ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 4, с. 395-401
УДК 519.711.2:533.15
ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ
В ГАЗОВЫХ СМЕСЯХ © 2013 г. Э. Ш. Теляков, И. И. Низамов, Б. И. Таренко, А. Р. Бикмурзин, Л. Э. Осипова*
Казанский национальный исследовательский технологический университет *Казанский государственный архитектурно-строительный университет
tesh1939@mail.ru Поступила в редакцию 13.06.2012 г.
Сопоставлены известные способы расчета многокомпонентной диффузии. Основное внимание при этом уделено анализу матричных методов описания диффузии, которые заметно выигрывают у аналитических решений в плане универсальности описания и простоты алгоритмизации расчетной процедуры. Проанализированы приемы расчета элементов матрицы многокомпонентной диффузии и разработан алгоритм расчета динамики формирования концентрационного профиля в трубке Стефана при диффузии многокомпонентной смеси через слой инертного газа.
БО1: 10.7868/80040357113040155
ВВЕДЕНИЕ
Строгость описания процесса молекулярной диффузии в значительной мере определяет и точность моделирования массообменных процессов (ректификация, абсорбция, сушка и т.д.). Следует отметить, что практически все смеси, разделяемые в промышленности, являются многокомпонентными. Поэтому проблема описания многокомпонентного массопереноса, в том числе и многокомпонентной диффузии, вызывает неослабевающий интерес у исследователей [1—7]. Механизм переноса массы в многокомпонентных системах достаточно сложен и допускает такие явления, как диффузионный барьер, осмотическая и реверсивная диффузия [1]. В этих случаях наличие (или отсутствие) собственного градиента концентраций для рассматриваемого компонента далеко не полностью определяет механизм его переноса.
Представляется, что среди известных методов описания многокомпонентной диффузии до сих пор остаются недооцененными матричные методы описания процесса, хотя они и выигрывают у аналитических решений в отношении универсальности и простоты алгоритмизации, поскольку эти процедуры при использовании матричных методов практически не зависят от числа компонентов. Причиной недооценки, на наш взгляд, является отсутствие обоснования точности и применимости матричных приемов описания диффузии. Решению данных задач и посвящено настоящее исследование.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Теоретические исследования многокомпонентной диффузии, как правило, базируются на использовании уравнения Стефана—Максвелла, которое в свою очередь получено из решения уравнения Больцмана. Это уравнение для изотермических и изобарических условий является достаточно строгим приближением, вполне удовлетворяющим требованиям практики. В качестве важнейшего допущения при выводе уравнения выступало условие независимости бинарных коэффициентов молекулярной диффузии от состава газовой смеси. Процесс многокомпонентной диффузии в т-компонентной идеальной газовой смеси описывается при этом следующей системой дифференциальных уравнений Стефана—Максвелла:
ЯТ с!1
I
] *1
N У] - 1
(1)
Для стационарной (установившейся) диффузии при постоянном давлении независимыми в системе уравнений (1) являются только т — 1
т
уравнений, так как I — = 0.
Одновременно система уравнений (1) содержит т неизвестных потоков N. Поэтому решение системы может быть достигнуто только при наложении дополнительных условий, которые обычно задаются в виде связи между отдельными потоками и имеют вид
IN = мс.
(2)
г=1
395
3*
т
На практике наиболее широко в качестве частных случаев рассматриваются и используются эк-вимолярная диффузия (Мс = 0) и диффузии контролируемого газа (газовой смеси) через слой инертных газов (I N ин = 0). В обоих случаях удается исключить из рассмотрения поток одного из компонентов и понизить размерность системы уравнений (1) до т — 1. Однако и в этом случае, невзирая на кажущуюся простоту системы уравнений (1), их аналитическое решение приводит к весьма громоздким выражениям для обоих вариантов постановки задачи [1—3] уже для трехкомпо-нентных смесей (т = 3). При этом уравнения (1) разрешаются или относительно профилей концентраций, или относительно потоков, хотя в работе [3] приводится оригинальный прием комбинированного решения обеих задач. Использование аналитических решений для моделирования процессов диффузии в смесях с числом компонентов более трех представляет скорее теоретический, чем практический интерес.
В практических приложениях (прежде всего для перехода от уравнений диффузии к уравнениям массопередачи) удобнее применять решения, выполненные относительно потоков, причем с использованием матричных методов описания диффузии.
Отмеченные недостатки аналитических приемов решения системы уравнений (1), а также запросы практического приложения результатов инициировали развитие методов расчета многокомпонентной диффузии, основанных на использовании феноменологических уравнений [7]:
р
Ш
Элементы квадратной матрицы в (3) получили название "практических" коэффициентов диффузии, а выражения для их определения находятся совместным решением уравнений (1) и (3). Анализ известных решений показывает [7], что практические коэффициенты диффузии зависят не только от бинарных коэффициентов диффузии и от концентраций диффундирующих компонентов, но и от соотношения между диффузионными потоками. Это обстоятельство также ограничивает область практического использования известных решений, поскольку соотношение между диффузионными потоками в большинстве случаев может быть определено только после расчета самих потоков.
При использовании системы уравнений (3) практически снимаются ограничения, накладываемые на решения количеством компонентов смеси, и — самое главное — существенно упрощается переход от уравнений диффузии к уравнениям массопередачи путем линеаризации уравнений диффузии [8—10]. Следует отметить, что применение данного подхода в определенной мере
N)=- Р И! )■
(3)
сдерживается слабой доказательной базой точности и применимости матричных приемов описания диффузии.
Сама по себе структура уравнения Стефана-Максвелла (1) не накладывает ограничений на условия связи между потоками (2), что принципиально допускает использование этого уравнения для описания любых произвольных вариантов протекания процессов диффузии. В этой универсальности заключается как сила, так и определенная слабость самого уравнения Стефана-Максвелла. Действительно, под изобарической и изотермической диффузией понимается смещение молекул одного сорта относительно молекул другого сорта при наличии разности их концентраций между рассматриваемыми сечениями. Поэтому по определению диффузия протекает только относительно центра масс измерительной системы и принципиально является эк-вимолярной. Это относится и к определению самих коэффициентов взаимной диффузии . В то же время сам центр масс измерительной системы может смещаться относительно контрольной поверхности, которая в условиях проведения эксперимента (например, в трубке Стефана) остается неподвижной. Данный вид переноса определяется конвективным механизмом течения среды относительно лабораторной системы координат (стефановский поток). Связь между рассматриваемыми видами диффузии выражается известным уравнением
Ni = N° + ^ = ^ + N,1.
Под эквимолярной составляющей общего
диффузионного потока N следует понимать тот поток, который имел бы место при тех же градиентах концентраций, но в эквимолярном процессе (Ыс = 0). При неэквимолярной диффузии фактические потоки компонентов N будут отличаться от N1* на какую-то величину Д^:
N1 = ^ + А^. (4)
Подставив (4) в (1) и в (2), получим
I
Щу -^Njyi = 0
о„ '
I Щ = N.
(5)
(6)
i=1
Из (5) и (6) следует, что ДМ1 = Ncy¡, что легко проверяется подстановкой. Таким образом, можно утверждать, что любой вид диффузии можно исследовать путем сведения процесса к эквимо-
т
лярному. Уравнение (3) записывается в этом случае в виде
)ЯИ!)+* м--
(7)
или
N! = -РД*2 & + Nу,, 1 ят са 1
N1 (1 - у1 ) = N*■
(8)
(9)
N* = —
ЯТ1
Дамкелера
X ^ = О
VI=1
Проведенный анализ
уравнения (10) показывает, что при его выводе использовано допущение о линейности профилей концентраций всех диффундирующих компонентов в диффузионном слое. Система уравнений (10) легко приводится к виду (7), в котором элементы матрицы практических коэффициен-
тов эквимолярной диффузии рассчитываются по уравнениям
О* = X пиУр
Для частного случая бинарной диффузии одного компонента через слой инертного газа N2 = 0; N = N1) уравнение (7) сводится к широко известному выражению, используемому для определения коэффициентов взаимной бинарной диффузии:
] *1
О* =-уР],
(11)
(12)
Из уравнений (8) и (9) видно, что эквимоляр-ная диффузия идет "труднее" чем неэквимоляр-ная. Это объясняется наложением на процесс чисто диффузионного переноса 1-го компонента сопутствующего стефановского потока, причем этот эффект зависит от концентрации инертного компонента на контрольной поверхности. Важно, что для обоих видов диффузии коэффициент переть*
носа х)12, который сохраняется и при использовании матричной записи, остается одним и тем же.
При использовании уравнения (7) диффузионная (эквимолярная) составляющая потока компонента определяется из уравнения (1) с использованием условия N = 0, а конвективная составляющая (стефановский поток) определяется условиями формирования суммарного потока на контрольной поверхности (например, условием Nин = 0). В работе [11] был предложен оригинальный метод расчета эквимолярной диффузии в многокомпонентных смесях:
X$ (у|/-о У]|/= - У]|--о у|I-I)■ (10) ]]
Сопоставление (10) с аналитическим решением уравнений Стефана—Максвелла, полученных Туром с принятием определенных допущений для эквимолярной диффузии в трехкомпонентной газовой смеси [1], показывает, что оно удовлетворяет только одному из двух уравнений Тура. Поэтому уравнения (10) являются приближенными решениями, хотя они и удовлетворяют условию
С т \
причем при расчете элементов матрицы практических коэффициентов диффузии по уравнениям (11) и (12) могут использоваться концентрации, соответствующие любому сечению диффузионного слоя, в том числ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.