научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ТРЕХМЕРНЫХ СИСТЕМ ОДУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ Математика

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ТРЕХМЕРНЫХ СИСТЕМ ОДУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ»

ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2013, No 2, с. 21-29

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА —

УДК 004.421.6

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ТРЕХМЕРНЫХ СИСТЕМ ОДУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ *

© 2013 г. В. Г. Романовский1'2, М. Менцингер3'4, Б. Ферчец2

1 Department of Mathematics, Shanghai Normal University Shanghai 200234, P- R- China

2

Krekova 2, SI-2000 Maribor, Slovenia

3

Smetanova 17, SI-2000 Maribor, Slovenia

4

Jadranska 19, SI-1000 Ljubljana, Slovenia E-mail: valery.romanovsky@uni-mb.si, matej.mencinger@uni-mb.si,

brigita.fercec@gmail. com Поступила в редакцию 30.06.2012

Для трехмерной полиномиальной автономной системы дифференциальных уравнений с локальным центральным многообразием, на котором все траектории в окрестности начала координат замкнуты, т.е. соответствуют периодическим решениям системы, получены условия на коэффициенты системы, при выполнении которых все периодические колебания являются изохронными. Изучены также бифуркации критических периодов в окрестности начала координат. Исследование изохронности и бифуркаций проводится с использованием систем компьютерной алгебры Матнематюа и Singular.

1. ВВЕДЕНИЕ

Теория центральных многообразий, впервые предложенная В. А. Плиссом [1, 2, 14] и широко развитая в многочисленных последующих работах (см., например, [6, 20] и приведенную там литературу), представляет собой чрезвычайно эффективный подход к исследованию поведения траекторий многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим п + ш-мерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х = Ах + и(х, у) . .

у = Ву + у(х, у),

где х е мт, у е Мга, Ие <(А) = 0, Ие <(В) = 0, <(А) и <(В) - спектры матриц А и В, соот-

* Работа выполнена при поддержке Словенского исследовательского агенства (АБАв)

ветственно, и и V представляют собой функции класса Ск, к ^ 1, обращающиеся в нуль вместе со своими производными в начале координат. Говорят, что С^-многообразие Шс, существующее в некоторой окрестности и начала координат О, является локальным центральным многообразием системы (1), если Шс инвариантно относительно потока векторного поля по крайней мере до тех пор, пока решение системы остается в окрестности и и Шс является графиком функции у = Н(х) класс а Ск, который в точке О = (0, 0) е Мт х Мга касателен по отношению к

х

центральным многообразием мы понимаем локальное центральное многообразие.

Следующая фундаментальная теорема (см., например, [2, 6]) показывает, что у системы (1) всегда существует центральное многообразие в некоторой окрестности начала координат.

Теорема 1. Существует окрестность и особой точки О € Мт х Мга; которая содержит, центральное многообразие Шс системы (1). При этом Шс является графиком функции у = Н(х) € Ск(и).

Простейшие центральные многообразия можно наблюдать у двумерных систем. Например, рассмотрим систему

x = —x , у = —у

(2)

Для любых констант Ci,C2 кривая h(x; ci,c2),

где

у = h(x; 01,02) =

—cie-1/2x2, x< 0 x = 0 x > 0,

—1/2x2

состоит из траекторий системы (2) и, следовательно, инвариантна относительно потока векторного поля. Очевидно также, что она каса-Ох

чит, представляет собой центральное многообразие. Данный пример также показывает, что центральное многообразие не обязано быть единственным - система может иметь семейство центральных многообразий.

Одним из центральных аспектов теории центральных многообразий является так называемый принцип сведения Плисса [1], который позволяет свести исследование устойчивости многомерной системы к исследованию устойчивости на центральном многообразии.

Данная статья посвящена исследованию трехмерных систем вида

и = —v + P (u,v,w) = p(u,v,w) v = и + Q(u,v,w) = Q(u,v,s) W = —Xw + R(u, v, w) = R(u, v, w),

(3)

где Л - положительное вещественное число, Р, Q, т К полиномы без постоянных и линейных чле-

Л

времени на противоположное и меняя местами и и V, снова получаем систему вида (3) с полоЛ

центральное многообразие и> = /(и, у). Отметим,

что многие системы, возникающие при моделировании физических и технологических процессов (например, система Рикитаке [15] для моделирования магнитного поля нашей планеты, динамо Хида-Ачесона [12], система Муна-Ранда [13] для моделирования управления гибкими космическими структурами), имеют особую точку, в которой одно из собственных чисел системы первого приближения ненулевое и два других чисто мнимы, т.е. являются системами вида (3). Так как система (3) имеет центральное многообразие Wc и X > 0, траектории в достаточно малой окрестности начала координат стремятся к траекториям на центральном многообразии с возрастанием времени. В системах (3) фазовый

Wc

P

QR

ектории замкнуты), или фокус (все траектории спирали). Проблема точного определения пове-

Wc

зываемая проблема различения центра и фокуса на центральном многообразии в случае полиномиальных систем вида (3), впервые рассматривалась в [8].

В настоящей статье мы вначале приводим основные идеи, использованные в [8], формулируя подход алгоритмически, а также описываем возникающие вычислительные трудности и пути их преодоления. Затем мы подробно изучаем квадратичную систему, центральные многообразия которой исследовались в [8]. В результате анализа функции периодов на центральных многообразиях мы получаем необходимые и достаточные условия изохронности центров и затем исследуем бифуркации критических периодов.

В процессе исследования мы использовали систему компьютерной алгебры Матнематюа для нахождения необходимых условий интегрируемости и изохронности - так называемых фокусных величин и величин изохронности, которые представляют собой полиномы от параметров исходной системы ОДУ. Затем, с помощью специализированной системы компьютерной алгебры Singular [11], которая располагает эффективными процедурами для анализа полиномиальных идеалов, мы нашли множества нулей (аффинные алгебраические многообразия) этих идеалов. Вышеотмеченные системы компьютерной

алгебры были использованы также при изучении бифуркаций критических периодов.

2. ПРОБЛЕМА РАЗЛИЧЕНИЯ ЦЕНТРА И ФОКУСА НА ЦЕНТРАЛЬНОМ МНОГООБРАЗИИ

В случае системы (3) для любого г е N в достаточно малой окрестности начала координат существует инвариантное многообразие Шс класса Сг, центральное многообразие, касательное к плоскости (и, V) в начале координат ([4, §4.1], [20]). Доказательство следующей теоремы можно найти, например, в [3, §13].

Теорема 2 (Теорема Ляпунова о центрах). Для системы (3) с соответствующим векторным полем

X = Р — + О — + Я—

х = г ди + О Э'и + л дт

начало координат, является центром для Х|Шс тогда и только тогда, когда X имеет в некоторой окрест,пост,и начала координат, вещественный аналитический локальный первый интеграл вида

Ф(u, v, w) = u2 + v2 + ^ ф^кги^ j+k+e=з

vkwe. (4)

аналитическим,.

Для того, чтобы исследовать поведение траекторий на центральном многообразии системы вида (3), обычно находят несколько первых членов Тейлоровского разложения многообразия ш = f (и, V), затем подставляют полученное разложение в два первых уравнения системы (3). Однако при таком подходе мы, вообще говоря, не можем сказать, когда существует фокус и когда центр, так как наличие центра определяется бесконечным числом условий и нужно принимать во внимание все члены Тейлоровского разложения центрального многообразия.

Эффективный подход к исследованию проблемы различения центра и фокуса на центральном многообразии основан на использовании Теоремы Ляпунова о центрах. Согласно этой теореме, существование центра векторного поля Х| Шс

эквивалентно существованию первого интеграла вида (4) для X. Поэтому вместо вычисления центрального многообразия мы можем искать условия существования интеграла Ф вида (4), то есть, функцию Ф(и, V,-—), приведенную выше, с неопределенными коэффициентами ф^ы, для которой

дФ ~ дФ ~ дФ -

7ГР + дг О + дгп = 0. (5)

ди дv дш

Препятствия для выполнения условия (5) дают нам необходимые условия существования интеграла вида (4) для системы (3).

Мы предлагаем следующий вычислительный

ш

грируемости.

1. Записываем приближение интеграла (4) до членов порядка 2ш, Ф2т(и, V,-—) = и2 + V2 +

£^+¿=3 фзк(Ур^

2. Для каждого г = 3,..., 2ш приравниваем коэффициенты членов порядка г в выражении

г, дФ2m л , дФ2т л , дФ2т „ F2m = —^— P +—^г- QQ +—-— R-

ди

dv

3w

Более того, в случае наличия центра центральное многообразие Шс является единственным и

gi(u2 + v2)2-----gm-i(u2 + v2)m (6)

к нулю, получая 2m — 2 систем линейных уравнений от неизвестных переменных фjн,

gi^.. ,gm-i-

3. Ищем решения полученных линейных систем, начиная с системы, соответствующей i = 3. Линейные системы, соответствующие нечетным i = 2io — 1, всегда имеют единственное решение. Решив систему (например, используя команду Solve системы Mathematica) для i = k0, подставляем полученные значения коэффициентов фjke в линейные системы, соответствующие i > ko. На шаге, соответствующем четному i = 2io, получаем коэффициент gi0-i-

Примечание 1. В системе Mathematica легко выполнить второй шаг с помощью следующих команд:

ser=Series[F2m,{u,0,2m},{v,0,2m},{w,0,2m}]; sys=LogicalExpand[ser==0] ;

Первая команда возвращает разложение в степенной ряд функции F2m до порядка, 2m, вторая приравнивает коэффициенты при одинаковых членах на обеих сторонах ==, возвращая

линейные системы, которые необходимо решаем на третьем шаге с использованием, команды Solve.

Вычисляя, следуя описанному алгоритму, получаем последовательность многочленов 91,92,93,... j зависящих от параметров системы (3) (мы называем полином 9i г-й фокусной величиной системы (3)). Каждый полином 9i

ществования интеграла (4), то есть, система (3) имеет интеграл вида (4) тогда и только тогда, когда g1 = g2 = g3 = ■ ■ ■ = 0. Таким образом, множество всех систем семейства (3) с центрами на центральном многообразии (или, что эквивалентно, множество систем с первым интегралом вида (4)) является аффинным алгебраическим многообразием1 V(I) идеала I = (g1,g2,93,...). Согласно Теореме Гильберта о базисе, существует натуральное число ш, такое, что I = (91,... ,gm), однако нахождение такого числа является чрезвыч

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»