КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2012, том 50, № 4, с. 315-325
УДК 629.7
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМА ГАШЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В НЕШТАТНОЙ СИТУАЦИИ
© 2012 г. А. А. Давыдов1, В. В. Сазонов2
Государственный космический научно производственный центр им. М.В. Хруничева, г. Москва 2Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 03.10.2011 г.
Рассматривается нештатная ситуация на космическом аппарате (спутнике Земли), связанная с отсутствием измерений компоненты угловой скорости КА относительно одной из его связанных осей. Измерения угловой скорости используются при управлении вращательным движением КА с помощью двигателей-маховиков. Возникает задача исследования функционирования штатных алгоритмов управления при отсутствии части необходимых измерений. В данной работе эта задача решена для алгоритма, обеспечивающего гашение угловой скорости КА. Показано, что такое гашение возможно не при всех начальных условиях движения. В общем случае реализуется один из двух возможных финальных режимов, описываемых устойчивыми стационарными решениями уравнений движения. В одном из них компонента угловой скорости КА относительно оси, для которой отсутствуют измерения, отлична от нуля. С помощью численных расчетов получены оценки областей притяжения этих стационарных решений. Предложен простой способ, позволяющий вывести начальные условия режима гашения угловой скорости из области притяжения нежелательного решения. Проведена реконструкция нескольких имевших место реализаций этого режима. Реконструкция выполнена посредством аппроксимации телеметрических значений компонент угловой скорости и суммарного кинетического момента двигателей-маховиков, полученных в нештатной ситуации, решениями уравнений вращательного движения КА.
ВВЕДЕНИЕ
На космическом аппарате дистанционного зондирования Земли — малом спутнике, находившимся на солнечно-синхронной орбите с высотой 600 км, — возникла нештатная ситуация, в результате которой была утрачена возможность измерения компоненты угловой скорости КА относительно одной из его связанных осей. Измерения угловой скорости использовались при управлении вращательным движением КА с помощью двигателей-маховиков. В рабочих режимах КА отсутствие измерений компенсировалось информацией, получаемой от звездного датчика. Однако при гашении достаточно большой угловой скорости использование этого датчика было невозможно. Возникла необходимость исследовать функционирование штатного алгоритма гашения угловой скорости при отсутствии измерений одной из ее компонент. Ниже эта задача изучена с двух точек зрения.
Во-первых, исследованы дифференциальные уравнения, описывающие процесс гашения угловой скорости КА в нештатной ситуации. Показано, что такое гашение возможно не всегда. Произвольное вращательное движение КА со временем переходит в один из двух возможных финальных режимов, описываемых устойчивыми стационарными решениями уравнений движения. В одном из них компонента угловой скоро-
сти КА относительно оси, для которой отсутствуют измерения, отлична от нуля. С помощью численных расчетов получены оценки областей притяжения этих стационарных решений. Найден простой способ, позволяющий вывести начальные условия режима гашения угловой скорости из области притяжения нежелательного решения.
Во-вторых, проведена реконструкция нескольких фактических реализаций режима гашения угловой скорости КА в нештатной ситуации. Реконструкция выполнена посредством аппроксимации телеметрических значений компонент угловой скорости и суммарного кинетического момента двигателей-маховиков решениями уравнений вращательного движения КА.
УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КА И ИХ СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
КА представляет собой гиростат. Он состоит из твердого главного тела, на котором установлены три двигателя-маховика. Каждый маховик имеет относительно главного тела одну степень свободы — может вращаться вокруг собственной оси материальной симметрии.
Систему координат, образованную главными центральными осями инерции КА, обозначим х1,
315
3*
x2, x3. В этой системе тензор инерции КА задается
матрицей I = diag(/1,I2,I3), H = (h1, h2, h3) — собственный кинетический момент маховиков (ги-ростатический момент КА), ю = (ю1, ю2, ю3) — абсолютная угловая скорость главного тела. По физическому смыслу I > 0 (i = 1, 2, 3). Оси вращения маховиков параллельны осям x, так что каждая компонента гиростатического момента hi создается собственным маховиком.
В режиме гашения угловых скоростей управление кинетическим моментом маховиков можно с приемлемой точностью описать уравнениями h = ktю( (i = 1, 2, 3). Здесь и ниже точка над символом означает дифференцирование по времени t, к — положительные параметры. Для реализации такого управления измерялись компоненты угловой скорости ю(-. Как уже говорилось, в нештатной ситуации измерения величины ю3 отсутствовали, и маховик, создававший компоненту гиро-статического момента h3, не управлялся. Значение этой компоненты оставалось неизменным: h3 = h30 = const.
Уравнения вращательного движения КА в рассматриваемой нештатной ситуации запишем в виде
11со 1 + £1ю1 = (I2 - 13)ю2ю3 + h2®3 - h30®2,
12<»2 + k2&2 = (I3 - I1)®3®1 + h30®1 - h!®3, (i) I3(03 = (I1 - 12)Ю1®2 + - h2®1,
h = h = ^2®2.
В этих уравнениях пренебрегается действующими на КА внешними механическими моментами и влиянием вращательного движения КА на изменение собственных кинетических моментов маховиков. Первое из этих упрощений оправдано тем, что даже в нештатной ситуации гашение угловых скоростей КА происходит на сравнительно коротком промежутке времени, в течение которого кинетический момент вращательного движения остается практически неизменным. Адекватность второго упрощения установлена в заключительном разделе статьи, где исследованы более полные уравнения движения рассматриваемого КА.
Уравнения (1) допускают первый интеграл
G2 = (I1®1 + h1)2 + (I2®2 + h2)2 + (13Ю3 + h3o)2, (2)
выражающий постоянство модуля кинетического момента КА в его движении относительно центра масс. Ниже используется функция
T = i(I1®2 + 12®2 + 13®2). (3)
Ее производная по времени в силу уравнений (1) имеет вид
Т = -^!Ю2 - к2(а22. (4)
Вследствие последнего соотношения, произвольное решение уравнений (1), оставаясь на поверхности интеграла (2) с неизменным значением О, с течением времени стремится к решению, в котором ю1 = ю2 = 0. Подставив последние соотношения в уравнения (1), получим
ю3Н = ю3Н2 = 0, ю3 = 0, Н1 = Н2 = 0.
Выписанным соотношениям удовлетворяют два стационарных решения уравнений (1). Точнее, два семейства таких решений. Одно из них
Ю1 = ®2 = Юз = 0, Н = Ню, Н = ¿20, (5)
другое
ю2 = ю2 = 0, ю3 = ю30, Н2 = Н2 = 0. (6)
Здесь Н10, Н20 и ю30 — произвольные постоянные, которые с постоянной О в (2) связаны соотношениями: Н120 + Н20 + Н320 = О2, (/3ю30 + Н30)2 = О2. В случае решения (6) примем О = /3ю30 + Н30.
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
Вследствие существования у системы (1) первого интеграла (2) асимптотическая устойчивость решений (5) и (6) невозможна. Здесь можно говорить только об условной асимптотической устойчивости или асимптотической устойчивости по части переменных. Начнем с решения (6) при О ф 0.
Решение (6) назовем условно асимптотически устойчиво, если любое решение системы (1), начальные условия которого лежат в достаточно малой окрестности точки (6) и на той же самой интегральной поверхности (2), стремится к (6) при I ^ + да. Чтобы исследовать такую устойчивость, можно с помощью интеграла (2) при О = /3ю30 + Н30 исключить ю3 из системы (1) и исследовать обычную асимптотическую устойчивость стационарного решения ю1 = ю2 = 0, Н1 = Н2 = 0 получившейся системы. В данном случае нет необходимости выполнять это понижение порядка в явном виде. Достаточно исследовать поведение функции Т на поверхности интеграла (2) в окрестности точки (6) и воспользоваться результатами Е.А. Барба-шина и Н.Н. Красовского [1].
Положим п = ю3 — ю30 и разрешим соотношение (2) относительно п. Получим
„ _ (/1Ю1 + Н1)2 + (/2Ю2 + Н2)2
п —---+ • • •.
213О
Здесь и ниже многоточие означает члены третьей и более высокой степени относительно ю2, Н1 и Н2. Подставим ю3 = ю30 + п с учетом выписанного выражения для п в выражение для Т. Будем иметь
То = 21з®20 + 2(ЛЮ12 + /2®2> -
-|О [(11®1 + А1)2 + (^2®2 + ^ ] + ••■•
Возьмем функцию Ляпунова в виде
V = 2То - 1ъЩо =
/1®2 1Ю1 + Л1)2
О
¡2Щ -^тС?2®2 + ^
о
Ее производная по времени в силу системы, полученной из (1) исключением ю3, имеет вид (ср. (4))
2 2
V = -2к]_щ — 2&2ю2. Условие положительной определенности квадратичных слагаемых V выражается неравенством Сю30 < 0. Множество V = 0 при ю30 Ф 0 не содержит целых траекторий новой системы кроме ее тривиального стационарного решения. По теореме Барбашина — Красовского при Сю30 < 0, к1 > 0, к2 > 0 это тривиальное решение асимптотически устойчиво. Если же Сю30 > 0, к1 > 0, к2 > 0, то согласно теореме Красовского рассматриваемое тривиальное решение неустойчиво.
Исследуем теперь устойчивость положения равновесия (5). Воспользуемся обобщением теоремы Барбашина—Красовского для задачи устойчивости по части переменных [2]. Фазовые переменные системы (1) разобьем на две группы, называемые переменными у и z: у = (ю1, ю2, ю3), z = = (А1, й2). Функция (3) при некотором положительном коэффициенте I удовлетворяет условию
Т > /||у||2. Здесь и ниже ||х|| — евклидова норма вектора x. Все решения системы (1) ограничены. В самом деле, в силу последнего неравенства и неравенства Т < 0 норма ||у|| ограничена. Отсюда в силу интеграла (2) следует ограниченность ||г||. Множество Т = 0 в случае, к1 > 0, к2 > 0, И10| + Ь20| > 0 не содержит целых траекторий уравнений движения кроме стационарного решения (5). Следовательно, это решение асимптотически У-устойчиво (теоремы 19.1 и 19.2 в [2]). Иными словами, в любом решении системы (1) с начальными условиями из достаточно малой окрестности точки (5) у(?) ^ 0 при I ^ +да.
Отыскание стационарных решений системы (1) и исследование их устойчивости допускают обычную для задач такого рода интерпретацию в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.