КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2013, том 58, № 6, с. 942-951
РОСТ ^^^^^^^^^^^^^^^^ КРИСТАЛЛОВ
УДК 54855 к 70-летию Института кристаллографии РАН
ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА В ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСИ ПРИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ РАСПЛАВА В ПРИСУТСТВИИ КОНВЕКЦИИ
© 2013 г. А. Э. Волошин
Институт кристаллографии РАН, Москва E-mail: voloshin@ns.crys.ras.ru Поступила в редакцию 06.05.2013 г.
Известные одномерные аналитические модели Бартона-Прима-Слихтера и Острогорского-Мюл-лера, полученные для стационарного режима массопереноса, в простой форме описывают зависимость эффективного коэффициента распределения примеси от соотношения скоростей роста кристалла и конвективного потока. Получены решения для начального переходного режима в обеих моделях. Показано, что полученные формулы позволяют определить как скорость роста кристалла, так и интенсивность конвективного перемешивания на основе анализа распределения примеси в кристалле.
DOI: 10.7868/S002347611306026X
ВВЕДЕНИЕ
Возможность определения условий роста исследуемого кристалла по данным о неоднородности его состава основана на существовании зависимости эффективного коэффициента распределения примеси от скорости роста кристалла и интенсивности перемешивания жидкой фазы. Для каждого конкретного случая такая зависимость может быть найдена на основе совместного решения уравнений Навье—Стокса (при заданных тепловых условиях) и уравнения конвективной диффузии
^ = DAcL - (W)cL, dt
(1)
k * = = k0(i - p)k0 -1, C0
(2)
Другие обозначения в формуле (2) и последующих формулах приведены в таблице.
В [2] рассматривался случай чисто диффузионного массообмена в контейнере бесконечной длины. Хорошо известная формула Тиллера имеет вид
k *(x) = Cs(x) = 1 - (1 - k0)e'
(3)
В [4] учитывалось наличие перемешивания в жидкой фазе. Для эффективного коэффициента распределения в стационарном режиме к* было получено выражение
где еь — концентрация примеси в жидкой фазе, V — вектор скорости потока.
Решение такой задачи возможно численными методами. Однако зачастую необходимо иметь пусть и приближенную, но более простую модель, которая позволяла бы на качественном или полуколичественном уровне быстро оценивать характер массообмена в системе. Подобные приближенные модели в разное время рассматривались различными исследователями [1—6].
В [1] была получена формула для случая полного перемешивания в жидкой фазе при кристаллизации в ампуле конечного размера:
c*
k* = C* = C 0
k) + (1 - k))e-
A =
D
(4)
Эта формула широко используется различными исследователями для оценки режимов массопереноса при кристаллизации из расплава и получила общепринятое название как "формула БПС".
Для переходного режима, когда ^^ Ф 0, в [4]
дг
получено решение в виде ряда:
с* (г) _
c 0 k + (1 - k0)e e
где с5(р) — концентрация примеси в кристалле в точке, где закристаллизовалась доля р расплава.
- 2keA/2X"
i=1
ц ,5 sin ц ,5 exp j- "(f) 2 + (ц,5)2 Dt! 52 J
sin 2ц ¿5 J 1 2ц,5 J [(f i2 + (ц ¿5)2
^ (5)
c
0
где ц ¡5 — положительные корни трансцендентного уравнения
(|¡3)е1Е(|д¡8) = (1/2 - к„)Д
Почти через 40 лет после выхода работы [4] Острогорский и Мюллер [6] попытались решить ту же задачу, основываясь на более реалистичной модели процесса. Анализ проводился на основе материального баланса источников и стоков примеси. В результате (также для стационарного режима) было получено выражение
Список используемых обозначений
к* = С* = 1 + П
где
УВЪ П = а——, ЯЬ
(6)
С 0 1 + п/ко
а = 1/6 для линейной и а = 1/7, 2 — для кубической аппроксимации профилей скоростей и концентраций внутри пограничного слоя.
Для случая слабой конвекции, скорость которой сравнима с Я, авторы [6], основываясь на модели Тиллера, предложили формулу п = 4.6а .
Я Ь
В [7] было уточнено распределение скоростей и концентраций в пограничном слое при малых скоростях конвективного потока, что привело для этого случая к выражению
Я 2Ь
(7)
к
к*
с0
сь
СЬ
cS
г
%
При дальнейшем анализе под моделью Острогорского—Мюллера (модель ОМ) будем понимать совокупность формул (6, 7).
Основное преимущество одномерных аналитических моделей заключается в том, что они в простой форме описывают зависимость эффективного коэффициента распределения примеси от таких параметров, как скорость роста кристалла и скорость конвективного потока. Это позволяет легко решать обратную задачу — определять условия выращивания кристаллов по данным о распределении примеси в образце. По этой причине данные модели широко используются при анализе условий выращивания кристаллов в условиях микрогравитации.
Полученные таким образом результаты, несмотря на приближенность рассматриваемых моделей, позволяют проводить оценки на полуколичественном уровне, что дает важную информацию о реальных условиях роста кристаллов. Кроме того, эти данные могут служить хорошим начальным приближением при проведении более точных модельных расчетов, поскольку в космических экспериментах большое количество параметров, как правило, остаются неконтролируемыми. К ним можно отнести уровень микрогравитации и возникающие микроускорения, их изменение во времени и влияние на размер и форму свободной поверхности расплава, которая
ь
Я
V
V»
V
г ад
5
эффективный коэффициент (ЭК) распределения примеси (РП)
ЭК РП в стационарном режиме
равновесный коэффициент РП
начальная концентрация примеси в жидкой фазе (ЖФ)
концентрация примеси в ЖФ
концентрация примеси в ЖФ в стационарном режиме (СР)
концентрация примеси в кристалле концентрация примеси в кристалле в СР время
координата в подвижной системе координат, связанной с фронтом кристаллизации, обозначающая расстояние от фронта кристаллизации
координата в неподвижной системе координат, обозначающая расстояние от точки начала кристаллизации: х = Яг + %
характерный размер фронта кристаллизации (диаметр ампулы)
нормальная скорость роста кристалла
скорость конвективного потока
скорость конвективного потока на границе диффузионного слоя
скорость конвективного потока за пределами пограничного слоя
толщина диффузионного слоя
толщина гидродинамического слоя
коэффициент диффузии примеси в ЖФ
кинематическая вязкость расплава
определяет интенсивность термокапиллярной конвекции Марангони. Предварительный анализ данных при помощи одномерных моделей позволяет получить важную информацию, которая может быть учтена при проведении более точного численного моделирования.
К сожалению, при решении обратной задачи ни одна из формул (4) и (6) не позволяет одновременно определить Я и V» (или Vx) по значению эффективного коэффициента распределения в стационарном режиме. Для этого необходимо иметь дополнительное соотношение, связывающее эти величины.
На начальном этапе роста кристалла концентрация примеси на фронте кристаллизации меняется от величины с0 до стационарного значения
с*/к0. Поскольку в переходном режиме скорость накопления примеси существенно зависит от скорости ее прохождения через диффузионный
к
0
х
v
(a)
10
х, см
0.16 0.12 0.08 0.04 0
0.04
(б)
r/d = 10 r/d = 3
r/d = 1
10
х, см
Рис. 1. Расчет эффективного коэффициента распределения в модели Тиллера для k0 = 0.37: а — расчет к* для соотношений R/D, равных 1, 3 и 10 см-1 (T1 и T2 — расчеты по формулам (3) и (9) соответственно); б — относительная разница
к* - к*
расчета к* по формулам (3) (к*) и (9) (к*) ак = ■
к*
д с
слой (т.е. от —Ь и от 8), можно надеяться, что анализ начального переходного режима позволит получить дополнительное соотношение между скоростями роста кристалла и конвективного потока.
К сожалению, формула (5), полученная для переходного режима в модели БПС [4], непригодна для практического использования, поскольку требует проведения достаточно большого объема расчетов и не имеет преимуществ перед численным решением уравнения конвективной диффузии, особенно с учетом того обстоятельства, что, хотя (5) и дает точное решение задачи, получено оно в рамках приближенной одномерной модели процесса.
Что касается модели ОМ, то для нее переходный режим вообще не рассматривался.
Цель настоящей работы — исследование начального переходного режима при направленной кристаллизации и получение простых аналитических выражений, описывающих распределение примеси в кристалле при наличии частичного перемешивания расплава, в рамках моделей БПС и ОМ.
АНАЛИЗ МОДЕЛИ ТИЛЛЕРА
В [2, 3] исследовался случай чисто диффузионного массобмена в контейнере бесконечной длины. Рассматривалось одномерное уравнение конвективной диффузии
~д 2Ст пд cL D—L + R-^
д^2
д^
д cL дt '
(8)
при начальном условии сь = с0 для всех % при г = 0
д с
и граничных условиях Б—Ь + Я(1 - к0)сЬ = 0 для
любого г при % = 0; сь ^ с0 для любого г при
^ да.
Формула (3) [2] дает приближенное решение задачи (8), позже в [3] было получено точное решение
к*(х) = - + erf 2
(2к0 - -) е-ко(1 -ко)(R/D)x erfc
V(R / D)x 2 , 2ко -
+
-V(R/ D)x
(9)
Отметим, что именно выражение (3) известно как "формула Тиллера" и широко используется до настоящего времени. Причина заключается в том, что, несмотря на его приближенный характер, оно гораздо проще точного решения (9) и вместе с тем обеспечивает вполне приемлемую точность при проведении оценочных расчетов. На рис. 1 приведены примеры расчетов по формулам (3) и (9) для различных соотношений R/D. На рис. 1б можно видеть, что максимальная погрешность расчета по приближенной формуле (3) не превосходит 16% и имеет место на самом начальном участке роста кристалла. Для проведения оценок такая точность более чем достаточна.
Поскольку подход, развитый в [2] при выводе формулы (3), будет использован ниже, рассмотрим его подробнее.
Задача (8) решалась для стационарного состояния (дс^ = 0). Решение дает профиль распреде-
\ дг !
ления примеси в жидкой фазе:
с№ = Со I 1 +
1 - ^ -(К /П£
(10)
Формула (3) строится на основе трех положений:
— предполагается, что скорость изменения концентрации примеси в кристалле пропорциональна разнице между текущим значением е5(х) и
ее значением в стационарном состоянии (с* = с0), что приводит к экспоненциальной зависимост
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.