научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

СИРОТИН А.Н. — 2015 г.

Исследуется задача оптимального управления пространственной переориентацией вращающегося твердого тела с осью симметрии. Установлены новые геометрические свойства экстремалей данной вариационной задачи для невырожденного случая. Подробно описано свойство “схлопывания” поля экстремалей, ранговая альтернатива и установлена связь с семейством тригонометрических экстремалей, построенном в аналогичной задаче ранее. Полученные результаты основаны на анализе системы уравнений, получаемой в результате применения формализма принципа максимума Понтрягина.

АНДРОНОВ П.Р., ГУВЕРНЮК С.В. — 2015 г.

Построено аналитическое решение задачи о струйном симметричном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью проницаемой пластины в плоскопараллельном канале. Граничные условия на пластине соответствуют линейному закону Дарси и условию направляющего действия строения пористости. Учитывается эффект производства распределенной завихренности при протекании сплошной среды сквозь проницаемую границу, Точное решение получено в виде, содержащем интеграл Шварца. Исследована зависимость сопротивления пластины от ее относительного размера и степени пористости. Результат применен для построения теории комбинированной проницаемости. В явном виде получена зависимость коэффициента гидравлических потерь от физических параметров комбинированной проницаемости, содержащей пористые и перфорированные элементы.

МХИТАРЯН С.М. — 2015 г.

Методами теории обобщенного потенциала, связанного с уравнением Гельмгольца, в ортогональной системе координат сжатого сфероида, где одна из координатных поверхностей вырождается в плоский дважды покрываемый круговой диск, устанавливаются спектральное и смежные с ним интегральные соотношения для определенного на круговой области интегрального оператора с симметричным ядром в виде отношения экспоненциальной функции от расстояния между двумя точками к этому расстоянию. Эти соотношения обобщают соответствующие соотношения для интегрального оператора с симметричным ядром в виде интеграла Вебера- Сонина и содержат сфероидальные волновые функции. На основании полученных интегральных соотношений строится точное решение интегрального уравнения контактной задачи о вдавливании кругового в плане штампа в линейно-деформируемое основание типа упругого полупространства с ядром, совпадающим с экспоненциально изменяющимся от расстояния ядром. Указывается также на другие приложения полученных спектрального и смежного с ним интегральных соотношений.

АРТЫШЕВ С.Г. — 2015 г.

Для плоского течения несжимаемой жидкости без привлечения сведений о симметрии и групповых методов получен точный класс решений уравнений Навье-Стокса с использованием известных свойств цилиндрических функций.

ГУСЬКОВ О.Б. — 2015 г.

ТХАЙ В.Н. — 2015 г.

Изучаются периодические движения в случае, когда на обратимую механическую систему действуют возмущения общего вида, и возмущенная система перестает быть обратимой. Находятся условия существования периодических движений возмущенной системы, которые при нулевом значении малого параметра переходят в симметричные периодические движения обратимой механической системы, не вырождающиеся в равновесия. Рассматриваются как автономные, так и периодические возмущения. Для исследуемых систем выводятся амплитудные уравнения, простые корни которых отвечают периодическим решениям возмущенной системы. В результате для автономной системы находятся циклы, для периодической системы - изолированные периодические движения. Исследуются как отдельная система, так и модель, содержащая связанные подсистемы. Подсчитываются характеристические показатели циклов. Доказывается, что в системе, описываемой уравнениями Лагранжа с позиционными силами, любое колебание симметрично и принадлежит семейству. Также выводится, что для реализации цикла или, в случае неавтономных сил, - изолированного периодического движения необходимы зависящие от скоростей силы определенной структуры. В качестве приложения исследуется задача о колебаниях спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов, в которой устанавливается существование несимметричных изолированных колебаний на слабо эллиптической орбите.

ЖЕЛНОРОВИЧ В.А. — 2015 г.

Рассматриваются нелинейные уравнения, описывающие модели упругих пьезоэлектриков в электромагнитном поле при учете процессов релаксации диэлектрической поляризации. Предполагается, что релаксация определяется производной Яуманна вектора диэлектрической поляризации. Линеаризация точных нелинейных уравнений приводит к зависимости диэлектрической поляризации и тензора напряжений от тензора поворотов осей деформации при наличии постоянной составляющей вектора диэлектрической поляризации. Рассматриваются объемные волны и поверхностные волны Релея и Блюстейна-Гуляева при учете релаксации диэлектрической поляризации в пьезоэлектриках с осевой симметрией. Получены дисперсионные уравнения, вычислены скорости и декременты затухания таких волн. Учет релаксации диэлектрической поляризации приводит к дисперсии скорости волн. На низких частотах декременты затухания объемных и поверхностных волн пропорциональны квадрату частоты. При увеличении частоты волн декременты затухания стремятся к конечным постоянным значениям. Показано, что учет релаксации диэлектрической поляризации при описании волн Релея сводится к простой замене постоянного вещественного коэффициента в уравнении Релея на комплексный параметр, мнимая часть которого определяется временем релаксации.

САХАРОВ А.В. — 2015 г.

Рассматривается двумерное движение системы, состоящей из твердого полого тела, опирающегося на шероховатую плоскость, и двух внутренних подвижных точечных масс, способных двигаться параллельно продольной оси симметрии тела. Трение в области контакта моделируется локальным законом Амонтона-Кулона. Для описания распределения нормальных напряжений используется динамически согласованная линейная модель. Исследуется возможность реализации поворота системы за счет определенного относительного движения внутренних масс. Рассматриваются два закона управления подвижными массами: кусочно-линейный и гармонический, для которых уравнения движения численно проинтегрированы при разных значениях параметров законов управления. Анализируются особенности движения системы для выбранных законов. Устанавливается, что для двухфазного кусочно-линейного закона управления поворот системы выходит на установившийся режим. Находятся параметры кусочно-линейного закона управления, доставляющие максимум средней угловой скорости тела в установившемся режиме движения.

ЛАРИН Н.В., ТОЛОКОННИКОВ Л.А. — 2015 г.

Получено аналитическое решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны однородным упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием. Представлены результаты расчетов диаграмм направленности рассеянного поля для цилиндра с непрерывно-неоднородным и дискретно-слоистыми покрытиями. Показано, что радиально-неоднородное покрытие можно моделировать системой однородных упругих слоев.

КОЗЛОВ В.В. — 2015 г.

Рассматриваются динамические системы, которые описываются квазиоднородными системами дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями. В качестве примеров можно указать уравнения Эйлера-Пуассона из динамики твердого тела, а также уравнения Эйлера-Пуанкаре на алгебрах Ли, описывающие динамику систем на группах Ли с левоинвариантной кинетической энергией. Найдены условия существования рациональных первых интегралов квазиоднородных систем. Они включают условия существования инвариантных алгебраических многообразий. Приведены примеры систем с рациональными интегралами, которые не допускают полиномиальных по импульсам первых интегралов. Результаты общего характера продемонстрированы также на примере инвариантного многообразия Гесса-Аппельрота из динамики несимметричного тяжелого волчка.

БАЛАНДИН Д.В. — 2015 г.

Изучается возможность стабилизации неустойчивого поперечного движения вращающегося в кожухе ротора за счет изменения гидродинамических сил, действующих на ротор со стороны газа, заполняющего кожух. Желаемое изменение сил оказывается возможным за счет применения специальных корректоров, расположенных на внутренней цилиндрической поверхности кожуха. Получены устойчивости поперечного движения ротора. Приведен пример корректора, обеспечивающего устойчивое движение.

НИКОНОВ В.И. — 2015 г.

Изучается плоская задача о движении треугольника, масса которого распределена на его сторонах, и материальной точки под действием сил взаимного притяжения. Находятся стационарные вращающиеся конфигурации такой системы, исследуются условия их устойчивости и бифуркаций. Устойчивыми оказываются конфигурации, на которых материальная точка достаточно удалена от треугольника и располагается на оси симметрии напротив вершины.

ЗАБОЛОТНОВ Ю.М. — 2015 г.

Рассматривается построение и анализ законов развертывания орбитальной тросовой системы, состоящей из двух концевых тел и троса, в вертикальное положение. Исследуется случай, когда масса одного концевого тела много больше суммарной массы второго концевого тела и троса, причем последние сравнимы по массе. При построении номинального закона управления развертыванием в вертикальное положение используется модель системы, состоящей из двух концевых материальных точек и троса, записанная в подвижной орбитальной системе координат для нерастяжимого троса. Реализуемость предлагаемых законов управления оценивается по модели управляемого движения орбитальной тросовой системы с распределенными параметрами при учете растяжимости троса.

ГАЛКИН В.С., РУСАКОВ С.В. — 2015 г.

Завершена формулировка системы уравнений механики газа как сплошной среды, которая описывает нестационарные медленные (число Маха много меньше единицы) ламинарные течения смеси газов при числе Рейнольдса и относительных перепадах температуры и мольных долей порядка единицы. Распределение по внутренним энергиям молекул близко к больцмановскому (случай быстрых обменов поступательной и внутренней энергиями молекул). Различие от аналогичной системы уравнений в приближении Навье-Стокса состоит в том, что в уравнении движения учитываются барнеттовские напряжения, выражаемые через вторые производные и парные произведения первых производных от температуры и мольных долей (концентраций). Следствие действия этих напряжений - термо- и концентрационно-стрессовая конвекция. Рассмотрены частные случаи и возможные обобщения.

АКУЛЕНКО Л.Д., КУМАКШЕВ С.А., НЕСТЕРОВ С.В. — 2015 г.

На основе теории Ляпунова-Пуанкаре, численно-аналитических методов сагиттарной функции и ускоренной сходимости исследуются собственные частоты и формы параметрических колебаний механических систем. Изучен пример физического маятника с подвижными внутренними массами. Численно-аналитическим методом ускоренной сходимости исследованы малые параметричесие колебания математического маятника переменной длины при произвольном значении коэффициента модуляции. С помощью процедуры продолжения по параметрам построены периодические решения и определены границы областей устойчивости (в линейном приближении) и неустойчивости (областей параметрического резонанса). Для произвольных допустимых значений коэффициента модуляции основных низших мод колебаний построены диаграммы типа Айнса-Стретта. Установлен ряд качественных эффектов, которые принципиально недоступны при применении рутинных вычислений методами возмущений.

ТЕОДОРОВИЧ Э.В. — 2014 г.

Методом ренормализационной группы получено точное автомодельное решение уравнения нелинейной диффузии с диссипацией типа Кана-Хиллиарда. При поиске допустимой формы решения использовались только соображения размерностей и свойство ренормализационной инвариантности. Форма совместимых с нелинейным уравнением начальных и граничных условий заранее не может быть задана, она определяется из решения дифференциальных уравнений ренормгруппы.

2014

БЕЗГЛАСНЫЙ С.П. — 2014 г.

Рассматривается задача об одноосной и трехосной ориентациях относительно кёниговой и неинерциальной систем координат уравновешенного гиростата с моментами инерции, зависящими от времени. Аналитически в классе непрерывных функций строится по принципу обратной связи активное стабилизирующее управление и определяются условия, при которых возможна желаемая ориентация, обладающая свойством асимптотической устойчивости. Используются метод функций Ляпунова и метод предельных уравнений и предельных систем, позволяющий использовать функции Ляпунова со знакопостоянными производными. Приводится пример численного моделирования трехосной ориентации гиростата.

БАЖЕНОВ В.Г., БАЛАНДИН В.В., ГРИГОРЯН С.С., КОТОВ В.Л. — 2014 г.

Рассматривается решение задач поиска оптимальной формы тела при его проникании в плотные среды на основе моделей локального взаимодействия (МЛВ) и модели грунтовой среды Григоряна в осесимметричной постановке. Получена новая МЛВ, уточненная за счет учета нелинейной сжимаемости и сопротивления сдвигу грунтовой среды при аналитическом решении задачи о расширении сферической полости. Теоретически и экспериментально обоснована применимость квадратичной по скорости МЛВ для определения сил сопротивления внедрению в мягкий грунт острых тел и установлено нарушение условий применимости модели для затупленных тел. Показано, что решение при учете нелинейных эффектов обтекания в двумерной постановке позволяет существенно уточнить как форму, так и силовые и кинематические характеристики оптимальных затупленных тел при проникании в грунтовые среды. Отношение конечных глубин проникания тел вращения в мягкий грунт при учете внутреннего трения оценивается отношением коэффициентов в формулах Резаля.

БАКИРОВ Ж.Б., МИХАЙЛОВ В.Ф. — 2014 г.

Рассматривается решение квазиконсервативной нелинейной колебательной системы, правые части которой пропорциональны малому параметру. Путем перехода к “медленным” переменным и сочетанием метода стохастического усреднения и теории марковских процессов получены основные соотношения для решения задачи. На базе быстрого преобразования Фурье разработан эффективный численный алгоритм, позволяющий получить плотность распределения выходных параметров и амплитуды колебаний. Рассмотрено приложение теории к решению уравнения Дуффинга-Ван-дер-Поля при аддитивном и мультипликативном случайном воздействии.