научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА С ТРИГАРМОНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА С ТРИГАРМОНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 4, с. 337-348

УДК 629.78.015

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА С ТРИГАРМОНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ

© 2014 г. Е. В. Баринова, И. А. Тимбай

Самарский государственный аэрокосмический университет (национальный исследовательский университет) l5545@yandex.ru, timbai@mail.ru Поступила в редакцию 16.05.2012 г.

Рассматривается плоское движение относительно центра масс неуправляемого спускаемого аппарата, аэродинамический восстанавливающий момент которого описывается нечетным рядом Фурье по углу атаки с тремя первыми гармониками. Построена плоскость параметров для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в зависимости от соотношения коэффициентов, стоящих при гармониках разложения. Найдены аналитические формулы для интеграла действия, взятого вдоль сепаратрис, выраженные через элементарные функции и эллиптические интегралы первого и второго рода. Определены моменты перехода между различными областями фазовой плоскости. Для случаев движения, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области, найдены формулы для определения вероятности захвата в ту или иную область.

Б01: 10.7868/80023420614040013

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается плоское движение неуправляемого осесимметричного спускаемого аппарата (СА) относительно центра масс на верхнем атмосферном участке траектории спуска, где скорость центра масс, угол наклона траектории практически равны скорости и углу входа в атмосферу, а демпфирование играет пренебрежимо малую роль. Оценки показывают, что во многих случаях такое допущение не приводит к серьезному искажению картины движения [1, 2]. Характер углового движения неуправляемого осесимметричного СА на верхнем атмосферном участке траектории спуска в основном определяется аэродинамическим восстанавливающим моментом, возникающим в момент нарастания скоростного напора и зависящим от угла атаки. В работе исследуются случаи, когда в процессе спуска происходит изменение характера движения: вращательное движение переходит в колебательное, колебательное движение "скачкообразно" переходит в колебательное движение с другими амплитудными характеристиками.

Характер движения СА во многом определяется формой зависимости восстанавливающего момента от угла атаки, которая является нечетной функцией и в общем случае аппроксимируется нечетным рядом Фурье по углу атаки. В [1] исследованы переходные режимы движения СА с сину-

соидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, что характерно для СА, имеющих форму сферы или тонкого конуса. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются СА сегментально-конической, затупленно-конической и других форм (спускаемые модули Союз, многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы, отделяемые части ракет-носителей) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух или даже трех гармоник тригонометрического ряда в разложении. Наличие второй гармоники в характеристике восстанавливающего момента обусловливает возможность появления одного, а наличие третьей — двух дополнительных положений равновесия СА по углу атаки, то есть дополнительных особых точек на фазовом портрете, что приводит к появлению ряда новых случаев переходных режимов. Изучение переходных режимов движения необходимо для определения компонентов перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме СА.

Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения

равновесия, проанализированы в [2, 3]. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в явном виде, что существенно затрудняет анализ движения. В [4] на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения СА под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. В [5] исследуются переходные режимы движения асимметричного СА, характеристика момента которого представлена в виде суммы двух первых синусоидальных и первой косинусо-идальной гармоник. В данной работе внимание уделено исследованию переходных режимов движения СА с характеристикой восстанавливающего момента представленной в виде суммы трех синусоидальных гармоник. Такую характеристику в дальнейшем будем называть тригармонической моментной характеристикой.

Плоское угловое движение СА с тригармони-ческой моментной характеристикой при указанных выше допущениях описывается следующим уравнением [2, 4]:

а + a(z) sin а + b(z)sin 2а + c(z)sin 3а = 0,

(1)

Со = -mcSl р

2/, V2

(0):

z = exp[P(i - *о)],

2/,

р = яу0^т е0|,

где та, тъ, тс — постоянные коэффициенты, S — характерная площадь, I — характерный размер, /п — поперечный момент инерции аппарата, К0 — скорость полета, 90 — угол наклона траектории, Р(0) — плотность атмосферы в начальный момент времени I = t0, X — логарифмический градиент плотности атмосферы по высоте.

НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СА

Для выяснения общих свойств движения системы (1) воспользуемся методом фазовой плос-

кости. Интеграл энергии системы в случае невозмущенного движения, когда коэффициенты a, b, c постоянны (z = const), имеет вид:

(а 72) - g(a) = h,

(2)

2 4 3 где g(a) = (a - c)cosa + bcos a + -ccos a.

Экстремальные значения функции g(a) соответствуют состояниям равновесия уравнения (1), т.е. особым точкам на фазовой плоскости. Из выражения (2) следует, что в зависимости от значения коэффициентов a, b, c могут существовать две, три или четыре особые точки на отрезке [0, п]:

а! = 0, а2 = п, cos а3 = (—а - п)/4, cos а4 = (-а + п)/4,

(3)

где а — угол атаки, а(г),Ъ(г), с(г) — коэффициенты характеристики восстанавливающего момента, г — медленно меняющийся параметр, переменность которого связана с медленным изменением плотности атмосферы в процессе спуска.

Коэффициенты уравнения движения (1), если зависимость плотности атмосферы от высоты полета аппроксимировать экспонентой, могут быть представлены в виде [2, 4]:

а = ао1, Ъ = Ъо1, с = Со1,

у2 у2

ао = -Ша57р(0) тт, Ъо = -тъБ1р(0) ,

2/ п

где п = а/и- - 4v + 4; V = а/с = та/тс; ц = Ъ/с =

= Шъ1тс.

Очевидно, что коэффициенты V, ц являются постоянными во время всего движения СА, тогда как коэффициенты а, Ь, с увеличиваются в процессе спуска в связи с ростом плотности атмосферы.

Для определения числа и характера особых точек фазового портрета системы построена плоскость параметров V, ц (рис. 1). Она разделена на пять областей следующими границами: V = 2ц - 3,

V = -2ц - 3, V = (ц2/4) + 1 (области обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, 5). В таблице, приведенной на рисунке, показано, какие положения равновесия являются устойчивыми ("центр"), а какие неустойчивыми ("седло") в зависимости от знака коэффициента с и номера области.

Следует отметить, что при одинаковом количестве и характере особых точек тип фазовых портретов может отличаться. На рис. 2—10 приведены все возможные типы фазовых портретов, для случая, когда коэффициент с > 0.

Область 1 дополнительно разбивается на обла-

3 2 1 1

сти 1А, 1В и 1С границами V = —ц +-ц, V = —

16Р 2* 3

(рис. 1).

Область 1А. На фазовом портрете системы внешняя сепаратриса проходит череза = п. Имеются пять областей движения: вращательная, внешняя колебательная, которая охватывает три внутренние колебательные области (рис. 2).

Области 1В и 1С. На фазовом портрете системы внешняя сепаратриса проходит через а = а 4. Также имеются пять областей движения: вращательная, две внешние колебательные, одна из которых охватывает две внутренние (рис. 3).

Граница областей 1А и 1С (V = ^ Ц2 +1 ц). На фазовом портрете системы сепаратрисы, прохо-

№ области а1 = 0 а3 а4 а2 = п

с < 0

1 Седло Центр Седло Центр

2 Седло - - Центр

3 Центр - - Седло

4 Центр - Седло Центр

5 Седло Центр - Седло

с < 0

1 Центр Центр Седло Седло

2 Центр - - Седло

3 Седло - - Центр

4 Седло Центр - Седло

5 Центр - Седло Центр

Рис. 1. Плоскость параметров V, р для определения числа и типа особых точек фазового портрета.

дящие через а = п и через а = а4, сливаются. Имеются четыре области движения: вращательная и три колебательные (рис. 4).

Область 2. На фазовом портрете системы имеются две области движения: вращательная и колебательная, разделенные сепаратрисой, проходящей через а = п (рис. 5).

Область 3. На фазовом портрете системы имеются две области движения: вращательная и колебательная, разделенные сепаратрисой, проходящей через а = 0 (рис. 6).

Область 4 дополнительно разбивается на обла-

3 2 1 1

сти 4А, 4В и 4С границами V = — ц +-ц, V = —

16 2 3

(рис. 1).

—3 —2 —1 0 а4 а3 а* п

а, рад

Рис. 2. Фазовый портрет системы, соответствующий области 1А.

Области 4А, 4С. На фазовом портрете системы внешняя сепаратриса проходит через а = п. Имеются четыре области движения: вращательная, внешняя колебательная, которая охватывает две внутренние колебательные области (рис. 7).

Область 4В. На фазовом портрете системы внешняя сепаратриса проходит через а = 0. Также имеются четыре области движения: вращательная, внешняя колебательная, которая охватывает две внутренние колебательные области (рис. 8).

Граница областей 4В и 4С (V = -1/3). На фазовом портрете системы сепаратрисы, проходящие

а, рад

Рис. 3. Фазовый портрет системы, соответствующий области 1В (1С).

а, рад/с

п

а, рад

а, рад/с

2 1 0 1 2

а4 а3 п а, рад

Рис. 4. Фазовый портрет системы, соответствующий границе областей 1А и 1С.

а, рад/с 7 г

П

а, рад

Рис. 5. Фазовый портрет системы, соответствующий области 2.

а, рад/с 4 г

п

а, рад

Рис. 6. Фазовый портрет системы, соответствующий области 3.

Рис. 7. Фазовый портрет системы, соответствующий области 4А (4С).

через а = п и через а = 0, сливаются.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»