М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2015
УДК 532.51
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ АДВЕКТИВНОГО ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО ТЕЧЕНИЯ В СЛАБО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ МИКРОГРАВИТАЦИИ
© 2015 г. Н. С. КНУТОВА, К. Г. ШВАРЦ
Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь
e-mail: natalie@knutov.com
Поступила в редакцию 16.11.2014 г.
Исследуется адвективное термокапиллярное течение, возникающее в слабо вращающемся горизонтальном слое жидкости в условиях микрогравитации. Границы слоя свободные и считаются плоскими, на них действует касательная термокапиллярная сила Марангони. На границах имеется теплоотдача по закону Ньютона, температура среды вблизи границ слоя — линейная функция координат. Ось вращения перпендикулярна слою жидкости, вращение слабое, что позволяет пренебрегать центробежной силой. Рассматриваемое течение описывается аналитически как точное решение уравнений Навье—Стокса. В рамках линейной теории исследованы нейтральные кривые, описывающие зависимость критического числа Марангони от волнового числа при различных значениях чисел Тейлора и Грасгофа и числе Прандтля Pr = 6.7.
Ключевые слова: микрогравитация, вращение, устойчивость, нормальные возмущения, нейтральная кривая.
Адвективные течения возникают в горизонтальном слое жидкости при линейном распределении температуры на границах. Устойчивость плоскопараллельных адвективных течений, возникающих в слое при отсутствии вращения, с учетом земного притяжения, изучена достаточно полно. Для случая твердых границ и свободной верхней границы она исследована в работах [1—5]. В [6—9] изучалась устойчивость термокапиллярного течения при условии теплоотдачи со свободной поверхности по закону Ньютона и теплоизоляции на нижней твердой границе. Показан специфический термокапиллярный механизм неустойчивости, обусловленный силой Марангони. Кроме того, были рассмотрены проблемы устойчивости термокапиллярных течений с учетом деформации свободной поверхности. В [10, 11] было впервые описано адвективное термокапиллярное течение в слое со свободными границами.
Публикаций по исследованию устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое существенно меньше. В [12—14] исследуются течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости с твердыми границами и со свободной верхней границей с учетом гравитации. Исследование устойчивости адвективных течений в слабо вращающемся слое жидкости со свободными границами в условиях невесомости (ускорение силы тяжести g = 0) для Pr = 6.7 и Pr = 0.1 представлено в [15, 16], соответственно. Следует также отметить работу [17], в которой исследуется неустойчивость термокапиллярного течения во вращающемся слое жидкости для случая твердой теплоизолированной нижней границы и свободной верхней в условиях микрогравитации (g ^ 0). В рамках линейной теории были построены нейтральные кривые зависимости критического числа Марангони от числа Прандтля при различных
значениях числа Тейлора. Была указана необходимость учета силы Кориолиса при исследовании термокапиллярных течений в условиях микрогравитации.
Впервые задача об устойчивости в горизонтальном плоском слое со свободными границами была теоретически решена Релеем в 1916 году. Решалась задача о конвективной устойчивости равновесия при подогреве снизу. Был рассмотрен горизонтальный слой жидкости со свободными недеформируемыми границами, на которых поддерживалась разница температур [18]. Эта задача исследована довольно основательно и при наличии вращения [19]. Библиографический анализ показывает, однако, что на данный момент исследования устойчивости адвективного термокапиллярного течения с двумя свободными границамии в условиях микрогравитации не проводились. В данной статье (продолжении [15]) исследуется линейная устойчивость адвективного термокапиллярного течения в слабо вращающемся слое жидкости в условиях микрогравитации для случая обеих свободных границ.
1. Постановка задачи. Рассмотрим плоский бесконечный слой несжимаемой жидкости шириной 2Н, вращающийся с постоянной угловой скоростью в условиях микрогравитации. Ось вращения совпадает с вертикальной осью X декартовой системы координат ХУХ. Оси ХУ вращаются также с угловой скоростью О0. Вращение слабое и позволяет пренебрегать центробежной силой на достаточно большом расстоянии от вертикальной оси. Обе границы слоя свободные и считаются плоскими, на них действует касательная термокапиллярная сила Марангони, коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры Т [20]: а = а0 -у (Т - Т), где у — температурный коэффициент поверхностного натяжения, на границах осуществляется теплоотдача по закону Ньютона. Температура среды вблизи границ слоя — линейная функция координат: Т = Ах, где А — постоянный горизонтальный температурный градиент на границе слоя.
Исследование проводилось на основе безразмерных уравнений динамики вязкой жидкости с соответствующими граничными условиями для скорости и температуры. В качестве единиц измерения длины, времени, скорости, температуры и давления выбраны, соответственно, И, Н /2, уАН/р0у, Ah, уА, где V — коэффициент кинематической вязкости, р0 — плотность жидкости. В результате получены следующие уравнения:
ди + Мп
дг
ди , ди , ди и--+ и--+ ы—
дх ду дг.
- л/Таи = - — + А и
дх
(1.1)
ди дг
+ Мп
, ди , ди , ди и--+ и--+ ы—
дх ду дг._
+ ^Ъаи = -— + А и ду
(1.2)
дг
+ Мп
, ды , ды , ды и--+ и--+ ы —
дх ду дг
= -дР + + в Т
ди + ди + ди _ о
дх ду дг
дТ дг
+ Мп
дТ дТ дТ и--+ V--+ ы —
дх ду дг.
дг
= - —АТ Рг
Мп
(1.3)
(1.4)
(1.5)
где р — давление, — компоненты вектора скорости, г — время, Мп = уАИ /р^ —
число Тейлора, Рг = у/% — число Прандтля,
число Марангони, Та = (2О.0Н2/у)2
вг = gвAН4/V2 — число Грасгофа. Здесь ^о — постоянная угловая скорость, И — полутолщина слоя, V — кинематическая вязкость жидкости, а — коэффициент поверхност-
2 Механика жидкости и газа, № 3
ного натяжения, р0 — средняя плотность, х — коэффициент температуропроводности,
10 5 м/с2 < g < 10 3 м/с2 — ускорение силы тяжести в условиях микрогравитации, Р — коэффициент теплового расширения. Уравнение состояния в приближении Бусси-неска выбираем в следующем представлении: р = р0 (1 -в T). Будем рассматривать ситуацию, когда число Фруда Fr = Q2//g ^ 1 [20], здесь / — характерный горизонтальный масштаб. Тогда влиянием центробежной силы можно пренебречь, так как оно компенсируется полем тяжести.
При z = ±1 выполняются следующие граничные условия:
ди д T ди д T п . dT -vi^ \ /1
— =--, — =--, w = 0, p = p0 - const, — = +Bi (T - x) (1.6)
дг дх дг ду дг.
где Bi = bh/p0v — число Био, b — коэффициент теплоотдачи.
Накладывается условие замкнутости потока
1 1
\udz = 0, \vdz = 0 (1.7)
-1 -1
2. Аналитическое решение. Во вращающемся слое несжимаемой жидкости формируется однородное по х, у стационарное течение, которое может быть описано аналитически в виде точного решения уравнений Навье—Стокса. Решение системы (1.1)—(1.5) с граничными условиями (1.6) будем искать в следующей форме [21]:
и = U0 (г), и = ц, (z), w = 0, T = х + Т0 (z), p = Р0 (х, у, г) (2.1)
Подставляя (2.1) в (1.1)—(1.5), получим систему уравнений для давления, скорости и температуры
Фс = G (х + Т0) (2.2)
dz Mn '
—/Таи0 = и0' (2.3)
VTau0 = и0' (2.4)
MnPru0 = т0' (2.5) с граничными условиями при г = ±1
и0 = -1, и0 = 0, т0 = +В1т0 (2.6)
Проинтегрируем уравнение (2.2), определяя давление
, Gr
Ро = Ph + — Mn
х (z + 1)+ {Т0 ()d 1
-1
(2.7)
где рн — давление на нижней границе. Подставив (2.7) в уравнения (2.3) и (2.4), получим систему
«0 +>/таи0 =дрн + ^ (г +1) (2.8)
дх Мп
-л/та«0 =^ (2.9)
ду
Умножим (2.9) на мнимую единицу г и сложим его с уравнением (2.8). Введем
обозначения — комплексную функцию скорости М (г) = и0 (г) + ги0 (г) и Р = ^^ + г ^^.
дх ду
Тогда система (2.8)—(2.9) сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для комплекснозначной функции М (г):
М " (г) - гч/ТМ (г) = Р + ^ (г +1) (2.10)
Граничные условия для М такие:
М' (±1) = -1 (2.11)
Из условий замкнутости потока (1.7) следует 1
\М (г) Сг = 0 (2.12)
-1
При наличии вращения Та > 0 термокапиллярное течение имеет две ненулевые компоненты скорости. Решение (2.10)—(2.12)
__ (Хг) + вг 1 Г + вИ (Хг)
М(г) -11 _г+ (2.13)
^ ' ХоИ (Х) Мп Х2 I гоИ (Х^
где и0 = ЯеМ (г), и0 = 1тМ (г). Первое слагаемое обусловлено термокапиллярным эффектом, второе — микрогравитацией.
Учитывая, что М (-1) = -М (1), найдем температурную компоненту
МпРг
т0 =
л/та
ц,и0 (1) г . 0 1 + Б1 0 .
(2.14)
Решая краевую задачу (2.10)—(2.11) для скорости и температуры в отсутствие вращения (Та = 0), получим плоскопараллельное неизотермическое течение
М С') - + МП ()
где щ = ЯеМ (г) = -г + ^ (^"Т^), и0 = 1т М (г) = 0 При этом профиль температуры
т0 = РгМпБ1(г - г3> + - г3 + р^Щг5 - 10г3 + 9г) + г5 - 10г3 + 25г 0 6 (Б1 +1) 120 (Б1 +1)
На фиг. 1, а—в представлены профили компонент скорости и0 (г), и0 (г) и температуры т0 (г) для различных значений числа Грасгофа и фиксированных значениях чисел Та = 10, Мп = 10. Все расчеты проводились при Рг = 6.7, Б1 = 0.1. Профили компонент скорости и температуры антисимметричны относительно оси 2. На графиках видно, что максимальные значения скорости достигаются на свободных границах слоя, а температура принимает экстремальные значения вблизи этих границ. При фиксиро-
Фиг 1. Зависимость компонент скорости щ (а), ио (б) и температуры то (в) от продольной координаты I при различных значениях числа Грасгофа: Та = 10, Мп = 10; Ог = 1 (1), Ог = 5 (2), Ог = 8 (3)
ванном числе Грасгофа с ростом числа Тейлора первая компонента скорости монотонно убывает, вторая компонента монотонно возрастает от нулевого значения до максимального, а при Та > 6.5 начинает монотонно убывать аналогично и0 (г).
3. Линейная теория. Для исследования устойчивости стационарного термокапиллярного течения (2.13), (2.14) применим метод малых возмущений
V = V 0 + V, V 0 = («0,и0,0), V = (и,и, ю), Т = Т0 +9, Р = р0 + Р' (3.1)
Здесь V, 0, р' — малые возмущения. Подставим возмущенные поля скорости, давл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.