МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2012
УДК 539.3
© 2012 г. Д.В. БОЙКО, Л.П. ЖЕЛЕЗНОВ, В.В. КАБАНОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ НЕКРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Вариационным методом конечных элементов в перемещениях решается задача геометрически нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек с некруговым контуром поперечного сечения. Используются четырехугольные конечные элементы оболочек естественной кривизны. В аппроксимациях перемещений элементов в явном виде выделены перемещения элементов как твердых тел. С использованием вариационного принципа Лагранжа получена нелинейная система алгебраических уравнений для определения узловых неизвестных конечных элементов. Система решается методом последовательных нагружений с использованием метода линеаризации Ньютона—Канторовича. Линейная система решается методом Краута. Критические нагрузки определяются в процессе решения нелинейной задачи с использованием критерия устойчивости Сильвестра. Разработаны алгоритм и компьютерная программа для численного исследования задачи. Исследовано нелинейное деформирование и устойчивость оболочек с овальными и эллиптическими поперечными сечениями в широком диапазоне изменения параметров овализации и эллиптичности. Определены критические нагрузки и формы потери устойчивости оболочек. Выяснено влияние на критические нагрузки нелинейности деформирования, овализации и эллиптичности оболочек.
Ключевые слова: некруговые цилиндрические оболочки, поперечный изгиб, нелинейное деформирование, устойчивость, метод конечных элементов, численное исследование, критические нагрузки, формы потери устойчивости.
1. Перемещения конечных элементов некруговых цилиндрических оболочек как твердых тел. Некруговые оболочки, в отличие от круговых, недостаточно исследованы на устойчивость. Если число публикаций по круговым оболочкам исчисляется тысячами, то по некруговым оболочкам это число равно нескольким десяткам. Это можно объяснить трудностями решения задач, связанными с переменностью радиуса кривизны, что приводит к появлению переменных коэффициентов в уравнениях устойчивости. Известные решения задач устойчивости получены аналитическими методами и, как правило, в линейном приближении без учета моментности и нелинейности докрити-ческого состояния оболочек, т.е. в классической постановке.
При перемещениях элементов как твердых тел компоненты деформаций равны нулю. Приравнивая нулю линейные компоненты деформаций, изменений кривизн и кручения [1], получаем уравнения
A
Фиг. 1
б! = их = 0, 62 = k2{ + w) = 0, 63 = ох + к2 = О
Xl = Wxx = 0 , Х2 = к2[к2( U - we)]e = 0, Хз = [к2( U - we)]x = 0
Здесь u, и, w — тангенциальные перемещения и прогиб; R и к2 = R-1 — радиус и кривизна контура поперечного сечения, в — угол нормали к контуру поперечного сечения с осью b поперечного сечения, x — продольная координата (фиг. 1). Индексы x, в означают дифференцирование по переменным x, в.
Интегрированием уравнения (1.1) получаем функции перемещений конечных элементов как твердых тел
u = C1 y1 + C2y2 + C6, и = C3 c + C4s - C5 (y1c + y2s) + (C2c - C1 s)x
w = C3s - C4s - C5(y1s - y2c) + (C2s + C1c)x (1.2)
y1 = psip, y2 = -J^cip, c = cos в, s = sin в
где Ci — произвольные постоянные.
В случае эллиптической либо круговой оболочки получим соответственно:
2 2 2 , 2 ,3 , 2 2
z , y 1 о а b ,2 22,22, d b c a s ,,
-2 + -2 = 1, R = —3-, d = as + b c , k2 = —2, У1 = -—, V2 = --j (1.3) b2 a2 d3 a2b2 d d
z2 + y2 = R2, y1 = -Rc, y2 = -Rs (1.4)
2. Конечный элемент и алгоритм решения задачи. Разобьем оболочку линиями главных кривизн по образующей на m, а по направляющей на n частей. Оболочку представим набором m х n криволинейных прямоугольных конечных элементов. Используя билинейную аппроксимацию деформационных тангенциальных перемещений и би-
кубическую аппроксимацию для прогиба, с учетом выражений (1.2) запишем выражения для полных перемещений точек конечного элемента естественной кривизны
и = а 1ху + а2х + а 3у + а 4 + а6 у2 + а20 VI (2.1)
и = а5ху + а6хс + а7у + а^^с + у2^) - а20xs + а23с - а24^
3 3 3 2 3 3 2 3 2 2 2
ж = а9х у + а10х у + а11 ху + а 12х + а13ху + а14ху + а15х у +
2 3 2 3 2
+ а16 х + а17ху + а18 ху + а19 ху + а20 хс + а21у + а22 у + а23 s + + а24с + ах + а8(у 1 s - у2с) или в матричной форме
и = Ра; и = {и, и, ж}т, а = {аъ..., а24 }т (2.2)
где и — вектор перемещений точек срединной поверхности конечного элемента; а — вектор неизвестных коэффициентов полиномов ai; Р — матрица связи порядка (3 х 24), элементами которой являются множители при коэффициентах ai в соотношениях (2.1). Выражая коэффициенты ai через узловые неизвестные, получаем
а = В-1 и (2.3)
и = { и1, иЬ $1» Ф2к ^хуЬ ир °р ^ ™хур иЬ ™хуЬ и
где и — вектор узловых перемещений, углов поворотов и смешанных производных прогиба конечного элемента, В — матрица порядка (24 х 24), ненулевые элементы которой имеют вид
Ъу = Ру, Ьу = Ру, Ъ3- = Р3Р Ь4;- = (Р31 )х, ^ = СРу - (Р3])у)/К ЪЫ = (.Р3])ху (х = -аъ у = -Ъ1), ЪЦ = Рlj, Ъ8- = Рy, Ъ9- = Рзj, Ъ10- = (Р3-)х Ъ11- = (Ру - (Р3-)у)/К, Ъ12- = (Р3-)хв (х = -а 1' у = Ъ1), Ъ13- = Рlj, Ъ14- = РУ{2А) Ъ15- = Р3-, Ъщ = (Ру)х, Ъш = (Ру - (Р31 )р)/К, Ъщ = (Р3-)ху (х = а 1, у = -Ъ1) Ъ19- = Рlj, Ъ20- = Ру, Ъ21- = Р3-, Ъ22- = (Р3-^ Ъ23- = (Р2- - (Р3-)у)/К
Ъ241 = (Р3-)ху (х = а 1, у = Ъ1), 1 = 1, ..., 24, а1 = Ь/2т, Ъ1 = 1/2п
где L и ! — длины образующей и направляющей оболочки. В каждом узле конечного элемента имеется шесть неизвестных, так что конечный элемент имеет 24 степени свободы.
Подставляя выражение (2.3) в (2.2), получаем зависимость перемещений точек элемента от узловых неизвестных
и = РВ-1и (2.5)
Нелинейные соотношения Коши для деформаций и изменений кривизн срединной поверхности оболочки имеют вид [1]:
е = е, + вп (2.6)
где линейные компоненты вектора e1 = {е:, б2, б3, %2, Х3}ти нелинейные компоненты - т -
вектора eи = {е« , 0, 0, 0}т, е« = {б1и, е2„, е3„}т следующие: Е1 = их, 62 = к2( + w), 63 = их + к2ив Х1 = -™ХХ' Х2 = к2(к2( и - ))в, Хз = к2( и - )Х
61В = 1/2^ = 1/2(^)2, б2„ = 1/2^ = 1/2к2( и - ^)2,
63« = ^2 = -к2О - Wíi)
В матричной форме соотношения (2.7) и (2.8) имеют вид е, = Л,й, е„ = - BAíi
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Л, =
0
0
к2(--) в
к2(-)в (-)х
0
к2(-) 0
0 0 -(•)хх
0 к2[к2( — )]в -к2[к2(-)в]в 0 к2(:)х -к2(:)в _
Л=
0 0 -(^)х
0 к2(•) -к2{..\_
в =
д1 0 0 ^
Соотношения упругости для оболочки согласно [1] имеют вид Т = Бе
(2.10)
(2.11)
где Т = {Ть Т2, Т3, Мь М2, М3}т — вектор внутренних усилий и моментов, D — матрица упругих жесткостей, Е — модуль Юнга материала, V — коэффициент Пуассона, к — толщина оболочки
Б =
В11 В12 0 0 0 0 В11 = В22 = ЕИ/(1 - V2)
В12 В22 0 0 0 0 В12 = V Вц
0 0 В33 0 0 0 Взз = (1 - V) В22 / 2
0 0 0 А2 0 , А1 = Б22 = ЕИ3 /12 (1 - V3)
0 0 0 ^22 0 ^12 = vDll
0 0 0 0 0 Бзз Язз = (1 - V) Би/2
Рассмотрим конечный элемент оболочки, на который действует система неоднородной поверхностной нагрузки q = {дь д2, д3}т, система контурных сил и моментов
Rk = {pik, Fik, Fik, Mik, Mik, M3k)Tи система локальных сил и моментов R, = {P№ P2l, P3l, Mu, M1l, M3l}T. Индексы 1, 1, 3 соответствуют направлениям x, y, z осей. Полная потенциальная энергия конечного элемента имеет вид П = W — V, где W — энергия деформации, V — работа внешних сил. Согласно [1]:
W
= 2 JjTTeds = 2 JJ(TTet + TTen)ds = 2 JJ(e;rDe, + e[De„ + eT„De, + eTnDen)ds s s e (1.11) V = JJqTü ds + JRu kdlk + Rfu,
Запишем вариационное уравнение Лагранжа 8П = — 8У = 0. Варьируя (2.12) по узловым неизвестным, получаем
5П = JJ(efD5ei + efD5en + e„rD5ei + eT„D5en)ds - 5 V
5 V = J JqT 5 u ds + J"RT5ükdik + Rf5 ui
s L
Учитывая, что 8еи = B 5e, находим
(1.13)
5П = Jj(e;ID5el + 1 eTBTD*5el + ef(D*)TB5e + 1 eTBTDB5ejds - 5V = 0 (1.14)
B11 B12 0 0 0 0 B11 B12 0
D * = B12 B22 0 0 0 0 , D = B12 B22 0
0 0 B33 0 0 0 0 0 B33
Подставляя (2.9), (2.10) (2.13) в (2.14), получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для узловых неизвестных конечного элемента
Pu - Q = 0
K = ( B-1 )TJJPTA;IDAl Pds B 1,
K = 1- (B-1 )T JJptatbtd*a,
P ds B
-1
(1.15)
K2 = (B 1 )T JJPTATTcAPds B-1, Q = JJqTP dsB'1 + jRfPdlB1 + R
(1.16)
Tc = 1BTDB, P = K + K1 + 2KT + K2
Учитывая условия совместности перемещений элементов и граничные условия согласно [3], получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для всех узловых неизвестных оболочки
s
k
s
s
s
s
s
s
k
Ки' - О = 0 (2.17)
где К — матрица жесткости оболочки ленточной структуры, элементы которой получаются суммированием элементов матриц Р отдельных конечных элементов с использованием матрицы индексов [4]; О — вектор обобщенных узловых сил оболочки, элементы которого получаются суммированием элементов векторов Q отдельных конечных элементов с использованием матрицы индексов; ^ = {и1, ..., ик ... ит х « }т —
вектор узловых неизвестных оболочки, где ик — вектор узловых перемещений к-го узла конечно-элементной сетки.
Систему (2.17) решаем методом последовательных нагружений с использованием на каждом шаге нагружения метода линеаризации Ньютона—Канторовича [5, 6], уравнение которого для оболочки можно записать [7] в виде
Н Ди' = О - в, (и')«+1 = (и')« + А и' (2.18)
где Н — матрица Гессе оболочки, элементами которой являются вторые производные потенциальной энергии деформации, G — градиент потенциальной энергии деформации, элементами которого являются первые производные потенциальной энергии деформации. Решение линейных уравнений (2.18) проводится методом Краута [8] с использованием разложения матрицы H = LTDL на диагональную и две треугольные. Найденные узловые перемещения используются для определения перемещений (2.1), деформаций (2.6) и усилий (2.11). Контроль устойчивости оболочки осуществляется проверкой на положительную определенность матрицы Гессе по критерию Сильвестра [5], что сводится к проверке положительности элементов диагональной матрицы D. Появление отрицательных элементов соответствует потере устойчивости оболочек. После того, как найдено значение параметра нагрузки, при котором равновесное состояние неустойч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.