РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2013, том 58, № 10, с. 1025-1032
К 60-ЛЕТИЮ ИРЭ ИМ. В.А. КОТЕЛЬНИКОВА РАН
УДК 621.396.67
ИССЛЕДОВАНИЕ И МИНИМИЗАЦИЯ АБЕРРАЦИИ В ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ ОБЪЕКТИВАХ
© 2013 г. А. С. Венецкий, В. А. Калошин
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая 11, стр. 7 E-mail: AVenetsky@yandex.ru Поступила в редакцию 10.02.2013 г.
Получена формула для эйконала в апертуре осесимметричного двухзеркального объектива при произвольном смещении источника из фокуса с точностью до третьей степени величины этого смещения. Методом Ньютона найдена поправка, уточняющая формулу для распределения эйконала. На основе полученной формулы для эйконала найдено распределение амплитуды и углов наклона лучей, отраженных от главного зеркала. Даны оценки величины астигматизма и приведены формулы для соотношения параметров осесимметричного двухзеркального объектива, которое минимизирует эту величину. В качестве примера приложения теории приведены результаты оптимизации сканирующего объектива терагерцового диапазона. В результате численного эксперимента показана возможность реализации угла зрения более 15 град.
DOI: 10.7868/S0033849413100057
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1, 2] была получена формула для распределения эйконала в апертуре осесиммет-ричной двухзеркальной телескопической системы с точностью до третьей степени величины смещения источника из фокуса системы. В работе [3] была получена формула для распределения эйконала в апертуре осесимметричного двухзеркального объектива (системы с двумя фокусами) с точностью до третьей степени величины поперечного смещения источника из фокуса системы. Однако для анализа систем с главным зеркалом большого электрического размера (более 100 длин волн) этой точности оказывается недостаточно. Кроме того, для оптимизации положения источника (приемника) при его смещении с оси необходимо знание аберраций при произвольном направлении смещения, а для анализа сканирующих свойств — амплитудного распределения поля. При оптимизации параметров объективов представляют интерес также величины лучевых аберраций. Соответствующие формулы для телескопической системы приведены в [4].
В данной работе формула для эйконала, полученная в [3], обобщается на случай произвольного смещения источника из фокуса. Найдена поправка к соответствующей формуле для эйконала, существенно ее уточняющая. Кроме того, найдено распределение амплитуды поля на главном зеркале системы, лучевое распределение и
формулы для величины астигматизма в общем случае смещения источника и расположения фокусов. Также рассмотрена задача оптимизации параметров осесимметричного двухзеркального объектива с целью минимизации астигматизма, В качестве примера применения полученных формул проведена оптимизация сканирующего объектива терагерцового диапазона.
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЙКОНАЛА
Рассмотрим осесимметричную двухзеркаль-ную систему с вынесенным из фокуса источником сферической волны, вид которой в двух плоскостях — плоскости продольного сечения (Х2) и ортогональной плоскости (ХУ) показан на рис. 1а, 1б для системы 1-го типа (типа Кассегрена) и на рис. 2а, 2б для системы 2-го типа (типа Грегори).
При расположении источника сферической волны в фокусе О системы после двух последовательных отражений от зеркал в апертуре главного зеркала формируется сферический фронт. Предположим, что только один луч, выходящий из источника под углом а к оси, проходит через заданную точку А апертуры с полярными координатами (г, Ф) и затем попадает во второй фокус ¥, образуя угол 9 с осью. В результате обеспечивается взаимно-однозначное соответствие между каждой точкой апертуры А и углом а выхода луча из источ-
(а) (б)
(а) (б)
Рис. 2. Продольное (а) и поперечное (б) сечение системы 2-го типа.
ника О и углом 9 входа в фокус F, которое описывается функциями отображения:
г = л[х1 + уА = г (а), а = а(0). (1)
Пусть точка О1 с координатами (—8Д, 0, — 8г) — положение смещенного источника. Предположим, что при смещении источника в точку О1 взаимнооднозначное соответствие точек апертуры и
множеством выходящих из О1 лучей сохраняется. При этом всегда существует луч, соединяющий точку О1 и точку А. Оптический путь Ь (эйконал) вдоль этого луча равен сумме длин трех отрезков
ЦЛв!) = \Щ + ад + |РА|. (2)
Будем искать разложение эйконала (2) в ряд по степеням Ък и Ъ2.
Для проведения дальнейших преобразований выберем систему координат XYZ с центром в фокусе О так, чтобы точка А имела координаты (ХА, 0, ZA). Тогда другие точки будут иметь координаты: В(ХВ, 0, ZB), В1(ХВ + АХ, АУ, ZB + AZ), Р(хР, 0, гР), Р1(хР + Ах, Ау, гР + А) 01(—8Х, —8У, —8^, 0(0,
0, 0). При этом ZB = Р(ХВ), гР=/(хР), где Z = Р(Х) и г = /(х) — уравнения образующих основного и вспомогательного зеркал соответственно, 8Х = = 8део8Ф, 8У = —8д8тФ.
Выражение для эйконала (2) представим в виде
L(AO{) = y¡(XB - XA + AX)2 + A Y2 + (ZB - ZA + AZ)2 +
+
V(XB -xP + AX - Ax)2 + (A Y - Ay)2 + (ZB - zP + AZ - Az)2 + V(xP + Ax + 8X)2 + (Ay + 8Y)2 + (zP + Az + 8Z)2.
(3)
С точностью до членов 3-го порядка малости по Ах, Ау, АХ, АУможно записать
AZ = FBAX + -Fb- A Y2 + Fb- AX2, B 2XB 2
fP
fP
Az = fP Ax + +L- Ay2 + Ax2. 2x p 2
(4)
(5)
Здесь и далее F'в = Г(хв), ВЦ = Г\хв), ГР = /'(хР), / р = f "(Хр).
Заменяя в выражении (3) и Аг разложениями (4) и (5), разложим выражение для эйконала (3) в ряд по степеням АХ, АУ, Ах, Ау, ограничиваясь членами 2-го порядка малости. Суммируя полученные для слагаемых эйконала выражения и приводя подобные члены, можно записать
ЦЛО^ = 4Л + й + г + Ф^Ах, Ау) + + Ф 2(Ах, АХ, Ау, АУ), где Фх = (Бх 1 + 0хх)Ах + 0пАу + + ^Х2 + 0х 2)Ах2 + (^у2 + бу2)Ау2,
(6)
Ф 2 = MX1AX + MY2AX2 +
X 2L
+ MY2AY2 + NX AxAX + NyAyAY.
Выражения для А, SX1, Qx1, SX2, QX2, QY1, S приведены в работе [2],
MX1 = F'B(cos 9 - uz) - ux + sin 9 = 0,
' 1 + 1 + 2FB'cos3(9 + Р)Л d t
Qy
y2i *¿y2
ъг COS В
Mx 2 = --
2cos2(9 + p)
ео8 в
1.1 . FB
MY2 = — + — + — cos(0 + P)cos в, 2d 2t XB
Ny =-
ео8 ю ео8 р
й ео8(ю - а)ео8(0 + р)
Неизвестные величины АХ, АУ, Ах, Ау можно найти, используя принцип Ферма. В результате получаем систему линейных уравнений
dL 3AX
= 0; = 0; ^ = 0; ^ = 0, dAY dAx dAy
(7)
решения которой имеют вид
- 2ШХ1{БХ1 + 0х1)
Ax = •
Ay =
AX =
4(Sx2 + Qx2)MX2 - Nlx -2My 2QY 1
4(SY2 + QYI)MY2 - NY ,
Nr
(8)
2M
Ax, A Y = -
X 2
2M
Ay.
Y 2
Подставляя найденные величины АХ, Ах в выражение (6), ограничиваясь членами второго порядка малости по 8Х и и приводя подобные члены, имеем
LX2 = — (8X cos а + 8Z sin а)2 -2P
MX 2(Sx 1 + QX1)2
(9)
4(^х2 + бх2)Мх2 - N2 Знаменатель выражения (9) можно привести к виду
4(Sx2 + QX2)Mx2 - NX =
>X 2
2 2 cos юcos в
d cos2^ - a)cos2(0 + p)
X 2 1
.P
2KP
cos ю t
+1Í1+ -\-
(10)
d 2KP
2Kb
tcosю cosp
1+d I-d-
4KpKB cosюcosp
где
к р = /;'(1 + /2)-3/2 = /; ео83(ш - а),
Кв = Я(1 + Гв2)-3/2 = РЦ ео83(Р + 0)
— кривизны зеркал в точках Р и В, а ю и Р — углы между падающим и отраженным лучом в этих точках. Используя методику, изложенную в работе [2], можно получить формулы для кривизны в точках Р и В:
Kp = cos® (rÉ0-р-d I, 2pd \ dа
K = cosP (p (R - d i.
B 2Rd\ d0 '
Подставляя выражения (11) в (10), нетрудно получить
4(Sx2 + &2)MX2 - NX =
2 2 cos юcos p (R -1) dQ
cos2(® - a) cos2(0 + p) pdt da
(12)
Подставляя выражение (12) в выражение (9), получаем сумму членов разложения эйконала,
пропорциональных 5 X, 8 Z и 8XbZ:
Ъ X 2 , Ъ XЪ Z . ~ ,5 Z • 2
cos a + X Z sin2a +—— sin a, (13)
2L1
2L1
2Lj
где
1 _ 1 (i _ d da) _ t (da) L _p( RdQ) R(R _ t)(dQ)
Ly 2 — 5y
My iQy i
2p 4(Sy2 + Qy2)My2 - n2
(14)
Суммируя выражения (13), (17) и выражение для
VA, приведенное в работе [2], разложение (6) для эйконала можно представить в виде
?2 2 ?2 L = р + d +1 + 5X sin a - 5Z cos a + ^ + -5y- +
2 L 2L2
+
5 X 5 z • n ^Z -2 X Z sin2a +—Zsin a +...
2L
5Z ^^2 2L/
Аналогичным образом просуммируем члены в (6), содержащие Ay, AY
Возвращаясь в исходную систему координат XYZ, в которой точки А и О1 имеют декартовы координаты (rcosФ, rsinФ, ZA) и (—SR, 0, — SZ) соответственно, последнюю формулу преобразуем к виду
L(r, Ф) = L0 + 5R cos Ф sin a -
s- , 5R (cos2 Ф 2 , sin2 Ф^, /10ч - 5Z cos a + — I-cos a +-1+ (18)
2 V Li L2 J
5 5
R ZcosФsin2a + sin2a +...,
2L
5Z ^2 < 2Ц
где
Знаменатель выражения (14) можно привести к виду
1
pdt
4(Sy2 + Qy2)My2 - N2 =
, 2 f'p cos ю л t + p + d--, p(t + d) +
Ai+f;2
(15)
+ 2FBcosв t(p+d)-f cosю FBcose pdt
xA 1 + FB2 x A1 + f'p2 xA 1 + FB2 _
Подставляя в (15) соотношения
2 f'p cos ш
Xp "/i + f'p¿
x (p + d - r Mne
pd\ sin a
2FBcos e =-L (R + d-p sin^),
A
XW1 + FB1
Rd
sin 9
которые следуют из векторных равенств, выражающих закон отражения на зеркалах, можно получить
1
t
da
__ 1 (1 _ d_ da
L~ p(a)( _ Rd9/ R(R -1)\d9
i=-L (
+
. d sin a
L2 p(a)\ R sin 0/ R(R - t) sin
t
2
sin a
(19)
(20)
Здесь и далее верхний и нижний знаки в (19), (20) относятся к двухзеркальным системам 1-го и 2-го типа соответственно, Ь0 = р + d + t — значение эйконала на апертуре в точке А при несмещенном источнике, Я = \¥В|, р = \ОР\, а = \БР|, t = \АВ\; t = = Я — — 2A)/cos 9, ZA, ZF — координаты точек А, ¥, а = р0 + а0 + Я0 — р — Я; р0, а0, Я0 - значения переменных р, а, Я на оси Z. Величина р может быть выражена через а из уравнения образующей вспомогательного зеркала р = р(а), а может быть выражена через 9 из уравнения (1). Величина Я также может быть выражена через 9 из уравнения образующей главного зеркала Я = Я(9), 9 = аг^^Д^ — ZA)]. Таким образом, величины Я, 9, а, р и t выражаются через г и, следовательно, члены разложения (18) определяются функцией отображения 9(а) и параметрами зеркал.
4(Sy2 + Qy2)My2 - N2 = sin
pdt sin a
Подставляя (16) в (14), находим член, содержа-
2
щий oY:
sy 2
1|1
LP
d sin a
R sin 0/ R(R - t)
_/sin a2
- t)(sin 0)
(16) 2. УТОЧНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЙКОНАЛА
Для нахождения более точного распределения эйконала на главном зеркале уточним положение точки Р1 на вспомогательном зеркале, т.е. найдем
(17) поправки к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.