ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 1, с. 18-27
УДК 551.513
ИССЛЕДОВАНИЕ НИЗКОЧАСТОТНОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ ОБЩЕЙ ЦИРКУЛЯЦИИ АТМОСФЕРЫ С ПОМОЩЬЮ ВРЕМЕННЫХ ЭМПИРИЧЕСКИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
© 2007 г. М. Б. Галин
Институт географии РАН 119017 Москва, Старомонетный пер., 29 Поступила в редакцию 28.03.2006 г., после доработки 27.06.2006 г.
Кратко изложена с единой точки зрения теория как пространственных, так и временных эмпирических ортогональных функций (ЭОФ) как дискретного варианта разложения Карунена - Лоэва. Методами ЭОФ обработаны результаты численного эксперимента длительностью 1300 суток в режиме "постоянного" января с суточным шагом, что позволило выделить из общей изменчивости атмосферной циркуляции составляющую, обусловленную внутренними гидро-термодинамическими процессами. Для выделения внутрисезонной изменчивости (зимний сезон) главные компоненты поля высоты изобарической поверхности 500 гПа подвергались обработке с помощью фильтра, близкого к П-образному и выделяющему полосу частот 0.1-0.01 сут-1. Пространственные главные компоненты анализировались методом временных ЭОФ. Полученные спектральные характеристики могут характеризовать внутри-сезонную низкочастотную изменчивость и частично согласуются с эмпирическими данными.
1. ВВЕДЕНИЕ
Низкочастотная изменчивость общей циркуляции атмосферы (частоты менее 0.1 сут-1 и, следовательно, периоды более 10 сут) исследуется с помощью численного моделирования и обработки результатов спектральной гидродинамической модели с реалистической физикой. В данной работе мы ограничились внутрисезонной изменчивостью - периоды 10-90 сут. В предыдущих работах [1, 2] результаты были основаны на простых моделях - адиабатических, без взаимодействия с подстилающей поверхностью, двухуровенных и, самое главное, малокомпонентных (спектральное урезание Т3, которое оставляет в разложениях рассматриваемых функций 9 спектральных компонент). В принятой модели L15T21 мы имеем 15 уровней по вертикали, треугольное урезание Т21 приводит к 252 спектральным комбинациям, а с учетом отрицательных волновых номеров мы имеем 483 вещественных параметра. Используемая глобальная модель [3] в физическом блоке учитывает коротковолновую и длинноволновую радиацию, облака трех ярусов, фазовые преобразования влаги, пограничный слой, взаимодействие с подстилающей поверхностью; в динамическом блоке учитывается крупномасштабная орография.
2. МЕТОД ЭМПИРИЧЕСКИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Метод эмпирических ортогональных функций имеет своим источником разложение Карунена-
Лоэва [4, 5], см. также [6, 7], произвольной случайной функции х(г), заданной на ограниченном временном отрезке (-Т/2, Т/2), по системе детерминированных (числовых) функций времени
х(X) = £Хкфк(X), к = 1, 2, ..., (1)
к = 1
где Хк - случайные величины, фк(г) - ортонормиро-ванные собственные функции интегрального оператора с ядром В(г,
Т /2
| В(X, 5)фк(5)^ = Vkфк(X). (2)
-Т/2
Здесь В(г, = (х(г)х^)} - корреляционная функция случайного процесса х(г), угловые скобки означают осреднение по статистическому ансамблю, причем средние по ансамблю значения равны нулю (х(?)} = 0. Поскольку в дальнейшем осреднение по ансамблю заменяется осреднением по времени, будем предполагать, что средние по времени значения также равны нулю. Известно, что Vк - собственные числа интегрального оператора (2) - равны дисперсиям случайных величин Хк, т.е. (Х2к} = Vk. Причем сумма величин vk равна интегралу от В(г, г) по отрезку -Т/2 < г < Т/2.
В прикладных работах рассматриваются оценки В(г, s) по эмпирическим данным, а учитывая ортогональность функций фк(г) для разных к, эти функции получили название эмпирических ортогональных функций (ЭОФ). Разложение (1) обоб-
щается на случай двух переменных, в частности на пространственные поля. Тогда в (2) вместо интегрального оператора по времени будет фигурировать интегральный оператор по пространству, корреляционная функция В(?, 5) заменяется функцией В(х, у, X, у'), а собственные функции фк(?) -функциями фк(х, у). Если под областью определения случайной функции понимать время, то собственные функции называют временными ЭОФ (T-EOF), если же область пространства, то - пространственными ЭОФ (S-EOF).
Хотя в прикладных исследованиях основной интерес представляет дискретный случай (пространственный или временной), для непрерывного I были теоретически получены важные результаты при некоторых ограничениях на В(^, 5). Так, в [8] при условии стационарности для процессов с рациональной спектральной плотностью /(ю) = = Q2m(ю)/P2n(ю) &2т и Р2„ - многочлены степеней 2т и 2„ соответственно, т < „) был предложен общий метод решения уравнения (1). В [9] в тех же предположениях предложен оригинальный метод нахождения собственных значений V,;- и собственных функций фк(?) интегрального оператора (1). Показано, что собственные функции фк(?) являются комбинациями экспонент:
п
Ф*(О = Xскехр(1Юк]{), к = 2 •••' (3)
1 = 1
причем между дискретным спектром V;, интегрального оператора (1) (его иногда называют сингулярным спектром случайного процесса х(ф и обычным спектром (спектральной плотностью) /(ю) в [9] найдено очень простое соотношение
2п/(юк}) = Vk, ] = 1, 2, • п, к =1, 2, • . (4)
Для нахождения Cj и Юj указана явная процедура. Полную систему уравнений для определения V,;-
и юк мы здесь не выписываем (см. [9]).
В приложениях, естественно, переходят к дискретному варианту - конечному числу точек как в случае временной, так и пространственной зависимости. Тогда в уравнении (2) интегральный оператор переходит в матрицу, функция фк(?) переходит в вектор, а в правой части (1) остается конечное число N1 слагаемых - по числу точек дискретизации.
В разложении (1) или его пространственном аналоге члены располагаются в порядке убывания дисперсии их коэффициентов, т.е. в порядке убывания собственных чисел корреляционной (автоковариационной) матрицы исходного поля. Основное преимущество разложения (1) перед другими в том, что большая часть полной дисперсии поля концентрируется в первых N2 членах, причем N2 существенно меньше, чем N1. Эта процедура сведения вектора Хк (к = 1, 2, ..., N1) к вектору мень-
шей размерности N2 используется в факторном анализе и как статистическая теория восходит к работе Хотеллинга [10].
Переходя от Nl-мерного вектора наблюдаемых значений величины х к ^-мерному вектору коэффициентов разложения Xk, мы фактически перешли к координатам исходного вектора в новом базисе. Эти координаты получили название главных координат (главных компонент - PC). Отсюда и сам метод иногда называют анализом главных компонент. Последние обозначают S-PC или T-PC в зависимости от пространства или времени.
В метеорологических приложениях сначала получил распространение пространственный вариант ЭОФ (S-EOF), хотя, как было сказано выше, в теории сначала развивался вариант T-EOF. Для анализа горизонтальной структуры метеорологических полей метод S-EOF использовался Э. Лоренцем [11] и H.A. Багровым [12], а для вертикальной структуры - A.M. Обуховым [13], см. также обзор [14]. Позднее в метеорологии и, более широко, в геофизике получил распространение и метод T-EOF. В применении к эмпирическому материалу - это работы [15, 16], а для обработки данных моделирования метод использовался в [1, 2].
3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭОФ
Статистические характеристики (в основном спектры) внутрисезонной изменчивости на примере зимнего сезона определялись путем обработки результатов численного моделирования зимней циркуляции на срок 1300 суток. В связи с поставленной целью физическая схема модели была подвергнута некоторым ограничениям. Модель функционировала в режиме "постоянного" января. Так, поток солнечной радиации на верхней границе атмосферы был зафиксирован на уровне среднего январского значения. Аналогично были закреплены климатическая температура поверхности океана и альбедо поверхности.
В качестве начальных условий были взяты реальные данные за 5 января 1979 г. В процессе интегрирования дополнительно отслеживалась глобальная кинетическая энергия всей толщи атмосферы. Как видно из рис. 1, модель выходит на статистически стационарный режим в течение первых 100 суток. Поэтому статистической обработке подвергался интервал следующих 1200 суток с суточным шагом. Хотя модель глобальная и воспроизводит поля на всей сфере, обрабатывалось поле изобарической поверхности 500 гПа (H500) в Северном полушарии (зимний сезон).
Полученные в результате интегрирования поля H(t, X, ф), где X - долгота, ф - широта, рассматривались в узлах географической сетки на широтах 10-80° с шагом по широте 10° и по долготе 15°
КЕ 175
170
165
160
155
150
145
140
135
130
125
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Сутки
Рис. 1. Глобальная кинетическая энергия атмосферы (106Дж/м2, г = 0-1300 сут).
(всего 192 точки). Дискретным аналогом оператора (2) будет матрица взаимных корреляций Б3 поля Н в указанных точках (корреляции считались по интервалу 1200 сут). Порядок матрицы равен 192, ее собственными векторами будут эмпирические ортогональные функции 8к(Х, ф) (S-EOF), которым соответствуют собственные значения %к (аналог vk в формуле (2) в пространственном случае). По собственным векторам разлагались ежедневные поля в интервале 1200 сут.
N1
Н(хД,ф) = £ Хк(X)Бк(Х,ф).
(5)
к = 1
Величины хк(г) известны для дискретных моментов времени, и их можно считать статистически стационарными случайными векторами. Величины Хк равны дисперсиям коэффициентов хк(г) и занумерованы в порядке убывания. Сумма собственных чисел Хк равна полной (суммарной по всем точкам) дисперсии случайного поля Н. Коэффициенты разложения хк(г) при S-EOF носят названия пространственных главных компонент S-PC. Будучи функциями времени, они анализировались путем построения временных эмпирических ортогональных функций T-EOF.
4. ФИЛЬТРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Конечной целью исследования является обработка временных рядов хк(г) с суточным интервалом с целью нахождения их спектральных характеристик в интервале периодов 10-90 суток. Объясняя методику фильтрации любого числового ряда, опу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.