ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2004
УДК 539.37+539.4
© 2004 г. Третьяков Е.М.
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ФОРМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ НА ВЕЛИЧИНЫ ПРЕДЕЛЬНЫХ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Исследуются зависимости предельных нормальных контактных давлений от начальной формы контактирующих твердых тел. Рассматриваются силовые контакты пластически однородных твердых тел, деформируемых в условиях плоской деформации, и объемные деформации твердых тел, отвечающие контактным площадкам с односвязными выпуклыми контурами.
В работах [1, 2] излагаются основы метода расчета контактной прочности твердых тел по предельным нагрузкам. Отметим, что предельные нагрузки отвечают моменту возникновения пластической деформации в каком-либо из контактирующих тел. Допустимые нагрузки определяются по их предельным величинам с использованием значений коэффициентов запаса прочности, требуемых для реальных условий работы машины, ее деталей и узлов. Этот метод расчета контактной прочности позволяет по величинам действующих рабочих нагрузок определять фактические значения коэффициентов запаса прочности для проектируемых и для находящихся в эксплуатации машин.
В работах [1, 2] методы расчета контактной прочности опираются на решения теории пластичности [3-11]. Эти методы расчета для пластически однородных твердых тел и твердых тел с поверхностным упрочненным слоем. В последнем случае эти методы расчета опираются на полное решение задачи о вдавливании плоского жесткого пуансона в пластичную полуплоскость с поверхностным упрочненным слоем [2, 9].
В разрабатываемых методах расчета контактной прочности твердых тел по предельным контактным нагрузкам используются следующие основные допущения [1, 2]: 1) размер площадки силового контакта твердых тел мал по сравнению с размерами самих тел; 2) предполагается плоская форма площадки контакта; 3) контактное трение отсутствует. Принимается дополнительное предположение: начальная форма контактирующих твердых тел такова, что отвечающая им площадка силового контакта ограничена односвязной выпуклой линией. Одновременное выполнение этих предположений определяет предельные нормальные давления р* , называемые основными или базовыми предельными контактными давлениями рс, или базовыми предельными контактными напряжениями (-рс) [1, 2].
Для пластически однородного твердого тела с плоской формой контакта таким базовым предельным нормальным давлением является величина контактного давления, определяемая из классического решения Прандтля о вдавливании плоского жесткого пуансона в однородную пластическую полуплоскость [1]:
рс = 2 к (1+ п/2) = 2,571 • 2 к. (1)
Величина рс играет важную роль для рассматриваемых вопросов контактной прочности твердых тел. Величину рс целесообразно принять за единицу отсчета р*
р а
.и в г-
Рс
Ш ^
-т-
в
* 1 * Рс/
ШГ
х^ееь \ }
р
— .и
в / Рс/ / е
Л а
ИИ ^
п
Рис. 1
при рассмотрении контакта твердых тел различной начальной формы. Этот прием оказался весьма удобным и при исследовании влияния контактного трения и его распределения на величину предельных контактных напряжений р* = рт [12].
Пластическая постоянная к в формуле (1) является пределом текучести деформируемого материала при чистом сдвиге. Согласно условию пластичности Губера-Мизеса, которое оказывается весьма точным для большинства пластичных металлов, к =
= <¡/73, где < - предел текучести деформируемого материала. Для этого условия значение рс, отвечающее (1), равно рс = 2,571 ■ 2к = 2,97< ~ 3<. Согласно условию пластичности Треска-Сен-Венана, которое оказывается более точным для некоторых малопластичных металлов, к = 5 ¡,/2.
В работе [1] доказано, что при силовых контактах пластически однородных твердых тел разной начальной формы, отвечающих плоским контактным площадкам с
односвязным выпуклым контуром, величины р* изменяются в узком диапазоне
0,866рс < р* < рс. (2)
Для условия пластичности Губера-Мизеса неравенство (2), с использованием формулы (1), можно записать в виде 2,571< < р* < 2,97<, а для условия пластичности Треска-Сен-Венана 2,226< < р* < 2,571<.
Верхняя граница интервала (2) (р* = рс) отвечает плоской деформации контактирующих тел и при контакте пластически однородных тел она отвечает решению Прандтля (формула (1); рис. 1, а). Точная нижняя граница р* неизвестна, так как она отвечает отсутствующему пока точному решению осесимметричной задачи теории пластичности о вдавливании без трения плоским торцом кругового цилиндрического пуансона в пластичное полупространство. Доказано, что неизвестная точная нижняя
граница значений р* больше 0,866 рс [1]. Для всех остальных форм цилиндрических пуансонов с плоской подошвой, отвечающих условию односвязности и выпуклости контура контактной области, величины р* лежат внутри данного диапазона и внутри интервала (2).
Рассмотрим допущения, введенные при определении основных или базовых предельных контактных давлений рс. Первое предположение позволяет рассматривать контактирующие твердые тела как полуплоскости (плоская задача) или полупрост-
е
ранства (осесимметричная или общая объемная задача). Второе позволяет рассматривать одно из контактирующих твердых тел в виде жесткого пуансона с плоской подошвой. Третье, принимаемое при определении рс, подробно проанализировано в [12], где рассмотрено: отсутствие контактных сил трения (тк = 0); наличие на контактной поверхности взаимоуравновешенной эпюры контактных касательных напряжений тк, главный вектор которой обращается в нуль; наличие таких контактных касательных напряжений, что главный вектор эпюры тк отличен от нуля.
Первый случай отвечает классическому решению Прандтля, при котором величина рс определяется по формуле (1). Во втором случае на контактной площадке имеем взаимоуравновешенную эпюру тк = ±тк (0 < т < 1). Доказано, что при плоской деформации этот случай, как и при тк = 0, приводит к величине рс, определяемой по формуле (1) [12]. В третьем случае возникает боковая составляющая внешнего усилия, которая стремится произвести по контактной поверхности дополнительный сдвиг контактирующих тел друг относительно друга. В этом случае возможно заметное
уменьшение р* , которое при тк ^ к достигает двухкратной величины р* ^ (рт)тт = = рс/2 [12]. Поэтому влияние неуравновешенности эпюры тк на величину р* необходимо учитывать при расчете контактной прочности твердых тел [12].
Настоящая работа посвящена анализу второго допущения, которое связано с предположением о плоской форме контактной площадки. Рассмотрим вопрос о влиянии
формы и кривизны контактной поверхности твердых тел на величину р* . В первую
очередь рассмотрим случаи плоской деформации контактирующих тел, отвечающие
верхней границе р* .
В работе [1] показано, что при контакте твердых тел с гладкими контактными поверхностями влияние кривизны самой контактной поверхности в зоне контакта на величину р* пренебрежимо мало. Отмечено, что значительно большее влияние на величину р* оказывает кривизна и форма свободных поверхностей контактирующих
тел, непосредственно примыкающих к контактной площадке. Это связано с изменением угла поворота линий скольжений, выходящих из зоны деформации на свободную поверхность деформируемого тела. Рассмотрим это подробнее.
Наиболее ярко зависимость р* от угла наклона свободных поверхностей, примыкающих к зоне контакта, проявляется для клина или выемки, ограниченных плоскими поверхностями (рис. 1, б, в). Поля линий скольжений получаются модификацией решения Прандтля (рис. 1, а) [3]. Эти решения являются точными и полными решениями теории пластичности. Величины рср в рассматриваемых случаях клина или выемки, определяются по формуле
рс1 = 2к(1 + п/2 ± а), (3)
где а - угол, образованный боковой гранью клина или выемки с горизонтальной плоскостью, являющейся следом плоской подошвы пуансона (рис. 1).
В формуле (3) деформация выемки отвечает знаку плюс (рис. 1, в). Максимальное значение угла атах = п/2. Из формулы (3) определяется максимальная величина предельного контактного давления (рс)т&х = 2к(1 + п) = 4,142 ■ 2к, отвечающая прошивке высокой заготовки плоским пуансоном или процессу обратного выдавливания [13]. В случае деформации клина в формуле (3) при значении а знак минус. Минимальное значение угла ат1п = -п/2. Из формулы (3) получаем (рс)тт = 2к. Это значение отвечает однородному напряженному состоянию в прямоугольном брусе, сжимаемому с торца плоским пуансоном. Линии скольжения здесь образуют прямоугольную ортогональную сетку с углами наклона ф = ±п/4 к боковым поверхностям бруса и торцу. При внедрении пуансона в полуплоскость а = 0 и из формулы (3) следует формула (1).
1,611
0,389
Отметим, что положительный знак у а в формуле (3) для выемки соответствует присоединению материала к полуплоскости для ее получения (рис. 1, в) и отвечает положительности кривизны вогнутой гладкой поверхности. Отрицательный знак у а отвечает устранению материала от исходной полуплоскости, определенной следом плоской подошвы пуансона, требуемого для получения клина (рис. 1, б) и отвечает отрицательности кривизны для выпуклой гладкой поверхности. Диапазон изменения рс^ для клина и выемки целесообразно определить в долях от базового рс, отвечающего полуплоскости (а = 0). Из формул (1) и (3) следует:
п/2 а
Рис. 2
pcf/pc = 1 ± [а/(1 + п/2)].
(4)
Линейный график изменения отношения pcf/pc от угла а показан на рис. 2. При
-п/2 < а < п/2 получаем 1 - (п/2)[1 + (п/2)]-1 < pcf/pc < 1 + (п/2)[1 + (п/2)]-1 или 0,389 < - pcf/pc < 1,611. Это изменение отвечает максимально возможному (теоретически) диапазону изменения p* для разных начальных форм контактных поверхностей твердых тел.
В [14] приведены результаты экспериментального исследования пластической деформации клина со срезанной вершиной, деформируемого по схеме рис. 1, б. Определялась протяженность пластической области на свободных от напряжений боковых поверхностях клина и выявлялись поля линий скольжений Чернова-Людерса. Результаты проведенного исследования подтвердили справедливость теоретического решения (рис. 1, •). Следует отметить, что пластическая
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.