научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ НЕРАВЕНСТВ БЕЛЛА Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ НЕРАВЕНСТВ БЕЛЛА»

МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 37, № 5, с. 352-369

КВАНТОВЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^ КОМПЬЮТЕРЫ

УДК 621.382

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ НЕРАВЕНСТВ БЕЛЛА

© 2008 г. Ю. И. Богданов

Физико- технологический институт Российской АН E-mail: bogdanov@ftian.ru Поступила в редакцию 22.02.2008 г.

Обсуждается вопрос о соотношении между квантовой статистикой и классической теорией вероятностей. Проблема соблюдения или нарушения неравенств Белла рассматривается соответственно как задача о сводимости или несводимости результатов квантовых измерений к классическому распределению вероятностей. Математически задача формулируется посредством техники разложения по сингулярным значениям с использованием представления о квазивероятностях. Проведенный анализ позволил представить все возможные распределения квазивероятностей в компактном виде и показать, что все они не удовлетворяют требованию положительной определенности для вероятности. Введено понятие регуля-ризованного решения, минимизирующего дисперсию, введен и рассмотрен инвариант, позволяющий в наглядной форме представить неравенство Белла и факт его нарушения. С точки зрения томографического описания квантовых состояний проведено сравнение математического аппарата квазираспределений с методом матрицы плотности. Дана статистическая интерпретация квантовым состояниям Гринбер-гера-Хорна-Цайлингера.

1. ВВЕДЕНИЕ

Статистический характер квантовой механики -одно из самых важных её свойств. Неравенства Белла, наряду с принципом дополнительности и соотношениями неопределенностей, характеризуют фундаментальные свойства квантовой статистической модели. Неравенства Белла и состояния Белла являются важными инструментами квантовой информатики [1-3]. Использование явления нарушения неравенств Белла представляет большой интерес для квантовой криптографии в задачах распределения ключа [4-6].

Исторически, неравенство, полученное Беллом в работе [7], было связано с проблемой поиска так называемых скрытых параметров. В свою очередь, проблема скрытых параметров восходит к знаменитой исторической дискуссии между Бором и Эйнштейном по методологическим вопросам квантовой механики [8]. Важной вехой этой дискуссии был так называемый ЭПР-парадокс, сформулированный Эйнштейном, Подольским и Розеном в работе [9].

Мы не будем описывать историю возникновения и развития исследований, связанных с неравенствами Белла, отсылая читателя за подробностями к работам [10, 11]. С нашей точки зрения, важно отделить содержание рассматриваемой проблемы от многочисленных наслоений исторического характера. В этом отношении, современная ситуация вокруг принципиальных вопросов квантовой механики во многом аналогична ситуации, которая в свое время складывалась вокруг теории электромагнитного поля Максвелла. Как известно, Максвелл рассматривал электродинамику как теорию эфира, т.е. "про-

никающей среды, обладающей малой, но реальной плотностью и способностью приводиться в движение и передавать движения от одной части к другой с большой, но не бесконечной скоростью" [12, с. 480]. Только после теоретических и экспериментальных работ Г. Герца электродинамика приняла вид, близкий к современному. "Теория Максвелла - это уравнения Максвелла" - историческая фраза Герца, сказанная им, чтобы отделить действительное содержание электродинамики Максвелла от неизбежной временной механической конструкции, связанной с введением эфира. Работа, выполненная в своё время Герцем в отношении электродинамики, остаётся ещё в значительной мере незаконченной в отношении квантовой механики.

Рассмотрим в этой связи вопрос о нарушении неравенств Белла в квантовой механике. Стандартная, часто повторяемая формулировка (см., например, известную книгу Нильсена и Чанга [3]), заключается в том, что нарушение неравенств Белла свидетельствует об отсутствии в природе либо эйнштейновского реализма, либо локальности, либо и того, и другого, вместе взятых. Главный недостаток такой формулировки состоит в недопустимом смешивании данных точных наук и метафизических конструкций. При этом оказывается невыясненной или завуалированной точная математическая формулировка задачи.

Неравенство Белла имеет ярко выраженную статистическую природу, никак не связанную с философскими или метафизическими дискуссиями (точнее говоря, такая связь имела исторически временный характер и в настоящее время полностью

изжила себя, подобно теории эфира в электродинамике). Можно показать, что математически неравенство Белла полностью основано на неправомерной с точки зрения квантовой механики гипотезе о существовании скрытого совместного распределения вероятностей для несовместимых наблюдаемых. Эксперименты в согласии с квантовой теорией демонстрируют нарушение неравенства Белла. Перефразировав приведенную выше фразу Герца, мы можем сказать, что "квантовая механика - это её математическая модель". Эта модель должна быть должным образом очищена от механистических и метафизических наслоений, не имеющих отношения к сути квантовых явлений.

С математической точки зрения задача, традиционно именуемая как "проблема скрытых параметров и неравенств Белла" заключается в вопросе о сводимости или несводимости результатов измерений квантовых наблюдаемых к классическому совместному распределению вероятностей. В рассматриваемой задаче существует два аспекта: прямой и косвенный.

Прямой аспект этой задачи удобно проиллюстрировать на хорошо известном примере частицы со спином 1/2. Пусть последовательно измеряются наблюдаемые с. и сх, связанные с проекциями момента импульса электрона на оси Т и X соответственно. После первого измерения, отберем частицы, отклонившиеся в установке Штерна- Герлаха вверх (что соответствует с. = +1). Далее, отобранный пучок частиц с с. = +1 подвергнем измерению наблюдаемой сх (с помощью магнита Штерна - Герлаха, ориентированного вдоль X). Выделим теперь пучок с сх = +1. Находясь на позициях классической математической статистики, мы должны быть уверены, что в результате двух измерений мы отобрали пучок, в котором одновременно с. = +1 и сх = +1. Эксперимент опровергает такой вывод. После второго измерения, когда был отобран пучок с сх = +1, оказывается, что, если снова измерить с., то половина частиц приобретает значение с. = -1, хотя исходно в пучке присутствовали только частицы с с. = +1. Таким образом, второе измерение разрушает результаты первого.

Наше изложение целиком соответствует описанию фон Неймана ([13], с. 226 -228), с той лишь разницей, что фон Нейман говорит не о спиновых операторах, а об абстрактных наблюдаемых, способных принимать два различных значения. Фон Нейман делает следующее заключение: "Таким образом, при известных обстоятельствах не существует метода, с помощью которого можно было бы разлагать ансамбли с дисперсией ... до не обладающих дисперсией однородных ансамблей" (с. 228 русского издания, с. 305 английского издания).

Несовместимость физических наблюдаемых, таких как с. и сх, на математическом языке выражается тем, что соответствующие наблюдаемые представляются некоммутирующими операторами. Ес-

ли операторы не коммутируют, то у них нет общих собственных векторов, поэтому не существует квантового состояния, в котором обе такие наблюдаемые имели бы определенные значения. Наличие в квантовой механике несовместимых наблюдаемых отражается в таких фундаментальных положениях, как принцип дополнительности и соотношения неопределенностей [14-16].

Рассмотрение несовместимых наблюдаемых приводит к нарушению известной аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [17]. Следуя Г. Крамеру [18] можно сформулировать эту аксиому в виде: "Если ..., - случайные величины размерностей соответственно к1, ..., кп, то каждая составная величина ..., также является случайной величиной (размерности к1 + ... + кп)". Указанная аксиома, однако, не выполняется в квантовой механике, поскольку объект, составленный из взаимно дополнительных случайных величин, уже не является случайной величиной, а соответствует более общему понятию квантового состояния. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному-единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений. Свидетельство Г. Крамера, одного из самых авторитетных специалистов по математической статистике, является важным. В своем изложении Крамер никак не опирался на квантовую теорию. Просто, в логической структуре классической теории вероятностей реально существуют положения, которые могут быть уточнены экспериментом и развитием науки в целом (что и происходит в действительности).

Фон Нейман не ограничивается изложенным выше аргументом, связанным с невозможностью одновременного измерения некоммутирующих наблюдаемых. Да, прямые экспериментальные данные, ровно как и математический формализм квантовой механики, однозначно свидетельствуют, что, если

наблюдаемые X и У не коммутируют между собой, то их совместное распределение Р(Х,У) бессмысленно. Однако, пусть, например, имеется еще одна наблюдаемая X. которая коммутирует как с XX, так и

с У. Тогда, на законных основаниях возникают распределения Р(Х, Т) и Р(У, Т). Получается, что косвенно, посредством наблюдаемой наблюдаемые X и У оказывается связанными друг с другом (три наблюдаемые X, У и Т оказываются в одной группе). Возникает вопрос: не могли бы мы рассматривать совместное распределение Р^,У, Т) как некоторый вспомогательный (фиктивный) объект. Тогда, например, реальное экспериментально измеримое распределение РXг(X, X) возникает из гипотетического

при суммировании по переменной У, т.е. Рхг(Х, 7) = = Р(Х, У, 7)(распределение Рхг(Х, 7) по отношению к более полному распределению Р(Х, У, 7) называют частным или маргинальным). Гипотеза о существовании совместного распределения Р(Х,У, 7)

означает, что при рассмотрении пары (X, 7 ) наблюдаемая У рассматривается как скрытая, а при рассмотрении пары (У, 7) скрытой оказывается

переменная X.

Про

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком