МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2012
УДК 539.3:534.1
© 2012 г. Д. В. БОЙКО, Л. П. ЖЕЛЕЗНОВ, В. В. КАБАНОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ
ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОВАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ И КРАЕВОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ
Излагается конечно-элементная постановка решения задач об устойчивости подкрепленных овальных цилиндрических оболочек с учетом мо-ментности и нелинейности их докритического напряженно-деформированного состояния. Интегрированием уравнений, полученных приравниванием нулю компонент линейных деформаций, получены явные выражения для перемещений элементов некруговых цилиндрических оболочек как твердых тел. Эти выражения использованы при построении функций формы эффективного четырехугольного конечного элемента естественной кривизны, разработан эффективный алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости оболочек. Исследована устойчивость подкрепленных овальных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении краевой поперечной силой и изгибающим моментом. Выяснено влияние на устойчивость оболочек их овальности и нелинейности деформирования в докритической стадии.
Ключевые слова: овальная оболочка, устойчивость, комбинированное на-гружение.
1. Перемещения конечных элементов некруговых цилиндрических оболочек как твердых тел. При перемещениях элементов оболочки как твердых тел компоненты деформаций равны нулю. Приравнивая нулю линейные компоненты деформаций, изменений кривизн и кручение [1], получаем уравнения
81 = пх = 0, 8 2 = k2<Up + w) = 0, 83 = Vx + k2Ue = 0
X1 = Wxx = 0, X2 = k2[k2(o - Wp)]p = 0, X3 = [k2(u - wp)]x = 0
Здесь u, u, w — тангенциальные перемещения и прогиб, R — радиус кривизны, к2 = R-1 — кривизна поперечного сечения оболочки, р — угол нормали к поперечному сечению с осью b поперечного сечения, x — продольная координата (фиг. 1). Индексы x, р означают дифференцирование по переменным x, р.
Используя решение уравнений (1.1) согласно [2], получаем следующие выражения перемещений точек конечных элементов как твердых тел:
и = С>1 + С2Ц2 + C6
и = C3c + C4s - C5(y1c + y2s) + (C2c - C1s)x
w = C3s - C4c - C5(^1s - y2c) + (C2s + C1c)x (1.2)
= JRsdp, y2 = - JRcdp, s = sin p, c = cos p
u, х\
Б
V I
А
А
Фиг. 1
где С1 — произвольные постоянные. Функции (1.2) удовлетворяют уравнениям (1.1) и, следовательно, в линейном приближении соответствуют перемещениям элементов как твердых тел.
2. Конечный элемент и алгоритм решения задачи. Разобьем оболочку линиями главных кривизн по образующей на т, а по направляющей на п частей. Таким образом, оболочку представим набором т х п криволинейных прямоугольных конечных элементов естественной кривизны. Используя билинейную аппроксимацию деформационных тангенциальных перемещений и бикубическую аппроксимацию для прогиба, с учетом выражений (1.2) запишем выражения для полных перемещений точек конечного элемента
и = а-ху + а2х + а3 у + а4 + а6у2 + а2оУ1 и = а5ху + а6хе + а7у + а8(у-с + у^) - а2х + а23с - а245
33 32 3 3 23 22 2
= а9х у + а-0х у + апх у + а-2х + а-3х у + а-4х у + а-5х у + (2.1)
2 3 2 3 2
+а^х + а-7ху + а-8ху + а^ху + а20хс + а2-у + а22у + а235 + +а24с + аб+ а8(у-5 - у2с) или в матричной форме
й = Р а, и = {и, и, и>}г, а = {а1,...,а24}Т
где й — вектор перемещений точек срединной поверхности конечного элемента; a — вектор неизвестных коэффициентов полиномов а,; Р — матрица связи порядка 3 х 24, элементы которой являются множителями при коэффициентах а, в (2.1).
Выражая коэффициенты а, через узловые неизвестные й и используя решение [3], получаем зависимость перемещений точек элемента от узловых неизвестных
й = РВ _1й (2.2)
где и = С01{и, и, V, VхуЬ и у, Цу, V], 9ц, Ъу, ™ху], ик,..., ^хук, и„,..., Vхуп} - вектор узло-
вых перемещений, углов поворотов и смешанных производных прогиба, В — матрица порядка 24 х 24.
Нелинейные соотношения Коши для деформаций и изменений кривизн срединной поверхности оболочки имеют вид [1]
e = e, + e„ (2.3)
Линейные компоненты вектора e, = {е1; £ 2, £3, Xi, X 2, X з)Г имеют вид
£1 = ux
X1 = -Wxx, X2 = k2(k2(u - Wp))p, x3 = k2(u - we)x Нелинейные компоненты вектора e n = {e in, £ 2n, £ 3n, 0,0,0}T следующие: £i„ = 1/292 = 1/2(wx)2, £2« = 1/292 = 1/2k22(u - wp)2, £3n = 9i92 = -k2Wx(u - wp) (2.5)
£ 2 = k 2e + w), £ 3 = + k2u e
(2.4)
Соотношения упругости для оболочки согласно [1] имеют вид Т = Бе
(2.6)
D =
(2.7)
где T = (7|, T2,T3, Mh M2, M3} — вектор внутренних усилий и моментов, D — матрица упругих жесткостей. Для конструктивно-ортотропной оболочки матрица D записывается в виде
bii bi2 0 си С12 0
¿12 b22 0 C12 C22 0
0 0 b33 0 0 с33
Cii C12 0 dii di2 0
C12 C22 0 di2 d22 0
0 0 с33 0 0 d33_
где элементы by,Су,dy определяются согласно [3].
Рассмотрим элемент оболочки, на который действует система неоднородной поверхностной нагрузки q = {qb q2, q3}T, система контурных сил и моментов =
= {Pik, P2k, P3k, Mik, M2k, M3k} и система локальных сил и моментов R, =
T
= {Pyl, P2j, P3i, My, M2i, M3l} . Индексы 1, 2, 3 соответствуют направлениям x, y, z осей. Полная потенциальная энергия конечного элемента имеет вид
П = w - V
W = 2 J|TTeds = 2 Я(TTej + TTe„)ds = 2 JJ(eTDej + eTDe„ + eTn Del + eTn Den)ds (2.8)
s s s
V = jjqTuds + JRkkukdlk + RTU, uk = {u, u, w, 9b 92, wxy}T
где Ж — потенциальная энергия деформации, V — работа внешних сил.
Для определения узловых неизвестных конечных элементов используется вариационное уравнение Лагранжа 5 П = 0 принципа возможных перемещений.
Варьируя по узловым перемещениям конечного элемента, получаем [4, 5] систему нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных конечных элементов. С учетом условий совместности узловых перемещений конечных элементов и граничных условий получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для определения узловых неизвестных оболочки
у(и') = Ки - О = 0
(2.9)
где К — матрица жесткости оболочки; Q — вектор обобщенных узловых сил оболочки, ^ — вектор узловых неизвестных всех конечных элементов оболочки.
Систему (2.9) решаем шаговой процедурой по нагрузке с использованием на каждом шаге метода линеаризации Ньютона — Канторовича [6], уравнение которого для оболочки можно записать [5, 6] в виде
где Н — матрица Гессе оболочки, элементами которой являются вторые производные потенциальной энергии деформации, G — градиент потенциальной энергии деформации. На каждом шаге итерации решение системы линейных алгебраических уравнений (2.10) проводится методом Краута [7] с использованием разложения матрицы Н = ЬТБЬ на диагональную и две треугольные. Найденные узловые неизвестные используются для определения перемещений (2.2), деформаций (2.3), усилий и моментов в оболочке. Контроль устойчивости оболочки осуществляется проверкой на положительную определенность матрицы Гессе по критерию Сильвестра [8], что сводится к проверке положительности элементов матрицы Б. После того, как найдено значение параметра нагрузки, при котором равновесное состояние неустойчиво, отыскивается форма потери устойчивости оболочки из решения системы Н5 = 0, где 5 — вектор бифуркационных узловых перемещений. Для этого определяется одна линейно зависимая (вырожденная) строка матрицы Н, соответствующая первому отрицательному элементу матрицы Б. Элементы этой строки и соответствующего столбца матрицы Н полагаются равными нулю. На место диагонального коэффициента заносится единица, а в правую часть системы переносится соответствующий столбец, умноженный на докритическое перемещение, соответствующее вырожденной строке. Из решения полученной таким образом системы и отыскивается форма потери устойчивости оболочки. В случае предельной точки форма потери несущей способности отыскивается из нелинейного исходного напряженно-деформированного состояния при нагрузке, близкой к предельной. Изложенный алгоритм реализован вычислительной программой для компьютера.
3. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек. Рассмотрим задачу нелинейного деформирования и устойчивости консольно-защемленной на одном краю (и = и = н = = 0), подкрепленной стрингерным набором овальной цилиндрической оболочки при действии изгибающего момента М и поперечной силы Q.
Рассмотрим овал, построенный следующим образом из двух пар окружностей при заданных значениях полуосей а и Ь (фиг. 1). Проводим окружность радиуса а с центром О до точки Б. Проводим окружность радиуса а—Ь с центром В до пересечения с прямой АВ. Делим отрезок АС пополам, восстанавливаем к нему перпендикуляр. Проводим из центров Ог, ОЯ дуги окружностей малого г и большого Я радиусов окружностей. Точка сопряжения дуг окружностей определяется углом а. Из условий построения овала имеем его геометрические характеристики:
Н5и' = О - О, и '„+! = и '„ + 5и'
(2.10)
г = а
1 + к2 -У 1 + к2
к = tga = Ь/а,
а = аг^ -
а
Ь
1 + к2 -V1 + к2 '
а 1/а Фиг. 2
Фиг. 3
Периметр овала равен Р = 4(Я а + г у), у = п/2 - а. Радиус окружности с таким же периметром (эквипериметрический радиус) определяется как радиус круговой цилиндрической оболочки R0 = Р/2п, имеющий тот же периметр, что и овал.
С нагруженной стороны оболочка подкреплена шпангоутом большой жесткости на изгиб в своей плоскости. Действие изгибающего момента М заменяем действием неоднородных по окружности оболочки осевых усилий Тх = Mz1/J, где z1 — расстояние точек контура до оси а. Действие поперечной силы О заменим действием погонных краевых касательных усилий Тху = QS /1, где ¿5, / — статический момент отсеченной части и момент инерции поперечного сечения оболочки относительно оси а.
Оболочка имеет длину Ь = 1000 мм, толщину Н = 2 мм, эквипериметрический радиус Я0 = 1900 мм, модуль упругости Е = 7 х 104 МПа, коэффициент Пуассона V = 0.3. Площадь поперечного сечения стрингеров Рс = 100 мм2, собственный момент инерции /с = 3333 мм4, шаг стрингеров йс = 150 мм, эксцентриситет ес = 10 мм. Оболочка разбивалась конечно-элементной сеткой т х п = 14 х 140, при этом обеспечивается сходимость решения с погрешностью, не превышающей 5%.
Результаты численного исследова
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.