ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2014, том 115, № 9, с. 899-905
^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.622.001
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАМАГНИЧЕННОСТИ В ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СИСТЕМАХ
ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ
© 2014 г. С. В. Белим, Т. А. Коваль
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, 644077Омск, просп. Мира, 55а
e-mail: sbelim@mail.ru Поступила в редакцию 02.12.2013 г.; в окончательном варианте — 06.04.2014 г.
Исследована зависимость намагниченности от расстояния до поверхности в полуограниченной модели Изинга с плоской свободной поверхностью. Изучено поведение намагниченности в различных точках фазовой диаграммы вещества как вблизи линий фазовых переходов второго рода, так и вблизи трикритической точки. Показано, что при значениях обменного интеграла на поверхности, превышающих обменные интегралы в объеме системы, наблюдается убывание намагниченности при удалении от поверхности по степенному закону. Если обменный интеграл на поверхности меньше значения в объеме системы, то намагниченность возрастает при удалении от поверхности системы также по степенному закону.
Ключевые слова: модель Изинга, критические явления, трикритическая точка, полуограниченные системы.
БО1: 10.7868/80015323014090022
ВВЕДЕНИЕ
Интерес к полуограниченным системам, наблюдающийся в последнее время, вызван возможностью исследования поверхностного магнетизма, существование которого приводит к изменению фазовой диаграммы вещества. Впервые возможность отличия температуры поверхностного магнитного упорядочивания от точки Кюри была продемонстрирована в работе [1] в рамках теории среднего поля. В этой же работе было показано, что намагниченность должна убывать экспоненциально при удалении от поверхности вглубь вещества. На основании этой работы в статьях [2, 3] была построена фазовая диаграмма вещества, на которой присутствуют три фазы. Эти три фазы описывают намагниченность поверхности системы и основного объема системы. Перечислим эти фазы: объемно- и поверхностно неупорядоченная (Bulk-Disordered/Surface-Disordered, BD/SD), объемно- и поверхностно упорядоченная (Bulk-Ordered/Surface-Ordered, BO/SO), поверхностно упорядоченная объемно неупорядоченная (Bulk-Disordered/Surface-Ordered, BD/SO). Соответственно, на фазовой диаграмме вещества наблюдается три линии фазовых переходов. Из BD/SD в BO/SO — обычный (ordinary) фазовый переход, из BD/SD в BD/SO — поверхностный (surface) фазовый пере-
ход, из BD/SO в BO/SO — экстраординарный (extraordinary) фазовый переход. Эти три линии фазовых переходов пересекаются в трикритической точке, которую принято называть специальным (special) фазовым переходом. Названия для фаз и фазовых переходов были введены в работах [3, 4]. Экспериментально поверхностный магнитный фазовый переход наблюдался в ряде веществ — NiO [5], Ni[6, 7], Fe [8], Gd [9, 10]. Наибольшее отличие температуры поверхностного перехода от точки Кюри 22 K для обычного перехода было получено в работе [9].
Исследование полуограниченной модели Изинга в рамках компьютерного моделирования [11, 12, 13] и теоретико-полевого подхода [14, 15] подтвердило выводы теории среднего поля и позволило получить значения критических индексов для всех четырех видов фазового перехода.
Однако во всех работах поверхностная намагниченность рассматривалась исключительно в двумерной системе поверхностного слоя. Тогда как особый интерес представляет поведение слоев спинов непосредственно под поверхностью для поверхностного и специального переходов. Даже для обычного перехода скорость роста намагниченности при удалении от точки Кюри в сторону упорядоченной фазы различается для
объема вещества в целом и поверхностного слоя. Целью данной статьи является исследование поведения намагниченности в слоях, близких к поверхностному, вблизи линий фазовых переходов методами компьютерного моделирования.
ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ
Гамильтониан полуограниченной системы Изин-га может быть записан в следующем виде:
Температура перехода определялась на основе кумулянтов Биндера четвертого порядка [17]:
Н = IX + IX
(1)
иь = 1 -
1 _
3( ш2)2
(2)
Здесь 5) — спин в /-ом узле (+1/2 или —1/2), J — обменный интеграл в основном объеме системы, JS — обменный интеграл для спинов, находящихся на поверхности. В обеих суммах учитывается взаимодействие только между ближайшими соседями. В первом слагаемом суммирование ведется по всем парам соседних спинов, хотя бы один из которых не находится на поверхности. Во втором слагаемом суммирование ведется по всем парам спинов, находящимся на поверхности. В дальнейшем удобно ввести отношение обменных интегралов Я = JS/J. Отличие в значениях поверхностных и объемных интегралов подтверждается как экспериментально, так и расчетами из первых принципов [16]. Как было показано в работе [11], отношение поверхностного и объемного обменного интегралов определяет тип фазового перехода. Существует критическое значение отношения обменных интегралов Яс такое, что при Я = Яс происходит специальный фазовый переход, при Я < Яс наблюдается обычный фазовый переход, при Я > Яс наблюдаются поверхностный и экстраординарный фазовые переходы. В работе [11] получено значение Яс = 1.55.
Для исследования поведения системы вблизи линий фазовых переходов был использован алгоритм Метрополиса. В качестве свободной поверхности была выбрана плоскость г = 0. Система располагалась в полупространстве г > 0. Рассматривались системы с простой кубической решеткой размером Ь х Ь х 2Ь. Увеличение размеров системы вдоль оси, перпендикулярной к свободной поверхности, производилось для того, чтобы была возможность наложить периодические граничные условия, на которые бы не оказывали влияния поверхностные явления. Вдоль осей, параллельных свободной поверхности, накладывались стандартные периодические граничные условия. Для плоскости г = 2Ь значения соседних спинов брались из плоскости г = Ь.
Здесь угловыми скобками обозначено усреднение по различным конфигурациям, т — магнитный момент системы. Как показано в работе [17], для систем с разными размерами Ь, кумулянты пересекаются в критической точке Тс. Кумулянты вычислялись как для всей системы для на хождения температуры объемного перехода, так и для поверхностных спинов для определения температуры поверхностного фазового перехода.
Намагниченность системы измерялась как магнитный момент, приходящийся на один спин системы:
М = Ш, N
(3)
где N — количество спинов. Для объемной намагниченности N = 2Ь3, для поверхностной N = Ь2.
Для исследования изменения намагниченности в зависимости от расстояния до поверхности также вычислялся средний магнитный момент на один спин для ближайших десяти слоев, находящихся под поверхностью.
РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Компьютерный эксперимент проводился для систем размером Ь от 12 до 28 с шагом 4, количество шагов Монте-Карло на спин было равно 3 х 105. Исследовалось распределение намагниченности системы вблизи поверхности в точке специального специального перехода, а также при обычном, поверхностном и экстраординарном переходах, близких к данной мультикритической точке.
В результате компьютерного эксперимента при различных значениях Я было выявлено, что специальный фазовый переход происходит при Яс = 1.55. Обычный фазовый переход исследовался при Я0 = 1.5, поверхностный и экстраординарный переход при Яе = 1.6.
Для обычного фазового перехода при Я0 = 1.5 критическая температура равна Т0 = 4.51. Поведение кумулянтов Биндера для обычного фазового перехода представлено на рис. 1. В этом случае поверхностные и объемные кумулянты пересекаются при одной и той же температуре. Зависимость магнитного момента на один спин от расстояния до поверхности d в упорядоченной фазе
U 0.8
0.6
0.4
0.2
m
-
-U 12 V'
- - U_ 16
_ ----U 20 \\y.
----U_ 24 l\Vv'\ \ 1V\V -.
----U 28 V.
.....U S 12 ■ 1 ft v -S
- ........... U S 16 'V.i -■....,
------и S 20 ........
_ -U - - U S 24 S 28
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 Т
Рис. 1. Поведение кумулянтов Биндера в точке обычного фазового перехода при Я = 1.5.
10
d
Рис. 2. Зависимость намагниченности от расстояния до свободной поверхности в точке обычного фазового перехода для Ь = 28 и Я = 1.5.
0
0
2
4
6
8
при T = 4.50 для системы L = 28 представлена на рис. 2.
Поведение намагниченности слоев показано сплошной линией. Штриховой линией выделено значение средней намагниченности всего образца. Как видно из рисунка, намагниченность убывает, приближаясь к средней объемной намагниченности. График зависимости намагниченности от расстояния до поверхности в двойном логарифмическом масштабе близок к прямой (рис. 3), в связи с чем поведение намагниченности может быть описано зависимостью
M = M0d Л (4)
где M0 - намагниченность на поверхности, d -расстояние до поверхности, ц — показатель, характеризующий скорость убывания намагниченности при удалении от поверхности. Для R = 1.5 было получено значение ц = 0.163 ± 0.005.
Большее значение намагниченности на поверхности образца при обычном фазовом переходе по сравнению с объемным значением объясняется более быстрым ростом магнитного момента на поверхности по сравнению с объемом. Как хорошо известно, вблизи температуры фазового перехода наблюдается сингулярное поведение термодинамических величин, которое может быть аппроксимировано степенными функциями. В частности, поведение намагниченности описывается выражением
M х \T - Tc|в. (5)
Для обычного фазового перехода нами были получены следующие значения критического индекса намагниченности: для объемного перехода
в = 0.32, для поверхностного р1 = 0.76. Данные результаты находятся в хорошем согласии как с результатами других работ по компьютерному моделированию фазовых переходов в полуограниченных системах [11, 12, 13], так и с результатами, полученными в рамках теоретико-полевого подхода [14, 15]. Как видим, поверхностная намагниченность вблизи температуры фазового перехода растет значительно быстрее объемной намагниченности. Однако при удалении по шкале температур от точки фазово
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.