ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 695-703
УДК 517.9
ИЗУЧЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА
В ПЛОСКОСТИ С ТРЕЩИНОЙ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ВНУТРЕННЕЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
© 2015 г. А. В. Глушко, Е. А. Логинова, В. Е. Петрова, А. С. Рябенко
(394006 Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ) e-mail: mail@angl.ru, vangog2007@list.ru, vera_petrova@math.vsu.ru, alexr-83@yandex.ru
Поступила в редакцию 22.02.2011 г.
Доказано существование решения задачи, моделирующей стационарное распределение тепла в неоднородной плоскости с трещиной, вычислены явные представления сингулярных членов асимптотического разложения теплового потока в окрестности концов трещины. Библ. 10.
Ключевые слова: трещина, тепловой поток, сингулярность, асимптотики.
DOI: 10.7868/S0044466915040055
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время внимание многих исследователей привлекают математические модели, описывающие физические свойства функционально-градиентных материалов (ФГМ) с трещинами. ФГМ называют материалы, свойства которых изменяются вдоль некоторого направления. Существует большое количество работ, посвященных разнообразным задачам, возникающим при исследовании ФГМ, обзор этих работ можно найти в [1]. В частности, активно исследуются задачи, моделирующие как стационарное, так и нестационарное распределение температуры в ФГМ, причем особый интерес представляет исследование решений в окрестности трещины, так как именно эта часть материала наиболее подвержена разрушениям (см. [2]).
В настоящее время достигнут прогресс в численном моделировании ФГМ. Так, в [3] для численного исследования ФГМ использовались методы конечных элементов, граничных интегральных уравнений и их различные модификации. Численные методы исследования ФГМ, опирающиеся на применение интегральных уравнений, основаны на использовании явных фундаментальных решений соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных. Однако такие фундаментальные решения построены только для простейших случаев, когда свойства материала изменяются экспоненциально (см. [4]), что, естественно, является существенным ограничением.
Большой цикл работ (см., например, [5] и список литературы в этой работе) трактует трещину в ФГМ как линию на границе области, в которой рассматривается смешанная задача для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Именно на этой линии происходит смена типа краевых условий. Авторам данных работ удалось получить оценку асимптотики решения этой задачи по расстоянию до линии трещины.
В данной работе рассматривается задача, моделирующая стационарное распределение температуры в плоскости с трещиной при переменном коэффициенте внутренней теплопроводности.
Коэффициент внутренней теплопроводности задается функцией G(x2) = ek('%2>, где функция к(%2)
может быть отличной от функции kx2 + к1 (к = const Ф 0, к1 = const).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В работе рассматривается дифференциальное уравнение
д^Щх^ + dU(x2,x2> + к'(x2)dU(х1,x2> = 0, x = (x1, x2) 6 U2V, (1)
5x1 dx2 dx2
где I = [-1; 1] х {0}, дополненное граничными условиями
Щхъ+0) - Щхь-0) = е 2 9о(х1>, (2)
+ Щ)щхь +0) - - Шщх,-0) = е(3)
дх2 2 дх2 2
где х1 е (-1;1).
Определение. Решением задачи (1)—(3) назовем функцию Ц(х1,х2), принадлежащую
С 2( К 2\I) и
удовлетворяющую уравнению (1) в области К 2\ I, для которой в смысле главного значения при х1,
принадлежащем (-1;1), выполнены граничные условия (2), (3), и такую, что функции Ц(х1,х2),
дЩхь х2) дЩхь х2) дЩхь -х2) ,
х2— 1 2 и —4 1 "--^—^ ограничены в окрестности трещины I.
дх2 дх2 дх2
Отрезок I = [-1; 1 ] х {0} моделирует трещину, условия (2) и (3) описывают соответственно скачок температуры и нормального теплового потока на берегах трещины. Необходимость выбора именно таких краевых условий для данной задачи обсуждалась в [6].
Целью работы является доказательство существования решения задачи (1)—(3) и построение точных представлений сингулярных членов асимптотических разложений решения Ц(х1, х2) и его
производных х2, к = 1,2, в окрестностях концов трещин, т.е. асимптотических разложений
дхк
в точках (±1, 0) е К2.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Основным методом решения поставленной задачи будет служить установление связи между решением задачи (1)—(3) и решением вспомогательной задачи с постоянным коэффициентом, которая будет описана ниже.
Вспомогательная задача состоит из уравнения
д2й(х,,х2) д2й(х,,х2) , дй(х,,х2) п , . „2, ,
-—2—— + —v 12' 2 + k—v 1 2 = 0, х = (х1; х2) 6 U \l, (4)
dxj дх2 дх2
дополненного граничными условиями
й(х1,+0) - й(х1, -0) = #о(х1>, (5)
+ кй(х1,+0) - - кй(х1,-0) = 91(х]), (6)
дх2 2 дх2 2
где х1 е (-1;1).
Отметим, что краевая задача (4)—(6) изучалась в [6], в которой также можно найти достаточный обзор литературы по данной теме. Задача (4)—(6) моделирует стационарное распределение температуры в неоднородной плоскости с трещиной. Неоднородность материала описывается
функцией к(х2) = G0ehC2, где G0 = const Ф 0, k = const ф 0.
Поскольку результаты настоящей работы развивают и используют результаты из [6], приведем краткую схему исследования задачи (4)—(6).
k%2
С помощью замены й(хьх2) = e 2 У(хъх2) уравнение (4) сводится к уравнению
k 2
AFKх2) - — ¥(хьх2) = 0, х g U\l, (7)
4
граничные условия (5), (6) принимают вид
У(хь +0) - Ях,-0) = ^j), (8)
дУ(хь+0) -дУ(х1,-0) = д^), (9)
дх2 дх2
где х! е (-1; 1).
Определение. Пусть д(х1) принадлежит пространству С([-1; 1]). Через д(х1)5[_1;1](х1,х2) будем обозначать обобщенную функцию из Б'(Ш2), действующую по следующему правилу: для любой функции ф(х1, х2), принадлежащей пространству Б (Ш2), имеет место соотношение
1
(д(х1)5[_1;1](х1, х2), ф(х1, х2>) = | д(ст])ф(ст1,0)^ст1 •
-1
Если д0(х1) и д1(х1) принадлежит пространству С ([-1; 1]), то стандартным образом (см. [7]) задачу (7)—(9) можно свести к обобщенной задаче Коши:
~ к 2 ~ д Д%1,х2) - —У(хьх2) = д1(х])8[_1;1](х1,х2) + — (до(х])5,ххА (10)
4 дх2 ' ;'
1 2
к гт 2
Замечание 1. Фундаментальным решением оператора А--в Ш является функция Е(х1, х2) =
4
= —— К0 (1^1 |х|), где К0(1) — функция Макдональда (см. [8]). 2п \2 /
Ниже без доказательства будет приведено несколько утверждений, относящихся к задаче (7)—(9), основная часть которых содержится в [6], где можно прочитать методику их доказательства (некоторые из результатов улучшены по сравнению с результатами из [6]).
Утверждение 1. Пусть д0(х1), д1(х1) е С ([-1 ;1 ]), тогда решение задачи (10) можно представить в виде У(хь х2) = р51(х1, х2) + У0(х1, х2), где
1
Уо(хь х-) = Е(хь х-) * д- (до(х])5 [_11](х1, хз)) = | К1 ('¡(ъ-а^+Щ)
2 _1 V-
—. а-
х22 + (х1 - -1)2
Чх,,х2) = Е(хъх2) * д1(х])5[_1;1](х],х2) = -2П |Ко (((х1 - Ст])2 + х22)д1(ст])аст1,
-1
а К1(1) — функция Макдональда (см. [9]).
3 ~
Утверждение 2. Пусть д0(х1),д1(х1) е С ([-1;1]), тогда функция У(хьх-) из утверждения 1 является решением задачи (7)—(9) и У(хьх2) е С"(Ш2\/).
Утверждение 3. Пусть д0(х]),д1(х1) е С ([-1;1]), а функция У(х1,х2) из утверждения 1, тогда для
функций дУ(хъх2), дУ(хьх2> при (х1,х2) I справедливы следующие представления:
дх1 дх2
дУ(хьх7) _ _до(1) х7 + до(-1) х7 _
дх1 2п (1 - х])2 + х2 2п (1 + х])2 + х2
_ д1(1)1п[(1 - х^2 + х2] + д!(_^1п[(1 + х^2 + х2] + Щхъ х)
где Я1(х1, х2) — ограниченная на любом компакте функция;
дУ(хь х7) = - до(1) 1 - х1 _ до(-1) 1 + х1 + дх2 2п (1 - х1)2 + х^ 2п (1 + х1)2 + х^
+ д^1п[(1 - х1)2 + х—] - д0(_^1п[(1 + х1)2 + х2] + Я2(хьх2), где Я2(хь х2) — ограниченная на любом компакте функция.
СВЕДЁНИЕ ЗАДАЧИ (1)-(3)
Перейдем к изложению результатов настоящей работы и схемам их доказательства.
kfe)
С помощью замены U(x1,х2) = e 2 ¥(х1,х2) задачу (1)—(3) можно свести к задаче
A¥(xbх2) - кк-(х2)¥(х1,х2) = 0, х g [2\l, (11)
4
¥(х„+0) - ¥(хь -0) = ?0(х]), (12)
д¥(х',+0) -д¥(хь-0) = Ж), (13)
дх2 дх2
где х1 g (-1; 1), а k2(х^ = (к' (х^)2 + 2k" (х2).
В дальнейшем будем считать, что функция к(х-) принадлежит пространству C 4( [); существуют константы б1 и б2 такие, что при х2, принадлежащем [R, выполнены оценки s2 > (к'(х2))2 + + 2к" (х2) > б1 > 0, а функции q0(x1) и q1(x1) принадлежат пространству C ([-1; 1]).
Замечание 2. Очевидно, что функция к(х2) = кх2, где к = const ф 0, удовлетворяет сформулированному выше условию. При таком выборе к(х2) задача (11)—(13) переходит в задачу (7)—(9). Помимо функции кх2, данному условию, к примеру, будет удовлетворять функция вида
С^ + С2, х2 < -h, к(х2) = \ F(x2) + с1х2 - F' (-h)x2 + c2 - F(-h) - F' (-h)h, - h < х2 < h,
(F'(h) + c1 - F' (-h))x2 + c2 + F(h) - F(-h) - F' (-h)h - F' (h)h, х2 > h,
где h = const > 0, c2 = const, c1 = const > max (F' (-h) - F' (x2)), c1 Ф 0, а
%2^[-h; h]
F"(x2) =
0, x2 <-h,
exp[-h2(h2 - x^) ], - h < x2 <-h, 0, x2 > h.
Решение задачи (11)—(13) будем искать в виде ¥(хъх2) = и(х1,х2) + Ж(хъх2), где функция и(х1,х2) является решением задачи
Аи(х1,х2) - кк—(—)и(х1,х2) = 0, х е К2\/, (14)
4
и(х1, +0) - и(х1,-0) = д0(х]), (15)
ди(х',+0) -ди(х',-0) = д(х), (16)
дх2 дх2
где х1 е (—1; 1), а функция W(x1,х2) является решением задачи
4
W(x1,+0) - W(x1,-0) = 0, (18)
AW(x1,х2) - к^х2)^(х1,х2) = 0.25(it2(х2) - к2(0))й(х1,х2), х g [2\l, (17)
dW(xh +0) 3W(xh-0) = 0, (19)
дх2 dx2
где х1 с (-1; 1).
Отметим, что задача (14)—(16) совпадает с задачей (7)—(9) при к = ¿(0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1)-(3), ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИК ТЕПЛОВОГО ПОТОКА В ОКРЕСТНОСТИ КОНЦОВ ТРЕЩИНЫ
Лемма 1. Пусть функция и(х1, х2) является решением задачи (14)—(16), тогда и(х1, х2) е Ж2к (О), где
к е Ы, а О — любая область из К2 такая, что расстояние от О до I больше некоторого числа 5 > 0.
Доказательство. Покажем, что и(х1,х2) е Ж2к(К2\бЯ(0)) при достаточно большом Я. Из утверждений 1—3 следует, что решение задачи (14)—(16) задается формулой
и(х1,х2) = -2П |к0 - Ст])2 + х2)Ч1(о№<31 +
-1
1
Г К1 [ - Ст!)2 + х2 ]-,——х2-- ^0(СТ])^СТ1.
' ^ 2 ^ V х2 + (х1 -СТ1)2
4п
При достаточно большом Я и любых натуральных I и у (см. [9]) имеем
^^^ = Е /(х1 - х?"0Кп0 [к(0^(х1 -а)2 + х2^ (( - ст])2+ х2+
1 2 п0, п1 _1
1
|(х1 - а])а"1 х^1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.