ЖЭТФ, 2012, том 141, вып. 5, стр. 919 923
© 2012
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ КРОТОВОЙ НОРЫ МОРИСА-ТОРНА-БРОННИКОВА-ЭЛЛИСА С ДАВЛЕНИЕМ
И. Д. Новиков"■''*. А. А. Шацкий"**
а Астрокослшческий центр, Физический институт им. Лебедева Российской академии наук
117997, Москва, Россия
ь The Nielse Bohr International Academy, The Nielse Bohr Institute DK-2100, Copenhagen, Denmark
Поступила в редакцию 19 сентября 2011 г.
Исследована на устойчивость модель сферической кротовой норы типа Мориса-Торна-Бронникова -Эллиса. Материя этой кротовой норы состоит из радиального монопольного магнитного поля и квазиидеальной фантомной жидкости. В стационарном случае плотность энергии этой жидкости отрицательна и по модулю равна удвоенной плотности энергии магнитного поля. Давление этой жидкости в стационарном случае отсутствует (фантомная пыль), а в случае отклонения плотности энергии жидкости от ее стационарного значения давление пропорционально отличию плотности энергии от стационарного значения. Получен пример устойчивой к радиальным возмущениям кротовой норы.
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопрос об устойчивости кротовых нор является неотъемлемой частью проблемы их стабильного существования во Вселенной. Поэтому данному вопросу в литературе уделено достаточно много внимания, см. работы [1 9].
Модель простейшей кротовой норы [10 12] (фантомное скалярное поле с отрицательным кинетическим членом) оказалась неустойчивой вопреки ошибочным утверждениям в работах [1,2] ив соответствии с более поздними (независимыми) правильными исследованиями [3 7,13].
Более сложная модель такой же кротовой норы с той же метрикой [6, 7] (радиальное магнитное поле и фантомная пыль с отрицательной плотностью массы) оказалась почти устойчивой ко всем сферическим модам возмущений (за исключением продольного радиального движения пыли по инерции). Нарастание неустойчивой моды оказалось достаточно медленным: пропорционально времени [8]. Поэтому у авторов данной работы возникло предположение, что эта неустойчивая мода может быть легко подавлена введением в модель дополнительных параметров. Все эти исследования дали надежду на суще-
* E-mail: novikov'fflasc.rssi.ru
**E-mail: shatskiyfflasc.rssi.ru
ствоваиие и нахождение полностью устойчивого решения (ко всем сферическим модам возмущений).
Предыдущие результаты показали, что для кротовых нор даже с одной и той же метрикой вопрос об устойчивости не имеет однозначного ответа, поэтому данный вопрос (весьма сложный) должен изучаться для конкретной модели кротовой норы детально.
Здесь мы исследуем на устойчивость по сферическим модам похожую модель кротовой норы типа Мориса Торна Бронникова Эллиса (МТБЭ). Материя этой кротовой норы состоит из радиального монопольного магнитного поля (с топологическим зарядом ц) и квазиидеальной фантомной жидкости. В стационарном случае (относительно которого и будет проводиться исследование на устойчивость) плотность энергии е этой жидкости отрицательна и по модулю равна удвоенной плотности энергии магнитного поля. Давление р этой жидкости в стационарном случае отсутствует (фантомная пыль), а в случае отклонения плотности энергии е от ее стационарного значения давление пропорционально отличию / плотности от ее стационарного значения.
Как уже было сказано, без давления такая модель оказывается линейно-неустойчивой во времени [8].
И. Д. Новиков, А. А. Шацкий
ЖЭТФ, том 141, вып. 5. 2012
2. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Метрический тензор в сферически-симметричном случае удобно выбрать следующим1^:
8тгТ" =
(1н2 = е1'(М2 — еХ(1х2 — е/ЛИ2
(1)
Здесь в'1 = г2, где 4тгг2 площадь сферы вокруг центра системы, величины г, ь> и Л являются функциями х и 1.
Уравнения Эйнштейна, соответствующие метрике (1), в сопутствующей материи системе отсчета [14] можно записать в виде2)
8тге
2 -2ц -А
ц е ' = —в
-у (/'')'
(2)
8ттр — ц'е =
1
(3)
&пр + ц2е 2,1 = в А
1
1 : . 1 . . 1 : . 1 V
-\у + -//.г/ - -А//. - -А 4 4 4 2
3(Л)2
1.. 1,.
2И ~ 4
2//.' + ////' — А//.' — г/'//. = 0 .
(4)
(5)
Стационарная кротовая нора МТБЭ определяется метрическим тензором
(Ь2 = (М2 — (1х2 — (у2 + х2)(К}2.
(6)
/
Г
((/2+Х2 0
0
о
о
г
0
0
"Г
о
/
0
-2<у2
(</2+х \
(у2 + х2 0 0
\ 0
ООО
ООО ООО ООО/
(7)
Первый член в правой части (7) соответствует тензору энергии-импульса электрического (или магнитного) поля с зарядом ц\ второй пылевой материи с отрицательной плотностью энергии.
3. ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Рассмотрим малые сферические возмущения материи и метрики около кротовой норы МТБЭ.
Введем обозначения:
8тге
-2<у2
,2)2 г2 _ / 2 , 2
= {ц" + х"), &пр = /г/.
Здесь /г(.г) произвольная функция, имеющая физический смысл квадрата скорости звука V2 в рассматриваемой жидкости.
Перейдем далее к безразмерным координатам, т. е. положим далее радиус горловины фоновой кротовой норы равным единице: ц = 1.
Выпишем уравнения (2) (5) в линейном приближении по малым возмущениям V, А, //, /:
,_ А — // — 3.г/у' + хХ' „ 2// + А
/ — Ч г4 ' ' '
Эта кротовая нора обладает тензором энергии-импульса, соответствующим смеси монопольного электрического (или магнитного) поля и фантомной пыли:
+ ч + + = (Ю)
Единицы измерения выбираются следующим образом: скорость света с = 1, гравитационная постоянная О = 1.
Вывод чтих уравнении можно посмотреть, например в книге [14] (задача о к параграфу 100), штрих обозначает производную ио .»;, а точка ио I.
/»/ =
'//" — А — // 2'// — А
.(;('//' - А'/2 + р'/2)
(Н)
ЖЭТФ, том 141, вып. о, 2012
Исследование на устойчивость кротовой норы
/)' - .>■(,) - A)/Ç2 = 0.
Из формулы (12) имеем
>1 — А = F\ (.г) — —//'.
(lï
(13)
Если давление р изотропно, то из уравнений (2) (5) можно получить два полезных соотношения, вытекающие напрямую из формулы = 0 (следствие тождеств Бианки):
Л + 2/7 =
V =
2 р'
(14)
р + е р + е
В линеаризованном виде они записываются как
Л + Ъ) = £4 /, v' = E,\hf)'. (15)
Из (15) получаем
Ç4/ = A + 2;/ + F2(.Î:). (1G)
Выражая из (13) Л, с учетом (16) из (9) имеем
F2(x) = ^e(-rF1)'. (17)
Произвольные функции Fi(x) и 1*2 (-г) определяются выбором начальных условий (при t = 0) для малых возмущений Л, / иг/ (при заданном начальном условии для ;/(.(;, t) ). Поэтому после переобозначения при t = 0 в формулах (13) и (16) малых возмущений Л —У Л — F\ и f —у f + F'2 /£4 далее можно положить функции Fi и F-2 равными нулю.
Из уравнений (9), (10) и (13) получаем:
, = 3// у
1 ^ xÇ2
х£5
¡1 + hf - ,:Ç2(/,/)' + -L = 0,
A = - Ы' ■
(18)
(19)
(20)
Из уравнений (18), (19) имеем
г) — ht/' U(x)
V
h'
2 h
xe '
12hx2 + 3h - 3h'x£
vU(x) = 0, 1
(21)
Уравнение (21) при /г > 0 является дифференциальным уравнением гиперболического типа. На бесконечности (х ±ос) потенциал Щ.г) стремится к нулю и уравнение (21) становится уравнением для звуковых волн со скоростью звука г>я = \Л~1.
Приведем уравнение (21) к каноническому виду. Для этого сделаем замену переменных х г. Тогда дх —¥ ад-, где а = дг/дх. Уравнение (21) переписывается в виде
ha2)/,-- +ha'ri,- -ai/,
2 h
xe
h'
tiU = 0. (22)
Выберем теперь функции h(x) и a(x) так, чтобы в квадратных скобках выражения (22) стояла только величина г/,--, т.е. чтобы выполнялись равенства
ha2 = 1, ha' — a ~ ^ = 0-
Из этих условий получаем h = /io.i;4/£4, где ho = = const > 0.
Тогда гиперболическое уравнение (21) переписывается в каноническом виде:
Щг) =
V - »у,- + = о,
12fto.fr6 — 9/tQ.t:4 + (1 + л:2)2 (1 + .г2)4 '
(23)
где было учтено, что теперь переменная х зависит от переменной г согласно следующему уравнению:
'¡о z х —1 = 0.
**(*) =
'»о= ± >/Л0=2 + 4
(24)
Здесь знак «+» соответствует области х > 0, а знак <? —» области .г < 0. Исследуем сначала область .(; > 0.
Асимптотика г —¥ ^ос соответствует х
(^¡ЩГ1 0, а асимптотика г —¥ +ос соответствует .г —¥ (\Zhoz) —¥ +ос.
Решение уравнения (23) можно получить методом разделения переменных:
V(z,t) = J2Tn(t) Ф„(;
в=0
Т
J- п
т~
1 )7.
Ф,
Ф,
Щг) = -wl
(25)
(26)
Из (26) получаем Тп = cxp(iwnt). Здесь величина wn = const имеет физический смысл частоты колебаний для гармоники с номером п, у малого возмущения //.
Из формулы (26) получаем для каждой гармоники:
Ф,
«>2Ф,? -Щ:)Ф„ =0.
(27)
И. Д. Новиков, А. А. Шацкий
ЖЭТФ, том 141, вып. 5, 2012
Вид сбоку Вид сверху
Вид поверхности потенциала и(х, Ио) для Н(х) = Иох4/^4. Отсюда видно, что области II > 0 соответствует диапазон
0 < Но < Ноо и 2.8 при любых значениях х
Выражение (27) является стационарным уравнением Шредингера на всей числовой оси (—оо, оо) с потенциалом II (г).
Как известно (см. [15], § 18), энергетические уровни Еп = (иипН)2 /2 в спектре оператора Шредингера всегда положительны, если эффективный потенциал II(г) регулярен и неотрицателен при всех г, а и (г) 0 при ^ —^ оо. Из (23) следует, что и (г) удовлетворяет этим условиям при 0 < ко < Ноо ~ « 2.8 (см. рисунок). Однако физическим ограничением для параметра Но является предельная скорость звука, которая не может превышать скорости света. Поскольку квадрат скорости звука есть др/де = Н < с2, должно выполняться условие Ьщах — ко < 1.
В результате имеем го2 > 0, т. е. частота колебаний должна быть вещественной величиной.
Доказательство для области х < 0 проводится аналогично.
Таким образом, мы доказали существование модели материи, в которой функция г](х^) является невозрастающей.
Поскольку каждый член ряда (25) не возрастает при эволюции во времени, должна быть невозрастающей и производная по х от каждого члена этого ряда (так как производная по х не затрагивает компоненту Тп, отвечающую за зависимость от времени). Поэтому можно утверждать, что величина г]'{х^) также не возрастает (при 0 < Но < 1) и, следовательно, невозрастающими являются функции
и А(ж,£) (согласно выражениям (15), (18)-(20)). Таким образом, полное решение является устойчивым.
Случай Н — 0 должен быть рассмотрен отдельно: уравнение (22) при И — 0 становится уравнением параболического типа и переменные ж, £ в нем уже не разделяются, так как разложение в виде (25) становится неприменимым — см. (24). Решение уравнения (22) при И — 0 легко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.