научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ И МИНИМИЗАЦИЯ АБЕРРАЦИЙ В ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ ОБЪЕКТИВАХ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ И МИНИМИЗАЦИЯ АБЕРРАЦИЙ В ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ ОБЪЕКТИВАХ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2013, том 58, № 10, с. 1025-1032

К 60-ЛЕТИЮ ИРЭ ИМ. В.А. КОТЕЛЬНИКОВА РАН

УДК 621.396.67

ИССЛЕДОВАНИЕ И МИНИМИЗАЦИЯ АБЕРРАЦИИ В ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ ОБЪЕКТИВАХ

© 2013 г. А. С. Венецкий, В. А. Калошин

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая 11, стр. 7 E-mail: AVenetsky@yandex.ru Поступила в редакцию 10.02.2013 г.

Получена формула для эйконала в апертуре осесимметричного двухзеркального объектива при произвольном смещении источника из фокуса с точностью до третьей степени величины этого смещения. Методом Ньютона найдена поправка, уточняющая формулу для распределения эйконала. На основе полученной формулы для эйконала найдено распределение амплитуды и углов наклона лучей, отраженных от главного зеркала. Даны оценки величины астигматизма и приведены формулы для соотношения параметров осесимметричного двухзеркального объектива, которое минимизирует эту величину. В качестве примера приложения теории приведены результаты оптимизации сканирующего объектива терагерцового диапазона. В результате численного эксперимента показана возможность реализации угла зрения более 15 град.

DOI: 10.7868/S0033849413100057

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1, 2] была получена формула для распределения эйконала в апертуре осесиммет-ричной двухзеркальной телескопической системы с точностью до третьей степени величины смещения источника из фокуса системы. В работе [3] была получена формула для распределения эйконала в апертуре осесимметричного двухзеркального объектива (системы с двумя фокусами) с точностью до третьей степени величины поперечного смещения источника из фокуса системы. Однако для анализа систем с главным зеркалом большого электрического размера (более 100 длин волн) этой точности оказывается недостаточно. Кроме того, для оптимизации положения источника (приемника) при его смещении с оси необходимо знание аберраций при произвольном направлении смещения, а для анализа сканирующих свойств — амплитудного распределения поля. При оптимизации параметров объективов представляют интерес также величины лучевых аберраций. Соответствующие формулы для телескопической системы приведены в [4].

В данной работе формула для эйконала, полученная в [3], обобщается на случай произвольного смещения источника из фокуса. Найдена поправка к соответствующей формуле для эйконала, существенно ее уточняющая. Кроме того, найдено распределение амплитуды поля на главном зеркале системы, лучевое распределение и

формулы для величины астигматизма в общем случае смещения источника и расположения фокусов. Также рассмотрена задача оптимизации параметров осесимметричного двухзеркального объектива с целью минимизации астигматизма, В качестве примера применения полученных формул проведена оптимизация сканирующего объектива терагерцового диапазона.

1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЙКОНАЛА

Рассмотрим осесимметричную двухзеркаль-ную систему с вынесенным из фокуса источником сферической волны, вид которой в двух плоскостях — плоскости продольного сечения (Х2) и ортогональной плоскости (ХУ) показан на рис. 1а, 1б для системы 1-го типа (типа Кассегрена) и на рис. 2а, 2б для системы 2-го типа (типа Грегори).

При расположении источника сферической волны в фокусе О системы после двух последовательных отражений от зеркал в апертуре главного зеркала формируется сферический фронт. Предположим, что только один луч, выходящий из источника под углом а к оси, проходит через заданную точку А апертуры с полярными координатами (г, Ф) и затем попадает во второй фокус ¥, образуя угол 9 с осью. В результате обеспечивается взаимно-однозначное соответствие между каждой точкой апертуры А и углом а выхода луча из источ-

(а) (б)

(а) (б)

Рис. 2. Продольное (а) и поперечное (б) сечение системы 2-го типа.

ника О и углом 9 входа в фокус F, которое описывается функциями отображения:

г = л[х1 + уА = г (а), а = а(0). (1)

Пусть точка О1 с координатами (—8Д, 0, — 8г) — положение смещенного источника. Предположим, что при смещении источника в точку О1 взаимнооднозначное соответствие точек апертуры и

множеством выходящих из О1 лучей сохраняется. При этом всегда существует луч, соединяющий точку О1 и точку А. Оптический путь Ь (эйконал) вдоль этого луча равен сумме длин трех отрезков

ЦЛв!) = \Щ + ад + |РА|. (2)

Будем искать разложение эйконала (2) в ряд по степеням Ък и Ъ2.

Для проведения дальнейших преобразований выберем систему координат XYZ с центром в фокусе О так, чтобы точка А имела координаты (ХА, 0, ZA). Тогда другие точки будут иметь координаты: В(ХВ, 0, ZB), В1(ХВ + АХ, АУ, ZB + AZ), Р(хР, 0, гР), Р1(хР + Ах, Ау, гР + А) 01(—8Х, —8У, —8^, 0(0,

0, 0). При этом ZB = Р(ХВ), гР=/(хР), где Z = Р(Х) и г = /(х) — уравнения образующих основного и вспомогательного зеркал соответственно, 8Х = = 8део8Ф, 8У = —8д8тФ.

Выражение для эйконала (2) представим в виде

L(AO{) = y¡(XB - XA + AX)2 + A Y2 + (ZB - ZA + AZ)2 +

+

V(XB -xP + AX - Ax)2 + (A Y - Ay)2 + (ZB - zP + AZ - Az)2 + V(xP + Ax + 8X)2 + (Ay + 8Y)2 + (zP + Az + 8Z)2.

(3)

С точностью до членов 3-го порядка малости по Ах, Ау, АХ, АУможно записать

AZ = FBAX + -Fb- A Y2 + Fb- AX2, B 2XB 2

fP

fP

Az = fP Ax + +L- Ay2 + Ax2. 2x p 2

(4)

(5)

Здесь и далее F'в = Г(хв), ВЦ = Г\хв), ГР = /'(хР), / р = f "(Хр).

Заменяя в выражении (3) и Аг разложениями (4) и (5), разложим выражение для эйконала (3) в ряд по степеням АХ, АУ, Ах, Ау, ограничиваясь членами 2-го порядка малости. Суммируя полученные для слагаемых эйконала выражения и приводя подобные члены, можно записать

ЦЛО^ = 4Л + й + г + Ф^Ах, Ау) + + Ф 2(Ах, АХ, Ау, АУ), где Фх = (Бх 1 + 0хх)Ах + 0пАу + + ^Х2 + 0х 2)Ах2 + (^у2 + бу2)Ау2,

(6)

Ф 2 = MX1AX + MY2AX2 +

X 2L

+ MY2AY2 + NX AxAX + NyAyAY.

Выражения для А, SX1, Qx1, SX2, QX2, QY1, S приведены в работе [2],

MX1 = F'B(cos 9 - uz) - ux + sin 9 = 0,

' 1 + 1 + 2FB'cos3(9 + Р)Л d t

Qy

y2i *¿y2

ъг COS В

Mx 2 = --

2cos2(9 + p)

ео8 в

1.1 . FB

MY2 = — + — + — cos(0 + P)cos в, 2d 2t XB

Ny =-

ео8 ю ео8 р

й ео8(ю - а)ео8(0 + р)

Неизвестные величины АХ, АУ, Ах, Ау можно найти, используя принцип Ферма. В результате получаем систему линейных уравнений

dL 3AX

= 0; = 0; ^ = 0; ^ = 0, dAY dAx dAy

(7)

решения которой имеют вид

- 2ШХ1{БХ1 + 0х1)

Ax = •

Ay =

AX =

4(Sx2 + Qx2)MX2 - Nlx -2My 2QY 1

4(SY2 + QYI)MY2 - NY ,

Nr

(8)

2M

Ax, A Y = -

X 2

2M

Ay.

Y 2

Подставляя найденные величины АХ, Ах в выражение (6), ограничиваясь членами второго порядка малости по 8Х и и приводя подобные члены, имеем

LX2 = — (8X cos а + 8Z sin а)2 -2P

MX 2(Sx 1 + QX1)2

(9)

4(^х2 + бх2)Мх2 - N2 Знаменатель выражения (9) можно привести к виду

4(Sx2 + QX2)Mx2 - NX =

>X 2

2 2 cos юcos в

d cos2^ - a)cos2(0 + p)

X 2 1

.P

2KP

cos ю t

+1Í1+ -\-

(10)

d 2KP

2Kb

tcosю cosp

1+d I-d-

4KpKB cosюcosp

где

к р = /;'(1 + /2)-3/2 = /; ео83(ш - а),

Кв = Я(1 + Гв2)-3/2 = РЦ ео83(Р + 0)

— кривизны зеркал в точках Р и В, а ю и Р — углы между падающим и отраженным лучом в этих точках. Используя методику, изложенную в работе [2], можно получить формулы для кривизны в точках Р и В:

Kp = cos® (rÉ0-р-d I, 2pd \ dа

K = cosP (p (R - d i.

B 2Rd\ d0 '

Подставляя выражения (11) в (10), нетрудно получить

4(Sx2 + &2)MX2 - NX =

2 2 cos юcos p (R -1) dQ

cos2(® - a) cos2(0 + p) pdt da

(12)

Подставляя выражение (12) в выражение (9), получаем сумму членов разложения эйконала,

пропорциональных 5 X, 8 Z и 8XbZ:

Ъ X 2 , Ъ XЪ Z . ~ ,5 Z • 2

cos a + X Z sin2a +—— sin a, (13)

2L1

2L1

2Lj

где

1 _ 1 (i _ d da) _ t (da) L _p( RdQ) R(R _ t)(dQ)

Ly 2 — 5y

My iQy i

2p 4(Sy2 + Qy2)My2 - n2

(14)

Суммируя выражения (13), (17) и выражение для

VA, приведенное в работе [2], разложение (6) для эйконала можно представить в виде

?2 2 ?2 L = р + d +1 + 5X sin a - 5Z cos a + ^ + -5y- +

2 L 2L2

+

5 X 5 z • n ^Z -2 X Z sin2a +—Zsin a +...

2L

5Z ^^2 2L/

Аналогичным образом просуммируем члены в (6), содержащие Ay, AY

Возвращаясь в исходную систему координат XYZ, в которой точки А и О1 имеют декартовы координаты (rcosФ, rsinФ, ZA) и (—SR, 0, — SZ) соответственно, последнюю формулу преобразуем к виду

L(r, Ф) = L0 + 5R cos Ф sin a -

s- , 5R (cos2 Ф 2 , sin2 Ф^, /10ч - 5Z cos a + — I-cos a +-1+ (18)

2 V Li L2 J

5 5

R ZcosФsin2a + sin2a +...,

2L

5Z ^2 < 2Ц

где

Знаменатель выражения (14) можно привести к виду

1

pdt

4(Sy2 + Qy2)My2 - N2 =

, 2 f'p cos ю л t + p + d--, p(t + d) +

Ai+f;2

(15)

+ 2FBcosв t(p+d)-f cosю FBcose pdt

xA 1 + FB2 x A1 + f'p2 xA 1 + FB2 _

Подставляя в (15) соотношения

2 f'p cos ш

Xp "/i + f'p¿

x (p + d - r Mne

pd\ sin a

2FBcos e =-L (R + d-p sin^),

A

XW1 + FB1

Rd

sin 9

которые следуют из векторных равенств, выражающих закон отражения на зеркалах, можно получить

1

t

da

__ 1 (1 _ d_ da

L~ p(a)( _ Rd9/ R(R -1)\d9

i=-L (

+

. d sin a

L2 p(a)\ R sin 0/ R(R - t) sin

t

2

sin a

(19)

(20)

Здесь и далее верхний и нижний знаки в (19), (20) относятся к двухзеркальным системам 1-го и 2-го типа соответственно, Ь0 = р + d + t — значение эйконала на апертуре в точке А при несмещенном источнике, Я = \¥В|, р = \ОР\, а = \БР|, t = \АВ\; t = = Я — — 2A)/cos 9, ZA, ZF — координаты точек А, ¥, а = р0 + а0 + Я0 — р — Я; р0, а0, Я0 - значения переменных р, а, Я на оси Z. Величина р может быть выражена через а из уравнения образующей вспомогательного зеркала р = р(а), а может быть выражена через 9 из уравнения (1). Величина Я также может быть выражена через 9 из уравнения образующей главного зеркала Я = Я(9), 9 = аг^^Д^ — ZA)]. Таким образом, величины Я, 9, а, р и t выражаются через г и, следовательно, члены разложения (18) определяются функцией отображения 9(а) и параметрами зеркал.

4(Sy2 + Qy2)My2 - N2 = sin

pdt sin a

Подставляя (16) в (14), находим член, содержа-

2

щий oY:

sy 2

1|1

LP

d sin a

R sin 0/ R(R - t)

_/sin a2

- t)(sin 0)

(16) 2. УТОЧНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЙКОНАЛА

Для нахождения более точного распределения эйконала на главном зеркале уточним положение точки Р1 на вспомогательном зеркале, т.е. найдем

(17) поправки к

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком