МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2011
УДК 539.3:534.1
© 2011 г. Д.В. БОЙКО, Л.П. ЖЕЛЕЗНОВ, В.В. КАБАНОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДКРЕПЛЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ И КРАЕВОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ
Излагается конечно-элементная постановка решения задач об устойчивости подкрепленных эллиптических цилиндрических оболочек с учетом моментности и нелинейности их докритического напряженно-деформированного состояния. Интегрированием уравнений, полученных приравниванием нулю компонентов линейных деформаций, получены явные выражения для перемещений элементов некруговых цилиндрических оболочек как твердых тел. Эти выражения использованы при построении функций формы четырехугольного конечного элемента естественной кривизны и разработан эффективный алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости оболочек. Исследована устойчивость подкрепленных эллиптических цилиндрических оболочек при комбинированном на-гружении краевой поперечной силой и изгибающим моментом. Выяснено влияние на устойчивость оболочек их эллиптичности и нелинейности деформирования в докритической стадии.
Ключевые слова: некруговые цилиндрические подкрепленные оболочки, нелинейное деформирование, устойчивость, метод конечных элементов, поперечная сила, изгиб моментом.
1. Перемещения конечных элементов некруговых цилиндрических оболочек как твердых тел. При перемещениях элементов оболочки как твердых тел компоненты деформаций равны нулю. Приравнивая нулю линейные компоненты деформаций, изменений кривизн и кручение [1], получаем уравнения
Ei = Ux = 0, S 2 = ^(Цз + w) = 0, S3 = Ux + ^Ир = 0
Xi = Wxx = 0, X2 = Ык2(и - wp)](5 = 0, X3 = [k2(u - wp)]x = 0 Здесь u, u, w — тангенциальные перемещения и прогиб, R — радиус кривизны, k2 = R-1 — кривизна поперечного сечения оболочки, Р — угол нормали к поперечному сечению с осью b, x — продольная координата (фиг. 1). Индексы x, Р означают дифференцирование по переменным x, Р.
Используя решение уравнений (1.1) согласно [2], получаем следующие выражения перемещений точек конечных элементов как твердых тел:
u = Civi + C2V 2 + C
и = C3c + C4s - C5(v1c + v2s) + (C2c - C1s)x
w = C3s - C4c - C5(v1s - v2c) + (C2s + C1c)x (1.2)
Vi = JRsde, v2 = - JRcde, s = sin в, c = cos в где C¡ — произвольные постоянные.
w, z
x, u
Фиг. 1
Функции (1.2) удовлетворяют уравнениям (1.1) и, следовательно, в линейном приближении соответствуют перемещениям элементов как твердых тел.
2. Конечный элемент и алгоритм решения задачи. Разобьем оболочку линиями главных кривизн по образующей на m, а по направляющей на п частей. Таким образом, оболочку представим набором m х п криволинейных прямоугольных конечных элементов естественной кривизны. Используя билинейную аппроксимацию деформационных тангенциальных перемещений и бикубическую аппроксимацию для прогиба, с учетом выражений (1.2) запишем выражения для полных перемещений точек конечного элемента
и = а1ху + а2х + а3у + а4 + а^у2 + а20у1 и = а5ху + а^ха + а7у + а8(^1е + у- а20х + а23с - а24в
33 32 3 3 23 22 2
к = а9х у + а10х у + а11х у + а12х + а13х у + а14х у + а15х у + (2.1)
2 3 2 3 2
+ а16х + а17ху + а18ху + а19ху + а20хс + а21у + а22у + а23з + + а24с + ах + а^у^ - у2с)
или в матричной форме
й = P а, и = {и,и, к}Т, а = {а1,...,а24}Т
где й — вектор перемещений точек срединной поверхности конечного элемента; a — вектор неизвестных коэффициентов полиномов ai; P — матрица связи порядка 3 х 24, элементы которой являются множителями при коэффициентах ai в (2.1).
Выражая коэффициенты ai через узловые неизвестные й и используя решение [3], получаем зависимость перемещений точек элемента от узловых неизвестных
где и = со1{иьи,ж,Э^,жХу1,и;,и;,Ж;,9ц,92;,Жад,ик,...,ыХук,ип,...,пХу„} — вектор узловых перемещений, углов поворотов и смешанных производных прогиба, B — матрица порядка 24 х 24.
Нелинейные соотношения Коши для деформаций и изменений кривизн срединной поверхности оболочки имеют вид [1]:
и = PB и
(2.2)
е = в; + в
п
(2.3)
5*
131
где векторы е, = {бь б2, £3, Х1, Х2, ХзГ линейных и е„ = [г1п, б 1п, Бз„,0,0,0}г нелинейных компонентов деформаций
Б1 = Ых, Б2 = + м), Бз = их + к2Щ
Х1 = -wxx, X2 = к2(к2(и - Хз = к2(и - vx
(2.4)
Б1„ = 1/292 = 1/2(Кх)2, Б2п = 2 = 1/2к22(и - Кр)2, бз„ = ^1^2 = (и - к) (2.5)
Соотношения упругости для оболочки согласно [1] имеют вид Т = Бе
(2.6)
Б =
(2.7)
где Т = {71,72,73, Мь М2, М3} — вектор внутренних усилий и моментов, Б — матрица упругих жесткостей. Для конструктивно-ортотропной оболочки матрица Б записывается в виде
'Ьи ь12 0 С11 С12 0 ¿12 ¿22 0 С12 С22 0 0 0 Ь33 0 0 С33
Сц С12 0 йп йи 0 С12 С22 0 йп й22 0 0 0 сзз 0 0 й33_
где элементы Ьу,Су,йу определяются согласно [3].
Рассмотрим элемент оболочки, на который действует система неоднородной поверхностной нагрузки д = {^1, q2, q3}T, система контурных сил и моментов Я =
т
= {Т1к, Р2к, Р3к, М1к, М2к, М3к} и система локальных сил и моментов Я., =
т
= {Тц,Р21,Р31,Му, М21,М3,} . Индексы 1, 2, 3 соответствуют направлениям х, у, г осей. Полная потенциальная энергия конечного элемента имеет вид
П = Ж - V
Ж = 2 ЛТтeds = 2 Л(Тте + Ттеп ) = ± Ц(ет7)ег + е^еп + етпБе1
2" 2^ ' "> 2
s s s
V = Л дт uds + | Ит и кй!к + ^ й,, и к = {и, и, 9Ь02,
\Бвп )
(2.8)
где Ж — потенциальная энергия деформации, V — работа внешних сил.
Для определения узловых неизвестных конечных элементов используется вариационное уравнение принципа возможных перемещений 8П = 0.
С учетом условий совместности узловых перемещений конечных элементов и граничных условий получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для определения узловых неизвестных оболочки [4, 5]:
у(и') = К и'- О = 0
(2.9)
где К — матрица жесткости оболочки; Q — вектор обобщенных узловых сил оболочки, и' — вектор узловых неизвестных всех конечных элементов оболочки.
Систему (2.9) решаем шаговой процедурой по нагрузке с использованием на каждом шаге метода линеаризации Ньютона—Канторовича, уравнение которого для оболочки можно записать [5, 6] в виде
ИЪи' = О - О, и'п+1 = ип + 5и' (2.10)
где И — матрица Гессе оболочки, элементами которой являются вторые производные потенциальной энергии деформации, G — градиент потенциальной энергии деформации. На каждом шаге итерации решение системы линейных алгебраических уравнений (2.10) проводится методом Краута [7] с использованием разложения матрицы И = ЬТБЬ на диагональную и две треугольные. Найденные узловые неизвестные используются для определения перемещений (2.2), деформаций (2.3), усилий и моментов в оболочке. Контроль устойчивости оболочки осуществляется проверкой на положительную определенность матрицы Гессе по критерию Сильвестра [8], что сводится к проверке положительности элементов матрицы Б. После того, как найдено значение параметра нагрузки, при котором равновесное состояние неустойчиво, отыскивается форма потери устойчивости оболочки из решения системы И5 = 0, где 5 — вектор бифуркационных узловых перемещений. Для этого определяется одна линейно зависимая (вырожденная) строка матрицы И, соответствующая первому отрицательному элементу матрицы Б. Элементы этой строки и соответствующего столбца матрицы И полагаются равными нулю. На место диагонального коэффициента заносится единица, а в правую часть системы переносится соответствующий столбец, умноженный на докритическое перемещение, соответствующее вырожденной строке. Из решения полученной таким образом системы и отыскивается форма потери устойчивости оболочки. В случае предельной точки форма потери несущей способности отыскивается из нелинейного исходного напряженно-деформированного состояния при нагрузке, близкой к предельной. Изложенный алгоритм реализован вычислительной программой для компьютера.
3. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек. Рассмотрим задачу нелинейного деформирования и устойчивости консольно-защемленной на одном краю (и = и = = = 0) подкрепленной стрингерным набором эллиптической цилиндрической оболочки при действии изгибающего момента М и поперечной силы Q. На нагруженном краю оболочка подкреплена шпангоутом большой жесткости на изгиб в своей плоскости. Действие изгибающего момента М заменяем действием неоднородных по окружности оболочки осевых усилий Тх = Mz\JJ, где — расстояние точек контура до оси а. Действие поперечной силы Q заменим действием погонных краевых касательных усилий Тху = QS/I, где 8, / — статический момент отсеченной части и момент инерции поперечного сечения оболочки относительно оси а.
Оболочка имеет длину Ь = 1000 мм, толщину к = 2 мм, эквипериметрический радиус Я0 = 1900 мм, модуль упругости Е = 7 х 104 МПа, коэффициент Пуассона и = 0.3. Радиус Я0 определяется как радиус круговой цилиндрической оболочки, имеющей тот же периметр, что и эллипс
л/2 Г Г 21 11/2
= Р = 2а 1 ^ -1 - () *т24 = 2аВ ((
2п п I \а I п \2 а
0
где Р — периметр поперечного сечения оболочки, а и Ь — полуоси эллипса, В(п/2,Ь/а) — полный эллиптический интеграл второго рода. Площадь поперечного сечения стрингеров Гс = 100 мм2, собственный момент инерции /с = 3333 мм4, шаг стрингеров йс = 150 мм, эксцентриситет стрингеров относительно срединной поверх-
ности оболочки ес = 10 мм. Оболочка разбивалась конечно-элементной сеткой т х п = 14 х 140, при этом обеспечивается сходимость решения с погрешностью не превышающей 0.5%.
Результаты численного исследования представлены на фиг. 2 (для неподкреплен-ной оболочки) и фиг. 3 (для подкрепленной оболочки), где для эквипериметрических эллиптических оболочек показаны зависимости параметров кт = М*/М0, кТ = О*/О0 (М*, Q* — критические значения изгибающего момента и поперечной силы;
М0 = nER0h2/V3(1 - и2), Qo = лR0CSb, Sb = 0.74Eh(h/R0)5/4(R0/L)1/2/(1 - и2)5/8; С = 0.953 -критические значения изгибающего момента и поперечной силы для круговой цилиндрической оболочки с радиусом Я0 при раздельном действии М, Q) от параметра эллиптичности оболочки a = а/Ъ в случае линейного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных напряженно-деформирован
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.