КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 1, с. 85-92
УДК 629.78
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ПОРОЖДАЮЩИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ БЕЛЕЦКОГО
© 2007 г. В. П. Варин
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 11.08.2004 г.
Изучаются вырождения на семействах периодических решений уравнения Белецкого соответствующие пересечению трех многообразий этих решений: симметричных, несимметричных и многообразия одного из интегрируемых случаев, т.е. е = 0 или ц = 0. Получены уравнения для этих изолированных решений, позволяющие вычислить их с заданной точностью. Показано, что на некоторых из этих решений происходят дополнительные вырождения. Предложенный метод исследования применим к широкому классу нелинейных ОДУ, зависящих от параметров.
PACS: 45.50.Jf
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе [10] был предложен метод анализа вырождений на семействах периодических решений нелинейных ОДУ с периодическими коэффициентами, зависящими от параметров. Суть этого метода состоит в отождествлении решений ОДУ при всех допустимых значениях параметров с некоторой поверхностью, или характеристическим многообразием, вложенным в конечномерное афинно-евклидово пространство. При этом каждое решение ОДУ является функцией точки на этом многообразии, так что частные производные любого порядка решения ОДУ по локальным координатам характеристического многообразия удовлетворяют уравнениям в вариациях, которые получаются рекурсивно формальным дифференцированием исходного ОДУ по начальным данным и параметрам. В свою очередь решение любого уравнения в вариациях также рассматривается как функция точки на характеристическом многообразии.
В качестве модельной задачи в [10] рассматривалось уравнение Белецкого [1], обладающее богатым набором семейств обобщенных периодических решений, на которых встречаются разнообразные вырождения, понимаемые в самом широком смысле. Ограниченность объема статьи [10] не позволила рассмотреть ряд весьма интересных случаев, в том числе ранее не исследованных. В частности, порождающие несимметричные периодические решения при е = 0 совсем не изучены, вероятно, в силу того, что традиционные методы исследования (например, метод усреднения) требуют весьма громоздких вычислений.
Уравнение Белецкого - это нелинейное ОДУ второго порядка с периодическими коэффициентами, зависящее от параметров e и ц:
d2 5 d 5
(1+ e cos v) —r-2 e sin v — + ц sin 5 = 4 e sin v. (1.1)
d v
dv
Здесь независимая переменная V - истинная аномалия - играет роль времени, е - эксцентриситет орбиты спутника, ц - инерциальный параметр спутника. Подробнее физический смысл указанных величин см. в [1].
Уравнение (1.1) регулярно при |е | < 1 и имеет ряд симметрий:
V, 5, е, ц —► V + п, 5, -е, ц;
V, 5, е, ц —- -V, -5, е, ц; (1.2)
V, 5, е, ц —► V, 5 + п, е, -ц;
допустимыми значениями параметров являются -^ < ц < га и |е | < 1. В этом случае уравнение (1.1) аналитически зависит от параметров и от начальных данных 5(0) и 5'(0).
Рассмотрим множество %, определенное в афинно-евклидовом пространстве О = {юь ..., ю6} следующим образом:
X = {5(0), 5'(0), е, ц, 5(п), 5'(п)} с О, (1.3)
где 5(у) является решением уравнения (1.1) с начальными данными 5(0), 5'(0) е (-га, га) при фиксированных параметрах е е (-1, 1) и ц е (-га, га).
Величины 5(п) и 5'(п) аналитически зависят от начальных данных уравнения (1.1) и от параметров, входящих в уравнение, поэтому множество X является четырехмерным (4^-) аналитическим многообразием с локальными координатами 5(0), 5'(0), е и ц (они же и глобальные координаты в данном случае).
Благодаря симметриям (1.2), характеристическое многообразие % уравнения (1.1) инвариантно относительно линейных преобразований пространства симметрий О
Wj, W2, W3, W4, W5, W6 —»--W5, W6, -W3, W4, W2; W2, W3, w4, W5, W6 —►
• Wj + П, W2, W3, -W4, W5 + П, W6.
(1.4)
Далее координаты в пространстве П будем обозначать как локальные координаты многообразия %.
Определение 1.1. Решение 5(v) уравнения (1.1) называется обобщенным 2п-периодическим, если функция sin5(v) является 2п-периодической.
Далее будем рассматривать только такие решения.
Нетрудно показать, что семейства этих решений образуют, вообще говоря, двумерные поверхности в пространстве П, или, если игнорировать их пересечения, то можно сказать, что они образуют 2^-подмногообразия характеристического многообразия %. В самом деле, множество этих решений двумерно, так как совпадает с пересечением 4^-многообразия % с двумя гиперповерхностями в пространстве П, задаваемыми уравнениями sin5(0) = sin5(2п) и 5'(0) = 5'(2п).
В этой работе мы найдем некоторые исключительные периодические решения уравнения Белецкого, в окрестности которых существуют три различных типа периодических решений, принадлежащих разным семействам. А именно: симметричные (нечетные) периодические решения, несимметричные периодические решения и решения, соответствующие одному из интегрируемых случаев, т.е. значениям параметров e = 0 или | = 0. Такие решения, вообще говоря, могут быть только изолированными, так как они соответствуют пересечению трех различных двумерных поверхностей. Таким образом, этим решениям соответствуют некоторые исключительные значения параметров e и | уравнения (1.1): параметра e, в случае | = 0, или параметра в случае e = 0.
Обозначим 9 мгогообразие симметричных периодических решений уравнения (1.1); очевидно, 9 = % п {5(0) = 0} п {5(п) = 0}, т.е. мгогообразие 9 совпадает с сечением характеристического многообразия % двумя координатными гиперплоскостями пространства П. Мы будем рассматривать также вращательные нечетные периодические решения, которые образуют многообразия 9к = % п {5(0) = 0} п {5(п) = kn}, k е Z, где k-число вращения.
Нетрудно показать, что определение 1.1 обобщенных периодических решений уравнения (1.1) эквивалентно тому, что четная часть функции
5(v), т.е. 50(v) = (5(v) + 5(-v))/2 является периодической функцией, а нечетная часть 8x(v) = (5(v) -5(-v))/2 является периодической функцией с некоторым числом вращения, т.е. 8x(v) = кп.
Мгогообразие (обобщенных) асимметричных периодических решений обозначим с§.
Наконец, многообразия (обобщенных) периодических решений, лежащих в координатных гиперплоскостях {ц = 0} и {e = 0} обозначим, соответственно, М и %.
Таким образом, решения, которые мы ищем, соответствуют точкам ^ n ^ п М и ^ n ^ п % (будем опускать число вращения).
В §2 вычисляются указанные порождающие решения, существующие при ц = 0. Этот случай изучался в работах [2], [10]; тем не менее, он здесь подробно разбирается для сравнения с более сложным случаем е = 0.
В §3 вычисляются порождающие периодические решения с числом вращения к = -1, существующие при e = 0. Показано, что этот случай полностью аналогичен предыдущему. Вся специфика этого случая проявляется на самом последнем этапе, когда все необходимые формулы уже получены.
Наконец, в §4 изучаются порождающие периодические решения с периодом п при e = 0, от которых при e Ф 0 ответвляются симметричные и несимметричные 2п-периодические решения. Этот случай отличается от предыдущего дополнительными вырождениями, что приводит к необходимости использовать уравнения в вариациях все большего порядка.
В заключение этого параграфа приведем некоторые из уравнений в вариациях, которые нам понадобятся (подробнее см. в [10]). Мы используем обозначения y„(v) = d8(v)/d8(0), yx(v) = d8(v)/d8'(0), je(v) = = d8(v)/de, jv(v) = Э8М/Эц; ye, цМ = Э^^Эц = = Эу^уЭц и т.д. Для сокращения записи введем также обозначения: a = 1 + e cos v, b = 2e sin v, с = = cos S(v), 5 = sin 8(v) и опустим зависимость функций от v.
II у I
ayo = by0 - ц су о,
(( т (
ayj = byj - ц су i, ay"e = bye - цcye - 8''cosv + 2(8'+ 2)sinv,
ayl = ьУц - цсУц - 5,
II T I ,
ayo, 1 = ьУо, 1 - цсУо, 1 + ц5УоУ1, ay 0', e = by 0, e - ц су o, e - yO'cOS v +
+ 2Уо sin v + ^yoye,
II 7 I ,
ayо, ц = byo, ц - цсУо,ц - сУо + ц5УоУц.
(2)
Начальные значения всех решений уравнений в вариациях фиксированы: у0(0) = 1, У (0) = 1 ; все остальные начальные значения равны нулю [10].
2. СЛУЧАЙ ц = 0
Напомним, что устойчивость периодического решения уравнения (1.1) в линейном приближении определяется спектром матрицы монодро-мии, вычисленной при этом решении за период. Поскольку определитель этой матрицы, т.е.
у0(2п)у\ (2п) - у\ (2п)ух(2п), равен единице в силу формулы Лиувилля, то устойчивость зависит только от следа Тг = у0(2п) + у\ (2п) матрицы мо-нодромии.
Для симметричных периодических решений можно воспользоваться формулой
ных уравнения для величин a1 и b1 (опуская здесь и далее (п)):
Tr = 2
Уо( п)у1 ( п ) + у0 ( п )y1 ( п ) Уо (п) y'i (п) - у0 (п) yi (п)'
(2.1)
которая получается при вычислении матрицы мо-нодромии на промежутке V е [-п, п].
В работе [10] показано (см. также [8]), что при значении следа Тг = 2, определяемом величиной
у0 (п) = 0, от симметричных периодических решений ответвляются асимметричные периодические решения.
Уравнение у0 (п) = 0 задает гиперповерхность в пространстве О, поэтому множества 9 п ^ = 9 п п{ у0 (п) = 0} являются одномерными, т.е. образует кривые в пространстве О.
Пусть - одна из этих кривых, пересекающая координатную гиперплоскость {ц = 0} в случае общего положения. Тогда ее можно параметризовать величиной ц вблизи этой гиперплоскости.
Вычислим касательный вектор уц к многообразию X вдоль параметризованной кривой ^ в точке ц ф 0.
Локальные координаты характеристического многообразия являются функциями параметра ц на кривой Обозначим а1 = ё5'(0)/ёц, Ъ1 = ёе/ёц, тогда
v^ = (0, ab bb 1,y1 (п)a1 + ув(п)b + + Уц(п), у1(п) a1 + у'е(п) b1 + у,(п)/,
(2.2)
так как кривая лежит в координатной гиперплоскости {5(0) = 0}, и по правилу дифференцирования сложной функции. Кроме того, кривая ^ принадлежит многообразию 9 (т.е. 5(п) = кп) и гиперповерхности {у0 (п) = 0}, что дает два линей-
У1 a1 + УеЬ 1 + Уц = 0
у0,1 a1 + у0, eb 1 + у0,ц = 0.
Из системы (2.3) находим
(2.3)
a=
! ! ! !
_ уеу0, ц - у\ху0, е и _ уцу 1 , 0 - у1 у0 , ц п .р. = - - , b1 = - - . (2.4)
У1У О, е - УеУ0, 1
У1У О, е - УеУ0, 1
Геометрический смысл вел
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.