научная статья по теме ИЗОДИНАМИЧЕСКОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОКОЛО МАГНИТНОЙ ОСИ Физика

Текст научной статьи на тему «ИЗОДИНАМИЧЕСКОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОКОЛО МАГНИТНОЙ ОСИ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 8, с. 769-774

МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

УДК 533.9.01

ИЗОДИНАМИЧЕСКОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ

ОКОЛО МАГНИТНОЙ ОСИ © 2013 г. В. В. Арсенин

Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт ", Москва, Россия

е-таП:агзепт@п/1.к1ае.ги Поступила в редакцию 29.11.2012 г. Окончательный вариант получен 21.02.2013 г.

Равновесие плазмы в осесимметричой тороидальной ловушке в области около магнитной оси описывается в ортогональных потоковых координатах. Для случая плотности тока, постоянной возле оси, и формы сечения магнитных поверхностей, близкой к круговой, разложениями по обратному аспектному отношению получены выражения для полоидальной и тороидальной компонент магнитного поля в таких координатах. Из этих выражений просто выводятся соотношения величин в изодинамическом равновесии, в котором модуль магнитного поля не изменяется вдоль магнитной поверхности (конфигурация Палумбо).

БОТ: 10.7868/80367292113070020

1. ВВЕДЕНИЕ

Ловушки с изодинамическими магнитными поверхностями, вдоль которых модуль магнитного поля не изменяется, интересны тем, что магнитный дрейф через такие поверхности отсутствует. Палумбо [1] установил, что существуют осесимметричные равновесия, в которых изоди-намичны все магнитные поверхности в объеме плазменного тора. Эти конфигурации изучались затем в ряде работ (см. [2—4] и ссылки там) — в значительной мере с использованием численных расчетов. Особенность изодинамических равновесий состоит в том, что на магнитной оси должно обращаться в нуль не только полоидальное, но и тороидальное поле; форма сечения магнитных поверхностей в приосевой области близка к круговой.

Свойства изодинамической конфигурации в окрестности магнитной оси могут быть получены аналитически с помощью разложения величин по параметру тороидальности в рамках описания равновесия на основе уравнения Грэда-Шафра-нова в цилиндрических координатах. В настоящей заметке, носящей методический характер, показано, что эти свойства весьма просто получаются — тоже разложением по тороидальности — при описании равновесия с использованием ортогональных потоковых координат ("обращенные переменные") [5, 6]. Даны простые выражения в таких координатах для компонент поля вблизи магнитной оси.

В разд. 2 приведена система уравнений, описывающих равновесие в потоковых координатах. В разд. 3 с использованием разложения по обратному аспектному отношению строится решение в

приосевой области для случая, когда форма сечений магнитных поверхностей в этой области близка к круговой. Следствия из требования изо-динамичности рассмотрены в разд. 4. Итог работы подведен в Выводах.

2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОТОКОВЫХ КООРДИНАТАХ

Поскольку нас интересует поведение поля на магнитной поверхности, естественно действовать в координатах, "привязанных" именно к магнитным поверхностям (заранее не известным). Тройку ортогональных координат образуют потоковая переменная у, тороидальный угол ф и координата х, отсчитываемая вдоль полоидального поля от внутреннего обвода тора, см. рисунок. Магнит-

Д

Дп

X = 0

Меридиональное сечение тора. Линии у = const и X = const ортогональны. Границе плазмы отвечает у = 0, магнитной оси — у = > 0. На поверхности

у = у^ отношение (rm

n )/2R равно s.

z

0

ное поле имеет тороидальную и полоидальную компоненты: B = B^eф + Bxe , причем предполагается экваториальная симметрия. Величина у — деленный на 2п полоидальный магнитный поток (d у = Bxrdn, r — расстояние до главной оси тора, dn — элемент длины нормали к магнитной поверхности у = const) — растет от границы плазмы к тороидальной магнитной оси. Координату х удобно выбирать так, чтобы при обходе вокруг магнитной оси она монотонно менялась от 0 до 2п; на внешнем обводе х = п. Уравнения равновесия в обращенных переменных были получены в [5] исходя из уравнения Грэда—Шафранова. Приведем другой, непосредственный (и, как представляется, более простой) их вывод, аналогичный случаю, когда есть только полоидальное поле

[7, 8].

Как изменяются цилиндрические координаты r, z при перемещении по нормали к поверхности у = const и по касательной к ней (по нормали к поверхности х = const), видно из подобия треугольников, образованных проекциями этих нормалей: A z / АI = 8 г/8 n, A r / АI = -8 z / 8 n. Здесь l — длина вдоль полоидального поля Bp = Bxe . Для r(y, X), z(v, X) имеем

r dL = 1 dz dy G дх

„ dz _ 1 dr

(1)

где

dy G 8%

G = Bx ^ .

X dx

(2)

(3)

Из равенства (dl)2 = (dr)2 + (dz)2 и (3) получается выражение для полоидального поля

.2 / \2"

1 1

B2 G

dr

+

dz

(4)

Уравнения (1), (2) и выражение (4) для Вх имеют чисто геометрическое происхождение, они являются следствиями ортогональности координат у, X и их связи с магнитными поверхностями. Из условия силового равновесия

—(Vx B) х B = Vp) 4п

(5)

получается уравнение для функции х). В цилиндрических координатах это условие дает уравнение Грэда—Шафранова для потоковой функции у(г,z) (см., например, [9]). В координатах же у, ф, х, которые мы используем, компоненты Ух В составляют

(VxB)w =-

1 д_

H«Hx <5х

(H<9B<9),

(Vx B)p = -(VxB)z =

1

5

HxH4 ду 1 5

(HxBx),

(HmBm),

Нч ду

где коэффициенты Ламэ Нч = 1/(Вхг), Нф = г, Нх = G/В . Содержащая давление у -компонента уравнения (5) имеет вид

1 dG - _ 4П1 dp + F dF

Gду B2 ydу 4nr dу

(6)

Функция F(y) связана с тороидальным полем, Bv = F/r (F = 2I/ c, где I(у) — полоидальный ток между поверхностью у = const и главной осью, c — скорость света). Через p(y) и F (у) выражается плотность тороидального тока: с учетом (6) величина у, = c (Vx B)„ = - cB dG Jv 4П v 4nG dy

как

представляется

J «

,cr]dp + F dF

, (7)

yd у 4nr7 d у) Функции p(y) и F(y) считаются заданными. Заметим, что G/Bx есть якобиан преобразования координат.

Набор уравнений (1), (2), (4), (6) для функций r(v, X), z(v, х), Bx(y, х) и G(y, х) представляет собой систему уравнений равновесия в обращенных переменных. Знание r(y, х) и z(y, х) дает параметрическое представление меридионального сечения поверхностиу = const.

Вместо уравнений (1), (2) можно использовать другую пару: уравнение

д (Gr + д ( 1 drN

. . . , = 0, (8) ду^ ду) 5хч Gг дх) получаемое из (1), (2) исключением z, и одно из уравнений (1), (2) или, скажем, вытекающее из (1) соотношение

z(y, Х) = fGr d~d X. J ду

(9)

Из симметрии задачи и дефиниции (3) следуют граничные условия на магнитной оси

г|^0 = Я0, (10)

^0 = 0 (11) (к равенству (11) приводит замкнутость силовых линий полоидального поля) и в экваториальной

плоскости

dr дХ dr дХ

= 0,

х = о

= 0,

(12) (13)

х = п

о

4 х = о = 0, (14)

4х=п = 0 (15)

Еще об одном граничном условии — на границе рассматриваемой приосевой области — будет сказано ниже.

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОБРАТНОМУ АСПЕКТНОМУ ОТНОШЕНИЮ

Ориентируясь на упомянутое свойство кругло-сти сечения приосевых магнитных поверхностей в конфигурации Палумбо, будем рассматривать такое решение системы (1), (2), (4), (6) (или (8), (9), (4), (6)), удовлетворяющее граничным условиям (10)—(15), в котором с уменьшением расстояния от магнитной поверхности до магнитной оси форма сечения стремится к круговой. Представим его в виде разложения по малому параметру е — обратному аспектному отношению:

г - Я0 = &гг + б2г2 + ...,

2

z = SZl +6 z2 + G = Go + sG1 + ...,

Bx = Bx.o +sBxi + ...

(16)

(17)

(18) (19)

r1 = -RoJ——— cos X, V0 - — *

zi = RcJ^^ sin X,

Go =

Bx0 -•

¥o

_ 2(y o - ¥)

Ro ' e 2Ro4

4(y o

причем из равенства d ln G,

dy

o _

V*)(V o 4nD

■V)

B

(20) (21) (22)

(23)

(24)

xo

к которому в этом порядке сводится (6), где

D =

1 dF2

dp

dу 8nRo2 dу

Фигурирующий в формулах параметр s равен отношению (rmax - rmin)/2Ro на поверхности у = у*. Это равенство, означающее, что у тора у = у* задается "малый радиус" sRo, служит граничным условием к (8) при у = у* (на другой границе области у* < у < уo имеем условие (10)).

2 — 1 2

Если величина dp/dy + (8nRo) dF /dy постоянна вплоть до границы плазмы у = o (в терминологии [10], случай квазиоднородного тока), то формулы (20)—(26) описывают в пренебрежении кривизной тора равновесие не только в окрестности магнитной оси, но и во всем объеме тонкого шнура круглого сечения. Из (26) следует, что при F = const полоидальная бета, подсчитанная по среднему по сечению давлению и полоидальному полю на границе, равна единице.

В приближении, о котором шла речь, мы имели дело с равновесием в модели прямого круглого цилиндра.

3.2. Первый порядок по е

В следующем порядке по е выписанные уравнения равновесия удовлетворяются при

3.1. Приближение прямого цилиндра Пусть в окрестности магнитной оси, при у* < у < у0, величины dp/dy и dF2/^у с точностью в2 постоянны. Из соотношений, получающихся в низшем порядке при подстановке (16)— (19) в (1), (2), (4), (6), находим, что в интересующем нас решении

Gi = 2(yo-y) cos x, (27)

(28) (29)

Ro VVo -v*

r2 = aRo —— cos2x, — o - —#

z 2 = -aRo ——— sin2x-

—o -—*

Здесь

a

1 Dp _ 5

2 D 8,

df =-4dF2

8nRo dу

(30)

(31)

При этом

= J_

и2 и2

BX Bxo

¡1 + s

G,

o V

dr i + Ro2

dr1

dy.

-1

±

Go2

Гдг\Y2G1 + r2 fdr. Y^

Pi) Go ldW Ro

(32)

, (25) + _2_ ГдГ1 ) ГдГ2 ) + 2R02 Гдл) ГдГ2 Y

¥o + Go2 UxJ UxJ vdW vdW_

зависимостью

2 п>4 n

ne Ro D Vo - V*

= 1.

т.е.

(26) F = F

BX Bxo

1 - 2s I- l)JVo^ cos x + ...

D 4/\у o -y

(32a)

V = V 0

2

Выражения для полоидальной и тороидальной компонент магнитного поля:

Bx - Bxo

1 +

D

1

У o - У

У o -у*

cos x +.

Bv -

1 + 6

¥ o -¥

cos x +.

(33)

(34)

/У0 -¥*

Подробности выделения членов с одинаковыми степенями е опущены. Сделаем, однако, некоторые пояснения.

1) Благодаря тому, что при G1 (27) произведе-

2

ние ^ в уравнении (8) с точностью в не зависит от х,

Ю = ад(1 + 0(б2)), (35)

из (8) получается для г2(у, х) зависимость (28).

2) Коэффициент а (30) определяется из уравнения, объединяющего члены первого порядка в (6),

-Af G ] = е2i Df

'MGoJ Ro B

x0

V Bx

1

B

D,

(36)

xo J

где 1/BX дается содержащим а (эта величина входит в формулу (28) для r2 ) выражением (32).

3) Величина z2 (29) находится по формуле (9) с учетом (35).

Отметим

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком