МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2009
УДК 539.3:534.1
© 2009 г. Д.В. БОЙКО, Л.П. ЖЕЛЕЗНОВ, В.В. КАБАНОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
И УСТОЙЧИВОСТИ ОВАЛЬНЫХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Некруговые оболочки в отличие от круговых недостаточно исследованы на устойчивость. Если число публикаций по круговым оболочкам исчисляется тысячами, то по некруговым оболочкам это число равно нескольким десяткам. Это можно объяснить, с одной стороны, меньшим использованием некруговых оболочек на практике, с другой стороны, трудностями решения задач, связанными с переменностью радиуса кривизны, что приводит к появлению переменных коэффициентов в уравнениях устойчивости. Известные решения задач устойчивости получены аналитическими методами и, как правило, в линейном приближении без учета моментности и нелинейности докритического состояния оболочек, т.е. в классической постановке.
Здесь методом конечных элементов в перемещениях решается задача геометрически нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек с некруговым контуром поперечного сечения. Используются четырехугольные конечные элементы оболочек естественной кривизны. В аппроксимациях перемещений элементов в явном виде выделены перемещения элементов как твердых тел. С использованием вариационного принципа Лагранжа получена нелинейная система алгебраических уравнений для определения узловых неизвестных конечных элементов. Система решается шаговым методом по нагрузке с использованием на каждом шаге линеаризации по Ньютону-Канторовичу. Линейные системы решаются методом Краута. Критические нагрузки определяются в процессе решения нелинейной задачи с использованием критерия устойчивости Сильвестра. Разработан алгоритм численного решения задачи на персональных компьютерах. Исследовано нелинейное деформирование и устойчивость оболочек с овальными и эллиптическими поперечными сечениями в широком диапазоне изменения параметров овализации и эллиптичности. Определены критические нагрузки и формы потери устойчивости оболочек. Выяснено влияние на критические нагрузки нелинейности деформирования, овализации и эллиптичности оболочек.
Ключевые слова: оболочки, нелинейное деформирование, устойчивость.
1. Перемещения конечных элементов некруговых цилиндрических оболочек как твердых тел. При перемещениях элементов как твердых тел компоненты деформаций равны нулю. Приравнивая нулю линейные компоненты деформаций, изменений кривизн и кручения [1], получаем уравнения
61 = ых = 0, 62 = Цз + ы) = 0, 63 = их + £2 "в = 0
Х1 = ™ХХ = 0 , Х2 = £2[£2( и - )]в = 0, Хз = [£2( и - )]х = 0
Фиг. 1
Здесь и, и, т — тангенциальные перемещения и прогиб; Я, к2 = Я 1 — радиус и кривизна контура поперечного сечения, в — угол нормали к контуру поперечного сечения с осью Ь, х — продольная координата (фиг. 1). Индексы х, в означают дифференцирование по переменным х, в.
Интегрируя уравнения (1.1), получаем функции перемещений конечных элементов как твердых тел
и = С1 У! + С2у2 + С6 , и = С3 с + - С5 (^с + у2,$) + (С2с - С15 )х
w = С35 - С4с - С5(у15 - у2с) + (С25 + С1с)X
У1 = , у2 = -|Яс(в, с = СОБв, 5 = БШв
(1.2)
где С1 — произвольные постоянные. В случае эллиптической оболочки
,3
,2 2 2 , 2 2 , а . а = а 5 + п с , к„ = —
3
22
+ = 1, я =
22 па
22 ап
а
22 ап
у =
2
_Ь_С
~ (I,
У2 =
2
а 5
(1.3)
В случае круговой оболочки
2 2 2
I + у = Я , у1 = -Яс, у2 = -Яя
(1.4)
2. Конечный элемент и алгоритм решения задачи. Разобьем оболочку линиями главных кривизн по образующей на т, а по направляющей на п частей. Оболочку представим набором т х п криволинейных прямоугольных конечных элементов. Используя билинейную аппроксимацию деформационных тангенциальных перемещений и бикубическую аппроксимацию для прогиба, с учетом выражений (1.2) запишем выражения для полных перемещений точек конечного элемента естественной кривизны
и = а 1ху + а2х + а 3у + а 4 + а6 у2 + а20 у и = а5ху + а6хс + а7у + а8(у1 с + у2з) - а20хз + а23с - а24з
33 32 3 3 23 22 2 1ч
ъ = а9х у + а10х у + а11 ху + а12х + а13х у + а14ху + а15ху + (2.1)
2 3 2 3 2
+ а16 х + а17ху + а18 ху + а19 ху + а20хс + а21 у + а22у + а23 з + + а24 с + а 6хз + а8 (у 1 з - у2 с) или в матричной форме
и = Ра; и = {и, и, ъ}Т, а = {аь ..., а24}Т (2.2)
где и — вектор перемещений точек срединной поверхности конечного элемента; а — вектор неизвестных коэффициентов полиномов а; Р — матрица связи порядка (3 х 24), элементы которой являются множителями при коэффициентах а1 в соотношениях (2.1). Выражая коэффициенты а1 через узловые неизвестные, получаем
а = В 1 и
Т (2.3)
и = { и, и, 0И, О 2 „ ЪХуЬ ир и, Мр, 01р О 2р Ъхур иь..., М>ХуЬ и
п, • ' ■, Ъхуп }
где и — вектор узловых перемещений, углов поворотов и смешанных производных прогиба конечного элемента, В — матрица порядка (24 х 24), ненулевые элементы которой имеют вид
Ь1р = Рр Ьу = P2j, Ь3р = Р3Р ь4р = (Р3р)х, Ь5р = (Ру - (Р3р)у)/Я Ьбр = (Р3р) ху, (х = - аь у = - Ь1) , Ь7р = Рр Ь8р = Р2р, Ь9р = Р3р, Ь10р = (Р3р)х Ь11р = (Ру - (Р3р)у)/Я, Ь12р = (Р3р)хв
(х = -аь у = Ь1), Ь13р = Р1р, Ь 14р = Р2р Ь 15р = Р3р, Ь1бр = ^ )х, (2.4)
Ь17р = (Р2р - (Р3р)р)/R, Ь18р = (Р3р)ху (х = аЪ у = -Ь1) Ь19р = Р1Р,
Ь20р = Ру, Ь21р = Р3р, Ь22р = (Р3р)х, ЬЪ] = (Ру - (Р3р)у)/Я
Ь24р = (Р3р)ху (х = а1, у = Ь1), р = 1, ..., 24, а1 = Ь/2т, Ь1 = //2п
где Ь, I — длины образующей и направляющей оболочки. В каждом узле конечного элемента имеются шесть неизвестных, так что конечный элемент имеет 24 степени свободы.
Подставляя выражение (2.3) в (2.2) , получаем зависимость перемещений точек элемента от узловых неизвестных
и = РВ-1 и (2.5)
Нелинейные соотношения Коши для деформаций и изменений кривизн срединной поверхности оболочки имеют вид [1]:
е = в, + вп, в, = {61, 62,63, Х1,Х2,Х3}Т, еп = {ёТп, 0, 0, 0}Т,
(2.6)
е = { }Т
еп = { 61 п, 62п, 63п }
5 Механика твердого тела, № 5
129
Е1 = их, 62 = к2( + *>), 63 = их + к2ив, Х1 = Х2 = к2(к2( и - ))р. Хз = к2( и - ),
61В = 1/23? = 1/2(^)2, б2„ = 1/23^ = 1/2к22( и - ^)2
63п = а2 = -к2™х(. и - Мр)
где б1; б2, б3, Х1, Х2, Хз — линейные компоненты вектора el, б1и, е2„, е3„ компоненты вектора ёп.
В матричной форме (2.7) и (2.8) имеют вид
ё, = Л, й, ёп = 1/2 БАЙ
(2.7)
(2.8)
нелинейные
(2.9)
Л1 =
(.■•)* 0 0
0 к2(...)р к2(^)
к2(^)р (.)х 0
0 0 -(...)**
0 к2[к2(...)]р -к2[к2(...)в]р
_ 0 к2(.)х -к2 (...)яр)_
(2.10)
Л =
0 0 -(...); 0 к2(...) -к2(...)р]
Б =
а1 0 0 а 2 ^2 а1
Соотношения упругости для оболочки согласно [1] имеют вид Т = Бё
(2.11)
где T = {Т1, Т2, Т3, М1, М2, М3}т — вектор внутренних усилий и моментов, D — матрица упругих жесткостей, Е — модуль Юнга материала, V — коэффициент Пуассона, к — толщина оболочки,
ви В12 0 0 0 0 = В22 = БН/(1 - V2)
В12 В22 0 0 0 0 В12 = V Вц
Б = 0 0 В33 0 0 0 Взз = (1 - V) Вп/2
0 0 0 ^12 0 ' Яц = Б22 = БН/12( 1 - V2)
0 0 0 ^22 0 ^12 = vDll
0 0 0 0 0 Бзз Язз = (1 - V) А1/2
Рассмотрим конечный элемент оболочки, на который действует система неоднородной поверхностной нагрузки q = {дь д2, д3}т, система контурных сил и моментов ^^ = {Ль р2к, рзк, М1к, М2к, Мзк}ти система локальных сил и моментов ^ = {Р№ Р№ Р№ Ми, М21, М31}т. Индексы 1, 2, 3 соответствуют направлениям осей х, у, г. Полная потен-
циальная энергия конечного элемента имеет вид П = Ж — V, где Ж — энергия деформации, V — работа внешних сил. Согласно [1]:
ж = 2 ЯтГ ё *=2 Я( ТТё,+Т"ё
= Цч Ти А + + кЯ
') ^ = 1 Ц( ёТБё1 + ё,Бёп + ёП Бё, + ёТБёп))
5 (2.12)
V
Запишем вариационное уравнение Лагранжа 8П = 8Ж — 8V = 0. Варьируя (2.12) по узловым неизвестным, получаем
5П = Ц( ёТБ 5ё, + ё,ТБ5 ёп + ёТБ 5ё, + ё^Бб ёп) - 5 V
5 V = Яч15" ^ + |кТ5 + КТ5 й,
(2.13)
Учитывая, что 8eи = Б5ё , находим 1-
5П = Ц[ё;ТБ5 ё, + 1 ёТБТ Б* 5 ё, + ё;Т( Б *) ТБ5 ё + 1 ёТ БТ ББ5 ё^ - 5 V = 0
В11 В12 0 0 0 0 В11 В12 0
Б* = В12 В22 0 0 0 0 , Б = В12 В22 0
0 0 В33 0 0 0 0 0 Взз
(2.14)
Подставляя (2.9), (2.10), (2.13) в (2.14), получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для узловых неизвестных конечного элемента
Рй - О = 0
(2.15)
Р = К + К1 + 2КТ + К2, К = (Б-1 )ТЦР ТЛТБЛ,Р&Б~
К1 = 1 (Б-1) Т||РТЛТБ ТБ*Л, Р & Б-1, К2 = (Б 1 )Т ЦРТЛТТСЛР&Б'(2.16)
О = Цч ТР&Б 1 + |КТР й!Б 1 + кТ, ТС = 1БТББ
Учитывая условия совместности перемещений элементов и граничные условия согласно [3], получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для всех узловых неизвестных оболочки
5
к
5
к
5
5
5
5
5
к
5* 131
Ки' - О = 0
(2.17)
где К - матрица жесткости оболочки ленточной структуры, элементы которой получаются суммированием элементов матрицы Р отдельных конечных элементов с использованием матрицы индексов [4]; О — вектор обобщенных узловых сил оболочки, элементы которого получаются суммированием элементов векторов Q отдельных конечных элементов с использованием матрицы индексов; и' = {и1, ...ит х п }т — вектор узловых неизвестных оболочки; ик — вектор узловых перемещений к-го узла конечно-элементной сетки.
Систему (2.17) решаем шаговой процедурой по нагрузке с использованием на каждом шаге метода линеаризации Ньютона—Канторовича [5, 6], уравнения которого для оболочки можно записать [7] в виде
где Н — матрица Гессе оболочки, элементами которой являются вторые производные потенциальной энергии деформации, С — градиент потенциальной энергии деформации, элементами которого являются первые производные потенциальной энергии деформации. Решение линейных уравнений (2.18) проводится методом Краута [8] с использованием разложения матрицы Н = ЬтОЬ на диагональную и две треугольные. Найденные узловые перемещения используются для определения перемещений (2.1), деформаций (2.6) и усилий (2.11). Контроль устойчивости оболочки осуществляется проверкой на положительную определенность матрицы Гессе по критерию Сильвестра [5], что сводится к проверке положительности элементов диагональной матрицы Б. Появление отрицательных элементов соответствует потере устойчивости оболочек. После того, как найдено значение параметра нагрузки, при котором равновесное состояние неустойчиво, отыскивается форма потери устойчивости оболоч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.