научная статья по теме ИЗЛУЧЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУЕЙ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ Физика

Текст научной статьи на тему «ИЗЛУЧЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУЕЙ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ»

М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2009

УДК 532.525.2:532.517:532.59

© 2009 г. О. А. ДРУЖИНИН

ИЗЛУЧЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУЕЙ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

Прямым численным моделированием исследован процесс излучения внутренних волн изначально цилиндрической, турбулентной струей с гауссовым профилем средней горизонтальной компоненты скорости в жидкости с устойчивой линейной стратификацией плотности. Показано, что на временах N < 30 (где N — частота плавучести) происходит коллапс вертикальных пульсаций скорости, сопровождающийся излучением внутренних волн, пространственный период которых близок к длине волны спиральной моды неустойчивости струи в однородной жидкости. Динамика и кинематика волн удовлетворительно описываются линейной теорией для импульсного источника, и их параметры хорошо согласуются с параметрами "когерентных" внутренних волн, излучаемых стратифицированным следом в лабораторном эксперименте. На больших временах излучение волн прекращается, и вариации плотности жидкости локализуются в окрестности центров крупномасштабных вихрей, формирующихся в горизонтальной плоскости в окрестности оси струи.

Ключевые слова: турбулентная струя, устойчивая стратификация, внутренние волны, прямое численное моделирование.

Процессы излучения внутренних волн турбулентными струйными течениями стратифицированной жидкости встречаются во многих задачах гидродинамики [1]. Одна из таких задач, имеющая большое фундаментальное и прикладное значение, — исследование течения в следе за сферой, буксируемой в стратифицированной жидкости при больших числах Рейнольдса и Фруда [2—4]. Экспериментальное исследование процесса излучения внутренних волн при буксировке сферы проводилось как в жидкости с линейной стратификацией плотности [5], так и при наличии термоклина [6]. Результаты показывают, что внутренние волны излучаются как самой сферой, так и ее турбулентным следом. Волны, излучаемые сферой, аналогичны корабельным (или подветренным) волнам и стационарны по отношению к сфере в отличие от волн, излучаемых следом. Амплитуда волн, излучаемых сферой, обратно пропорциональна числу Фруда сферы, Бг = 2V / ЫБ (где Vи В — скорость и диаметр сферы соответственно), и при Бг > 10 становится пренебрежимо малой по сравнению с амплитудой волн, излучаемых следом, которая растет с увеличением Бг. Из результатов [5, 6] следует также, что эффект турбулентного перемешивания в ближнем следе за буксируемой сферой незначителен и соответствующий вклад коллапса перемешанной области в следе в процесс излучения внутренних волн пренебрежимо мал.

Результаты эксперимента [5] говорят о том, что на временах N1 = 0(10) след излучает внутренние волны, благодаря коллапсу мелкомасштабных вихревых структур, формирующихся при развитии гидродинамической неустойчивости течения в ближнем следе [7] (т.е. на расстоянии порядка нескольких диаметров сферы). Пространственный период этих волн не превышает диаметра сферы, и их динамика хорошо описывается теоретически при предположении, что отдельно взятую коллапсирующую вихревую структуру в ближнем следе можно рассматривать как импульсный источник [5]. Визуализация флуктуаций плотности в эксперименте в горизонтальной плоскости на

расстоянии трех радиусов сферы от оси протяжки дает довольно нерегулярную, хаотическую фазовую картину этих коротковолновых внутренних волн.

Экспериментальные результаты [5] показывают также, что в области дальнего следа на временах N > 40 происходит излучение внутренних волн с длиной волны порядка пяти диаметров сферы. Эти волны получили название когерентных, поскольку их пространственная фазовая картина, в отличие от коротковолновых, имеет довольно регулярную, периодическую структуру. На достаточно больших временах (М > 50) амплитуда коротковолновых волн становится пренебрежимо малой по сравнению с амплитудой когерентных волн. Объяснения происхождения и динамики наблюдаемых когерентных внутренних волн в [5] не приводятся.

В [6] экспериментально исследовались поля внутренних волн, излучаемых при буксировке сферы под термоклином при больших числах Рейнольдса и Фруда. Из результатов также следует, что след генерирует когерентные внутренние волны в термоклине, нестационарные по отношению к сфере, амплитуда которых растет пропорционально Бг. Для объяснения их происхождения в [6] предложена физическая модель, согласно которой, волны излучаются вихрями, срывающимися со сферы. При этом отдельно взятый вихрь рассматривается как стационарный источник, движущийся с некоторой "резонансной" скоростью, такой, что его эффективное число Фруда порядка единицы. С другой стороны, согласно экспериментальным данным [7], в ближнем следе за сферой не наблюдаются какие-либо долгоживущие вихревые структуры, которые могли бы играть роль стационарных источников внутренних волн.

Другая модель рассмотрена в [8], где процесс излучения внутренних волн ближним следом смоделирован аналитическим решением линейной задачи, полученным для волнового поля, излучаемого пульсирующим точечным источником, горизонтально движущимся со скоростью сферы. При этом предполагается, что такой пульсирующий источник адекватен когерентной вихревой структуре, периодически формирующейся благодаря развитию спиральной моды неустойчивости в ближнем следе и кол-лапсирующей под действием сил плавучести. Однако фазовая картина волн, предсказываемая этой моделью, имеет довольно сложную структуру, существенно отличающуюся от наблюдаемой в эксперименте [7] довольно регулярной структуры поля когерентных внутренних волн.

В последнее время проведено также прямое численное моделирование динамики течения в дальнем следе как в жидкости с линейной стратификацией плотности [9, 10], так и при наличии термоклина [11, 12]. Результаты численного моделирования (такие, как временные зависимости интегральных параметров и пространственное распределение завихренности течения) находятся в хорошем согласии с известными экспериментальными данными.

Необходимо отметить, однако, что до сих пор в численном моделировании сравнительно мало внимания уделялось исследованию внутренних волн, излучаемых турбулентным струйным течением. В [9, 12] лишь отмечено, что турбулентная струя порождает внутренние волны, но детально их свойства и процесс излучения не рассматривались.

Цель данной работы — исследование процесса излучения внутренних волн турбулентной струей в жидкости с устойчивой линейной стратификацией плотности с помощью прямого численного моделирования.

1. Постановка задачи, описание численного метода. Рассматривается струйное течение в жидкости с исходным распределением горизонтальной компоненты средней скорости на ось в виде осесимметричной струи с гауссовым профилем

иге/ = ехр(-4[у2 + г2])

(1.1)

где у и г — поперечная и вертикальная координаты. Здесь все переменные нормированы на исходные значения максимума скорости и0 и диаметра струи £0, с линейной стратификацией плотности жидкости рге/ = -г.

Уравнения Навье—Стокса в приближении Буссинеска и условие несжимаемости жидкости записываются в безразмерных переменных в виде

д + и¡д и + и/ и + 8« (иуд уРгвГ + ¿иге/) =

1 2 1/2 2 \ = -др + ^д и + ^¡8« (ууиге/ + дРе/) - 8;гЛф

д ■и] = 0 (1.3) Уравнение для плотности жидкости имеет вид

д,р + и¡д¡р + и/хр - и1 = д2р (1.4)

В уравнениях (1.2)—(1.4) и, (; = х,у,г ) и р — отклонения скорости и плотности жидкости от соответствующих исходных профилей, Ъу — символы Кронекера. Число Рейнольдса Яе и глобальное число Ричардсона Ш определяются как

Ке = ^ (1.5)

V

К1 = ^¿с (1.6)

Ро и0

где V — кинематическая вязкость жидкости, g - ускорение свободного падения, р0 — характерное значение плотности жидкости, Ар0 — изменение плотности жидкости по вертикали на масштабе £0. Из (1.2)—(1.5) следует, что частота плавучести равна

N = 7Ш. Число Прандтля Рг полагается равным единице.

Для того чтобы проводить вычисления в области, ограниченной по вертикальной координате, и обеспечить необходимое разрешение поля течения, используется отображение по г в виде [11]

Е = 1апИг (1.7)

9

При этом

г = 4-51п(1+|) (1.8)

так что -1 < 1 при —да < г < да. Производные по г в уравнениях (1.2)—(1.4) записываются в виде

^ = (1.9)

дг ^ 9 )д$

Уравнения (1.2)—(1.4) дискретизируются в прямоугольной области с размерами 0 < х < 36 , -9 < y < 9 и -1 1 с помощью метода конечных разностей второго порядка точности на однородной разнесенной (шахматной) сетке, состоящей из 480 х 240 х 240 узлов по координатам x, у and ^(z) соответственно [13, 14]. Слагаемые в

левой части уравнений (1.2) и (1.4), UrefdxUi и Urefdхр, ответственные за адвекцию полем скорости Uref(y,z), вычисляются с помощью фурье-интерполяции по координате x на каждом шаге по времени. Интегрирование осуществляется с использованием метода Адамса—Башфорфа [14] второго порядка точности с шагом по времени At = 0.0075. По оси x задается периодическое граничное условие. В поперечном у и вертикальном z направлениях (при y = ±9 и = ±1) ставятся условия (Неймана) нулевого сдвига. Используется метод расщепления [13], и уравнение Пуассона для давления решается с помощью быстрого преобразования Фурье по координате x, косинус — преобразования по координате у, и метода Гаусса по координате z.

Из результатов численного моделирования [9, 12] следует, что внутренние волны, излучаемые струей, распространяются от ее оси к границам области счета в поперечном и вертикальном направлениях. Для того чтобы обеспечить поглощение внутренних волн на границах области счета, используется метод, развитый в [15], а именно: в

I 2 2| !/2 п ™

цилиндрическом слое y + z\ > / вязкость увеличивается в 20 раз по сравнению с

ее постоянным значением (равным 1/Re) в остальной области счета. Такое искусственное увеличение вязкости в области, достаточно удаленной от ядра струи, не влияет на динамику течения в струе на рассматриваемых временах и в то же время приводит к полному поглощению внутренних волн, излучаемых струей.

Для определения статистических характеристик течения в численном моделировании в данный момент времени t вычисляются средние поля скорости и плотности в вид

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком