КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2013, том 58, № 3, с. 357-365
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ ОТММЕТРИЯ
К 5481 Посвящается А.М. Заморзаеву
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЯТИМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ И НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ НА НЕЙ © 2013 г. А. Ф. Палистрант
Молдавский государственный университет, Кишинёв E-mail: mepalistrant@yandex.ru Поступила в редакцию 26.01.2012 г.
Для выявления структуры пятимерных точечных групп симметрии с инвариантной трехмерной плоскостью и неподвижной точкой на ней дан подробный обзор каталога исследуемых 1208 трехмерных точечных групп 10 розеточных Р-симметрий при P — G20, которыми с точностью до строения интерпретируются упомянутые группы симметрии пятимерного евклидова пространства категории G530, где цифры 530 индекса указывают последовательно размерность пространства и размерности инвариантных подпространств в нем.
DOI: 10.7868/S002347611303017X
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Необходимость вывода многомерных дискретных групп симметрии и их возможных подгрупп диктуется не только математическими задачами «-мерной геометрической кристаллографии, но и потребностями современной физики. Так, в работах Яннера и Янссена 1969—1979 гг. приведены примеры конкретных соединений, симметрия которых описывается многомерными группами. В частности, в [1] отмечено, что симметрия периодически искаженного кристалла с иррациональными периодами искажения описывается 6-мерными фёдоровскими группами.
Что касается «-мерных групп симметрии и их всевозможных подгрупп, то их вывод при « > 4, как показали исследования 4-мерных фёдоровских групп в [2], осуществлять таким путем, как это делалось в трехмерном пространстве [3] (после предварительного полного вывода «-мерных точечных "кристаллографических" групп 0«о и всех типов «-мерных решеток Бравэ), становится уже невозможным.
Основным методом вывода «-мерных групп симметрии при п > 5 является подробно описанный в [4] так называемый арифметический метод применения конечных групп целочисленных (п х «)-матриц, давший возможность расширить теорию трехмерных решеток на «-мерные и создать методы их полных исследований при любом конкретном значении «. Однако сам процесс вывода всевозможных различных пятимерных точечных групп О50 и пятимерных решеток Бравэ, как следует из [4], является довольно сложной и трудоемкой задачей, требующей глубоких теоретиче-
ских исследований и использования мощных вычислительных средств.
Наряду с важными универсальными методами геометрической теории чисел, развитыми в [4] московской школой Б.Н. Делоне, для исследования многомерных групп симметрии особую роль в совершенствовании принципиального метода решения задачи «-мерной геометрической кристаллографии имеют разработанные в [5, 6] принципы применения одно-, двух-, и трехмерных групп Р-симметрии для подсчета и моделирования субпериодических «-мерных групп симметрии.
В этих работах показано, что, например, г-
мерными группами /-кратной антисимметрии О1г при их полной классификации, согласно общей теории, описанной в [7], полностью интерпретируются с точностью до строения все различные многомерные плоскостные группы симметрии категории 0{г+цг+/-1).„(Г +1)Г, сохраняющие в (г + /)-мерном пространстве последовательно включающие друг в друга плоскости размерностей г + / — 1,
г + / — 2, ..., г + 1, г, а группами О/ десяти розеточных Р-симметрий при Р ~ О20, исчерпывающихся р- и (р')-симметриями прир = 1, 2, 3, 4, 6, — группы симметрии категории 0{г+Т)г [8, 9]. Далее группами
О/ таблеточных Р-симметрий при Р ~ О320 исчерпывающихся (р, 2)- и (р\ 2)-симметриями, интерпретируются с точностью до строения все различные группы симметрии категории 0{г+3)(г+ 2)г [8, 9], а
группами О/ гипертаблеточных Р-симметрий 1-го порядка при Р ~ О4320 исчерпывающихся (р, 2, 2)- и (р\ 2, 2)- симметриями — группы симметрии категории 0(г + А){г + Щг + 1у [9].
Аналогичным образом группами Ор 32 кристаллографических Р-симметрий при Р ~ О30 моделируются с точностью до строения все различные (г + 3)-мерные группы симметрии категории
0{г+3)г [10]. В свою очередь группами О/ 122 гиперкристаллографических Р-симметрий первого порядка при Р — О430 интерпретируются все различные группы симметрии категории О(г+ 4)(г+3)г
[11], а группами О/ 624 гиперкристаллографических Р-симметрий 2-го порядка при Р ~ О5430 — все различные группы симметрии категории
О,
(r + 5)(r + 4)(r + 3)r
[12]. Наконец, группами Ор биро-зеточных Р-симметрий, соответствующих группам подстановок Р ~ О420, моделируются все различные с точностью до строения группы симметрии категории О(г + 4)(г+Т)Г [13].
С помощью отмеченных способов использования г-мерных групп О/ данной Р-симметрии (где 0 < г < 3) для исследования интерпретируемых ими многомерных групп симметрии удается выявить не только количество самих многомерных групп симметрии данной категории, но и установить структуру каждой из них, ибо между группами Ор и моделируемыми или многомерными группами симметрии устанавливается не только взаимно однозначное, но и сильно изоморфное соответствие, что означает, согласно [14], что каждая конкретная группа из множества групп
категории О/ и интерпретируемая ею многомерная группа симметрии имеют одинаковое строение.
Что касается пятимерных групп симметрии (так как они на очереди после исследованных в [15] четырехмерных), то структура каждой из них не просто усматривается. Выходом из этого положения является имеющийся способ использования обобщенных классических групп Р-симмет-рии, которыми моделируется рассматриваемая категория пятимерных групп симметрии, для нахождения их структуры. Выявлению количества пятимерных групп симметрии с инвариантной трехмерной плоскостью и неподвижной точкой на ней, т.е. пятимерных групп симметрии категории О530 в краткой записи, а также структуры каждой отдельной группы симметрии этой категории и посвящается настоящая работа. Таким образом, для решения задачи понадобится каталог трехмерных точечных групп О3Р0 розеточных Р-сим-метрий при Р ~ О20 и доказательство факта, что
отмеченными группами О3Р0 интерпретируются с точностью до строения все различные группы
симметрии категории О530 .
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Р-СИММЕТРИИ
Напомним некоторые необходимые для решения поставленной задачи понятия и факты за-морзаевской теории Р-симметрии, изложенной в [5, 6]. Приписывая каждой точке фигуры F хотя бы один индекс i = 1, 2, ...,p и фиксируя некоторую группу Р подстановок этих индексов, называем преобразованием Р-симметрии индексированной фигуры F ее изометрическое преобразование, переводящее каждую точку с индексом i в точку с индексом k так, чтобы подстановка
Г1 2 p }
s = е P; такие преобразования g разла-
V k1 k2 kp J
гаются на преобразования симметрии s рассматриваемой фигуры F и подстановки s из группы Р подстановокp качеств, наделенных точками преобразуемой фигуры F. Преобразования Р-сим-метрии g = ss = ss составляют мультипликативную группу G, входящие в них преобразования симметрии s — ее порождающую группу S, подстановки индексов s — группу Р1; при Р1 = Р называем Gгруппой полной Р-симметрии, при e с P1 с P неполной Р-симметрии, а при Р1 = е группа G = S.
Если G — группа полной Р-симметрии, то H = G П S — ее подгруппа симметрии, а Q = G П P — подгруппа подстановок индексов. Группу G называем старшей при Q = Р (тогда H = S, а G = = S х Р), младшей при Q = e (тогда G изоморфна S, что соответствует символической записи G = S) и Q-средней при e с Q с P. Всякую группу G полной Р-симметрии, как указано в основной теореме А.М. Заморзаева [5, 6], можно вывести из ее порождающей S путем нахождения в S и Р таких нормальных делителей H и Q, для которых существует изоморфизм фактор-группы S/H на Р/Q, попарным перемножением соответствующих по изоморфизму смежных классов и объединением полученных произведений. Совокупность всех групп Р-симметрии с общей порождающей назовем порожденным ею семейством (ср. с [5, 6]).
Вывод старших групп Р-симметрии тривиален, так как они соответствуют случаю Q = Р, поэтому изоморфизм фактор-группы S/H на Р/Q возникает только в том случае, когда нормальный делитель H группы S совпадает с ней. Это означает, что старшая группа G Р-симметрии является прямым произведением порождающей группы S и группы подстановок Р, характеризующей рассматриваемую Р-симметрию (G = S х Р). Младшие группы данной Р-симметрии выводятся из определенной порождающей группы S, согласно основной теореме, только в том случае, если S обладает таким нормальным делителем H, что S/H = Р, ввиду того, что для этого типа групп Р-симметрии Q = е. Практически младшие группы Р-симметрии, где Р/Q ~ Р, удобно выводить
методом Шубникова—Заморзаева, т.е. поочередной заменой в системе образующих исходной группы S ее преобразований симметрии соответствующими преобразованиями Р-симметрии таким образом, чтобы полученная при этом новая группа О была изоморфна взятой группе S, а подстановки индексов, входящие в преобразования полученной группы О, составляли отмеченную группу Р.
Изучение 0-средних групп Р-симметрии, согласно основной теореме, связано с перебором нетривиальных нормальных делителей Q групп подстановок Р, характеризующих рассматриваемые Р-симметрии, а сам подсчет этих групп становится возможным, если предварительно выявлены младшие группы Р-симметрии, ибо, как показано в [14], число Q-средних групп Р-симметрии в данном семействе равно числу младших групп Р-симметрии с той же порождающей, если фактор-группа Р/Q сильно изоморфна Ро (Р/Q = Ро).
Широта понятия Р-симметрии и ее многообразная применимость [5] вызвали к жизни различные принципы классификации Р-симметрий [6], из которых понадобится так называемый геометрический способ, позволяющий выявить десять розеточных Р-симметрий, записанных в [9] в виде групп, задающих р- и (р')-симметрию при р= 1, 2, 3, 4, 6, в случае, когда группа подстановок качеств Р изоморфна последовательно каждой из десяти двумерных кристаллографических точечных групп симметрии категории О20.
ТРЕХМЕРНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ РОЗЕТОЧНЫХ Р-СИММЕТРИЙ
Приведем каталог нужных для решения поставленной задачи тр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.