ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 8, с. 769-774
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
УДК 533.9.01
ИЗОДИНАМИЧЕСКОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ
ОКОЛО МАГНИТНОЙ ОСИ © 2013 г. В. В. Арсенин
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт ", Москва, Россия
е-таП:агзепт@п/1.к1ае.ги Поступила в редакцию 29.11.2012 г. Окончательный вариант получен 21.02.2013 г.
Равновесие плазмы в осесимметричой тороидальной ловушке в области около магнитной оси описывается в ортогональных потоковых координатах. Для случая плотности тока, постоянной возле оси, и формы сечения магнитных поверхностей, близкой к круговой, разложениями по обратному аспектному отношению получены выражения для полоидальной и тороидальной компонент магнитного поля в таких координатах. Из этих выражений просто выводятся соотношения величин в изодинамическом равновесии, в котором модуль магнитного поля не изменяется вдоль магнитной поверхности (конфигурация Палумбо).
БОТ: 10.7868/80367292113070020
1. ВВЕДЕНИЕ
Ловушки с изодинамическими магнитными поверхностями, вдоль которых модуль магнитного поля не изменяется, интересны тем, что магнитный дрейф через такие поверхности отсутствует. Палумбо [1] установил, что существуют осесимметричные равновесия, в которых изоди-намичны все магнитные поверхности в объеме плазменного тора. Эти конфигурации изучались затем в ряде работ (см. [2—4] и ссылки там) — в значительной мере с использованием численных расчетов. Особенность изодинамических равновесий состоит в том, что на магнитной оси должно обращаться в нуль не только полоидальное, но и тороидальное поле; форма сечения магнитных поверхностей в приосевой области близка к круговой.
Свойства изодинамической конфигурации в окрестности магнитной оси могут быть получены аналитически с помощью разложения величин по параметру тороидальности в рамках описания равновесия на основе уравнения Грэда-Шафра-нова в цилиндрических координатах. В настоящей заметке, носящей методический характер, показано, что эти свойства весьма просто получаются — тоже разложением по тороидальности — при описании равновесия с использованием ортогональных потоковых координат ("обращенные переменные") [5, 6]. Даны простые выражения в таких координатах для компонент поля вблизи магнитной оси.
В разд. 2 приведена система уравнений, описывающих равновесие в потоковых координатах. В разд. 3 с использованием разложения по обратному аспектному отношению строится решение в
приосевой области для случая, когда форма сечений магнитных поверхностей в этой области близка к круговой. Следствия из требования изо-динамичности рассмотрены в разд. 4. Итог работы подведен в Выводах.
2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОТОКОВЫХ КООРДИНАТАХ
Поскольку нас интересует поведение поля на магнитной поверхности, естественно действовать в координатах, "привязанных" именно к магнитным поверхностям (заранее не известным). Тройку ортогональных координат образуют потоковая переменная у, тороидальный угол ф и координата х, отсчитываемая вдоль полоидального поля от внутреннего обвода тора, см. рисунок. Магнит-
Д
Дп
X = 0
Меридиональное сечение тора. Линии у = const и X = const ортогональны. Границе плазмы отвечает у = 0, магнитной оси — у = > 0. На поверхности
у = у^ отношение (rm
n )/2R равно s.
z
0
ное поле имеет тороидальную и полоидальную компоненты: B = B^eф + Bxe , причем предполагается экваториальная симметрия. Величина у — деленный на 2п полоидальный магнитный поток (d у = Bxrdn, r — расстояние до главной оси тора, dn — элемент длины нормали к магнитной поверхности у = const) — растет от границы плазмы к тороидальной магнитной оси. Координату х удобно выбирать так, чтобы при обходе вокруг магнитной оси она монотонно менялась от 0 до 2п; на внешнем обводе х = п. Уравнения равновесия в обращенных переменных были получены в [5] исходя из уравнения Грэда—Шафранова. Приведем другой, непосредственный (и, как представляется, более простой) их вывод, аналогичный случаю, когда есть только полоидальное поле
[7, 8].
Как изменяются цилиндрические координаты r, z при перемещении по нормали к поверхности у = const и по касательной к ней (по нормали к поверхности х = const), видно из подобия треугольников, образованных проекциями этих нормалей: A z / АI = 8 г/8 n, A r / АI = -8 z / 8 n. Здесь l — длина вдоль полоидального поля Bp = Bxe . Для r(y, X), z(v, X) имеем
r dL = 1 dz dy G дх
„ dz _ 1 dr
(1)
где
dy G 8%
G = Bx ^ .
X dx
(2)
(3)
Из равенства (dl)2 = (dr)2 + (dz)2 и (3) получается выражение для полоидального поля
.2 / \2"
1 1
B2 G
dr
+
dz
(4)
Уравнения (1), (2) и выражение (4) для Вх имеют чисто геометрическое происхождение, они являются следствиями ортогональности координат у, X и их связи с магнитными поверхностями. Из условия силового равновесия
—(Vx B) х B = Vp) 4п
(5)
получается уравнение для функции х). В цилиндрических координатах это условие дает уравнение Грэда—Шафранова для потоковой функции у(г,z) (см., например, [9]). В координатах же у, ф, х, которые мы используем, компоненты Ух В составляют
(VxB)w =-
1 д_
H«Hx <5х
(H<9B<9),
(Vx B)p = -(VxB)z =
1
5
HxH4 ду 1 5
(HxBx),
(HmBm),
Нч ду
где коэффициенты Ламэ Нч = 1/(Вхг), Нф = г, Нх = G/В . Содержащая давление у -компонента уравнения (5) имеет вид
1 dG - _ 4П1 dp + F dF
Gду B2 ydу 4nr dу
(6)
Функция F(y) связана с тороидальным полем, Bv = F/r (F = 2I/ c, где I(у) — полоидальный ток между поверхностью у = const и главной осью, c — скорость света). Через p(y) и F (у) выражается плотность тороидального тока: с учетом (6) величина у, = c (Vx B)„ = - cB dG Jv 4П v 4nG dy
как
представляется
J «
,cr]dp + F dF
, (7)
yd у 4nr7 d у) Функции p(y) и F(y) считаются заданными. Заметим, что G/Bx есть якобиан преобразования координат.
Набор уравнений (1), (2), (4), (6) для функций r(v, X), z(v, х), Bx(y, х) и G(y, х) представляет собой систему уравнений равновесия в обращенных переменных. Знание r(y, х) и z(y, х) дает параметрическое представление меридионального сечения поверхностиу = const.
Вместо уравнений (1), (2) можно использовать другую пару: уравнение
д (Gr + д ( 1 drN
. . . , = 0, (8) ду^ ду) 5хч Gг дх) получаемое из (1), (2) исключением z, и одно из уравнений (1), (2) или, скажем, вытекающее из (1) соотношение
z(y, Х) = fGr d~d X. J ду
(9)
Из симметрии задачи и дефиниции (3) следуют граничные условия на магнитной оси
г|^0 = Я0, (10)
^0 = 0 (11) (к равенству (11) приводит замкнутость силовых линий полоидального поля) и в экваториальной
плоскости
dr дХ dr дХ
= 0,
х = о
= 0,
(12) (13)
х = п
о
4 х = о = 0, (14)
4х=п = 0 (15)
Еще об одном граничном условии — на границе рассматриваемой приосевой области — будет сказано ниже.
3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОБРАТНОМУ АСПЕКТНОМУ ОТНОШЕНИЮ
Ориентируясь на упомянутое свойство кругло-сти сечения приосевых магнитных поверхностей в конфигурации Палумбо, будем рассматривать такое решение системы (1), (2), (4), (6) (или (8), (9), (4), (6)), удовлетворяющее граничным условиям (10)—(15), в котором с уменьшением расстояния от магнитной поверхности до магнитной оси форма сечения стремится к круговой. Представим его в виде разложения по малому параметру е — обратному аспектному отношению:
г - Я0 = &гг + б2г2 + ...,
2
z = SZl +6 z2 + G = Go + sG1 + ...,
Bx = Bx.o +sBxi + ...
(16)
(17)
(18) (19)
r1 = -RoJ——— cos X, V0 - — *
zi = RcJ^^ sin X,
Go =
Bx0 -•
¥o
_ 2(y o - ¥)
Ro ' e 2Ro4
4(y o
причем из равенства d ln G,
dy
o _
V*)(V o 4nD
■V)
B
(20) (21) (22)
(23)
(24)
xo
к которому в этом порядке сводится (6), где
D =
1 dF2
dp
dу 8nRo2 dу
Фигурирующий в формулах параметр s равен отношению (rmax - rmin)/2Ro на поверхности у = у*. Это равенство, означающее, что у тора у = у* задается "малый радиус" sRo, служит граничным условием к (8) при у = у* (на другой границе области у* < у < уo имеем условие (10)).
2 — 1 2
Если величина dp/dy + (8nRo) dF /dy постоянна вплоть до границы плазмы у = o (в терминологии [10], случай квазиоднородного тока), то формулы (20)—(26) описывают в пренебрежении кривизной тора равновесие не только в окрестности магнитной оси, но и во всем объеме тонкого шнура круглого сечения. Из (26) следует, что при F = const полоидальная бета, подсчитанная по среднему по сечению давлению и полоидальному полю на границе, равна единице.
В приближении, о котором шла речь, мы имели дело с равновесием в модели прямого круглого цилиндра.
3.2. Первый порядок по е
В следующем порядке по е выписанные уравнения равновесия удовлетворяются при
3.1. Приближение прямого цилиндра Пусть в окрестности магнитной оси, при у* < у < у0, величины dp/dy и dF2/^у с точностью в2 постоянны. Из соотношений, получающихся в низшем порядке при подстановке (16)— (19) в (1), (2), (4), (6), находим, что в интересующем нас решении
Gi = 2(yo-y) cos x, (27)
(28) (29)
Ro VVo -v*
r2 = aRo —— cos2x, — o - —#
z 2 = -aRo ——— sin2x-
—o -—*
Здесь
a
1 Dp _ 5
2 D 8,
df =-4dF2
8nRo dу
(30)
(31)
При этом
= J_
и2 и2
BX Bxo
¡1 + s
G,
o V
dr i + Ro2
dr1
dy.
-1
±
Go2
Гдг\Y2G1 + r2 fdr. Y^
Pi) Go ldW Ro
(32)
, (25) + _2_ ГдГ1 ) ГдГ2 ) + 2R02 Гдл) ГдГ2 Y
¥o + Go2 UxJ UxJ vdW vdW_
зависимостью
2 п>4 n
ne Ro D Vo - V*
= 1.
т.е.
(26) F = F
BX Bxo
1 - 2s I- l)JVo^ cos x + ...
D 4/\у o -y
(32a)
V = V 0
2
Выражения для полоидальной и тороидальной компонент магнитного поля:
Bx - Bxo
1 +
D
1
У o - У
У o -у*
cos x +.
Bv -
1 + 6
¥ o -¥
cos x +.
(33)
(34)
/У0 -¥*
Подробности выделения членов с одинаковыми степенями е опущены. Сделаем, однако, некоторые пояснения.
1) Благодаря тому, что при G1 (27) произведе-
2
ние ^ в уравнении (8) с точностью в не зависит от х,
Ю = ад(1 + 0(б2)), (35)
из (8) получается для г2(у, х) зависимость (28).
2) Коэффициент а (30) определяется из уравнения, объединяющего члены первого порядка в (6),
-Af G ] = е2i Df
'MGoJ Ro B
x0
V Bx
1
B
D,
(36)
xo J
где 1/BX дается содержащим а (эта величина входит в формулу (28) для r2 ) выражением (32).
3) Величина z2 (29) находится по формуле (9) с учетом (35).
Отметим
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.