Хц
Ц = -(1- X + X^(0102-3 a31 a32) + + eXS (and2 - a12 d1),
X = /1/73, ц = (12 I3)/11, e =z> v2/¡1 ю^
няв £ = |а£х, £ХЕ ~ 1. Вместо переменных П2, введем переменные
W2 = П2С08ф - П38Шф, w3 = П28тф + П3С08ф.
Величины w2, w3 представляют собой проекции абсолютной угловой скорости спутника на оси Резаля, получающиеся из осей Ох2 и Ох3 при ф = 0.
В новых переменных уравнения движения спутника принимают вид
ф = + w3tg 0 -
sin у cos 0
1 = ц[Ц2Ц3 - 3a32a33 + e1 S(a12d3- a13d2)],
w,
0 = w2-cos у, у = ----tg 0 sin у,
cos 0
w2 = -( XQ1 + w3tg0 -
sin у
(1)
w3
cos 0y
+ 3 (1 - X) sin 0 cos 0 + ц Q0,
W3 = ÍXQ1+ W3tg0 -^^7^2 + цQу• V cos0/
Здесь
Qe = Q2cosф- Q3sinф, Qу = Q2sinф + Q3cosф, X
Q2 =
-[-(1 - X)(Q1 Ц3 - 3a31a33) +
Здесь точкой обозначено дифференцирование по времени. По своему физическому смыслу £ > 0, параметры X и | должны удовлетворять неравенствам ||| < 1, 0 < X < 2/(1 - |). Неравенства для X и | следуют из "неравенств треугольника" для моментов инерции спутника. Правые части выписанных уравнений являются 2п-периодическими функциями ф.
3. ЗАКРУТКА СПУТНИКА В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ОРИЕНТИРОВАННОГО ДВИЖЕНИЯ
Предположим, что спутник близок к осесим-метричному с осью материальной симметрии Охх и что влияние на него аэродинамического момента мало. Иными словами, ||| <§ 1, гЕ < 1, Е = = шахЬ^;| j, к = 1, 2, 3). Для упрощения формул оставим только один малый параметр при-
2 1+ Х|
+ г^ (а 13 ¿1 - ацй з)],
Q3 = -Х[П1П2-3 а31 а32 - £1 S( апё2- а12 )],
причем переменные П2, П3 должны быть выражены через w2, w3. Правые части уравнений (1) периодически зависят от ф с периодом 2п и аналитически зависят от | в окрестности точки | = 0.
При | = 0 (ось Охх является осью материальной симметрии спутника, и аэрод
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.