научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

ТЕОДОРОВИЧ Э.В. — 2004 г.

В обзоре излагаются основополагающие идеи метода ренормализационной группы (РГ). В частности, объясняется понятие ренормализационной инвариантности, следствием которой является функциональное и дифференциальное уравнение РГ. Излагаются способы решения дифференциального уравнения РГ, а также некоторые технические аспекты метода РГ, такие, как метод е-разложения. Приведенные примеры, относящиеся к рассмотрению различных проблем механики, служат для иллюстрации метода РГ и должны способствовать лучшему его пониманию.

ЛАМПЕР Р.Е., ЛЕВИН В.Е. — 2004 г.

Излагается вариант метода расчета собственных продольных колебаний упругого осесимметричного сосуда, частично заполненного жидкостью. В основу метода положено сочетание граничных элементов для жидкости и конечных элементов для упругого сосуда. Приводятся примеры, показывающие эффективность предлагаемого метода.

ГРАУЭР Л.В., ПЕТРОСЯН Л.А. — 2004 г.

Рассматриваются бесконечношаговая и конечношаговая игры на древовидном графе, каждой вершине которого соответствует некоторая одновременная игра. Дается определение сильного трансферабельного равновесия по Нэшу. Для бесконечношаговых игр вводится процедура регуляризации, которая позволяет построить сильное трансферабельное равновесие. Для конкретного случая повторяющейся бесконечношаговой игры “Дилемма заключенного” n лиц найдено сильное трансферабельное равновесие в явном виде. Для конечношаговых игр определен новый класс равновесий по Нэшу, основанный на использовании стратегий наказания. Получены явные аналитические формулы числа шагов, необходимых для наказания. Показано, что выигрыши в данном равновесии превосходят выигрыши в классическом абсолютном равновесии.

БАКИРОВ В.Ф., ГОЛЬДШТЕЙН Р.В. — 2004 г.

Рассматривается плоская задача о предельном равновесии трещины-расслоения на границе раздела различных материалов. Предполагается, что при приложении на бесконечности равномерно распределенных нормальных напряжений в концевых областях действуют постоянные нормальные и касательные напряжения сцепления между берегами трещины. Исследован общий случай, когда размеры концевых областей не малы по сравнению с характерным размером трещины. Получены аналитические выражения для компонент вектора раскрытия берегов трещины, распределения напряжений на продолжении трещины, коэффициентов интенсивности напряжений, а также соотношения между внешней нагрузкой, длиной трещины и параметрами концевой области в состоянии предельного равновесия. Отдельно рассмотрен случай, когда концевые области малы по сравнению с длиной трещины.

ШАРАФУТДИНОВ Г.З. — 2004 г.

При помощи функций комплексной переменной получены точные решения некоторых пространственных задач деформирования тонкой кольцевой пластинки, неподвижно закрепленной по внешнему контуру и нагруженной определенным образом по внутреннему контуру. Предельным переходом, при радиусе внутренней окружности, стремящемся к нулю, получены распределения напряжений на ней при действии сосредоточенных сил различного характера.

ШЕРМЕНЕВ А.М. — 2004 г.

Некоторые классические типы волн на мелкой воде изучаются с использованием уравнения Буссинеска в полярных координатах. В этих координатах обычные методы теории возмущений приводят к переопределенным системам линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов. Показано, что в рассматриваемых специальных случаях эти уравнения совместны, что позволяет построить решения уравнения Буссинеска с той же точностью, с какой уравнение получено. Заданный на дне потенциал скоростей и функция, задающая свободную поверхность воды, разлагаются в ряд Фурье по времени. Коэффициенты их первых двух гармоник выражены явно как многочлены от функций Бесселя с коэффициентами в виде элементарных функций от полярных координат.

БРЫКАЛОВ С.А. — 2004 г.

Рассматриваются непрерывные способы управления по обратной связи в задачах уклонения в присутствии помехи. Состояние управляемой системы характеризуется конечномерным вектором. Динамика описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, которое линейно по фазовому вектору. Управляющий параметр может нелинейно входить в уравнение, и в том числе в коэффициент при фазовом векторе. Дифференциальное уравнение содержит также неизвестную помеху. Предполагается, что управление и помеха подчинены геометрическим ограничениям. Цель управления состоит в уклонении от выпуклого замкнутого целевого множества, заданного в функциональном пространстве траекторий системы. В частности, такая постановка задачи содержит случай целевого множества в конечномерном пространстве состояний системы на правом конце отрезка. Изучаются способы управления, которые описываются однозначными отображениями, непрерывно зависящими от фазового вектора. Эти способы управления могут использовать отклонение аргумента. При естественных ограничениях, накладываемых на систему, показано, что если некоторый непрерывный способ управления по обратной связи гарантирует уклонение при любой допустимой помехе, то найдется способ управления без обратной связи, также гарантирующий уклонение.

КЛИМ В., СЕЙРАНЯН А.П. — 2004 г.

Изучаются критерии асимптотической устойчивости линейных механических систем. Показывается, что неравенство, впервые выведенное Метелицыным, является достаточным, но не необходимым условием асимптотической устойчивости. Анализируются теоремы Метелицына, а также критические комментарии к ним в литературе. Выводятся конструктивные достаточные условия устойчивости в виде неравенств, ограничивающих экстремальные собственные значения матриц системы. Аналогичные условия получены для роторных систем в комплексном представлении. В качестве механических примеров рассмотрены три задачи об устойчивости вращения валов.

2004

ЗЕВИН А.А. — 2004 г.

Основным элементом предлагаемого подхода к построению теории устойчивости канонических систем служит определенная ниже индексная функция, которая содержит всю необходимую информацию о системе. Основные результаты существующей теории, в частности, необходимое и достаточное условие сильной устойчивости, выражены в новых терминах. Соответствующие доказательства используют лишь простые математические средства; кроме того, они намного короче известных доказательств. Установлен ряд новых утверждений, в частности, получено простое достаточное условие сильной устойчивости, существенно обобщена известная теорема Якубовича [1] о направленной широте областей устойчивости, найдено необходимое и достаточное условие их направленной выпуклости. С их помощью установлены некоторые нелокальные качественные результаты об областях устойчивости параметрических колебаний канонических систем (позволяющие, в частности, обосновать существующую практику построения областей устойчивости по их границам) и найдены условия высокочастотной параметрической стабилизации неустойчивых систем.

ЗУБОВ Л.М. — 2004 г.

Предложена точная нелинейная теория пространственного изгиба цилиндрических (призматических) упругих тел. При пространственном изгибе каждая материальная прямая, параллельная оси призматического бруса, после деформации превращается в винтовую линию. Все эти винтовые линии имеют общую ось, ортогональную первоначальной оси стержня. Данная пространственная задача нелинейной теории упругости сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения бруса. Решение полученной двумерной задачи позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме цилиндрического тела и граничным условиям на боковой поверхности призмы. Краевые условия на торцах бруса выполняются в интегральном смысле. Система сил, действующих в концевом сечении цилиндра, статически эквивалентна силе и моменту, которые приложены в точке оси указанных выше винтовых линий и направлены вдоль этой оси. Даны вариационные постановки нелинейной краевой задачи на сечении бруса, испытывающего пространственный изгиб.

СИРОТИН А.Н. — 2004 г.

Изучаются некоторые особенности решений задачи оптимального управления пространственной переориентацией и одновременным полным торможением начального вращения абсолютно твердого сферического симметричного тела для случая нефиксированного времени. Управлением служит главный момент приложенных внешних сил. Качество управляемого процесса оценивается интегральным функционалом, который характеризует суммарные энергозатраты, необходимые для осуществления маневра. В частном случае такой функционал имеет вид широко распространенного интегрально-квадратичного. Установлено, что задача оптимального по энергозатратам управления переориентацией и одновременным торможением твердого тела с нефиксированным временем в классе измеримых управлений решений не имеет почти для всех начальных условий. Построена явным образом одна из возможных минимизирующих последовательностей. Показано, что наименьшие значения целевых функционалов в задаче переориентации с торможением и в задаче полного торможения начального вращения совпадают. В частности, переориентации сферически симметричного тела из положения покоя в положение покоя соответствуют нулевые минимальные энергозатраты, если время окончания процесса не фиксировать. При дополнительном предположении о строгой нормированности доказана единственность решения задачи оптимального торможения.

БЫЧКОВ Ю.П. — 2004 г.

При помощи методов, изложенных ранее [1-3], рассматривается в общей постановке задача о движении материальной системы, состоящей из несущего твердого тела, ограниченного поверхностью и катящегося по другой движущейся поверхности, и совокупности носимых материальных точек, положение которых относительно этого тела может быть задано конечным числом обобщенных координат.

МАРКЕЕВ А.П. — 2004 г.

Рассматривается движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Геометрия масс тела и начальные условия его движения соответствуют случаю интегрируемости Горячева - Чаплыгина [1, 2]. В этом случае существуют периодические маятникообразные движения, отвечающие колебаниям или вращениям тела вокруг оси динамической симметрии, занимающей неизменное горизонтальное положение. Решается задача об орбитальной устойчивости этих движений. Найдено явное решение линеаризованных уравнений возмущенного движения и показано, что в линейном приближении колебания и вращения тела орбитально устойчивы, а нелинейная задача об устойчивости всегда является резонансной: при любой амплитуде колебаний (или любой угловой скорости вращения) тела в невозмущенном движении его возмущенное движение таково, что имеет место резонанс четвертого порядка (два отличных от единицы мультипликатора чисто мнимы и равны ±i). Показано, что в нелинейной постановке задачи маятникообразные колебания тела всегда орбитально неустойчивы, а вращения устойчивы.

БУРОВ А.А. — 2004 г.

Для систем, стесненных связями, реализуемыми большими потенциальными силами, исследуется вопрос о необходимых условиях устойчивости установившихся движений. Для изучения собственных значений линеаризованной системы вводится расширенная матрица, аналогичная расширенной матрице, возникающей в условиях знакоопределенности ограничения квадратичных форм на линейное многообразие. На примере обсуждается вопрос о корректности реализации односторонних связей в особенных случаях нулевой реакции.

ЗЕЛЕНЦОВ В.Б. — 2004 г.

Рассматриваются две нестационарные динамические контактные задачи о внедрении жесткого штампа в упругую полуплоскость. В первой задаче штамп клиновидной форы, во второй - параболической. Для решения задач применяется метод, разработанный ранее [1, 2]. Требования, накладываемые на гладкость решения рассматриваемых задач, приводят к дополнительным условиям, благодаря которым определяется изменяющаяся во времени ширина зоны контакта между штампом и упругой полуплоскостью как функция времени и закона внедрения штампа в упругую полуплоскость, определяемого из дифференциального уравнения движения массивного штампа на упругой полуплоскости.

УЗБЕК Е.К. — 2004 г.

Для дифференциальных уравнений Кирхгофа, описывающих движение гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, рассматриваются условия существования частных решений, для которых компоненты вектора момента количества движения являются суперпозицией линейных и дробно-линейных функций.

СЕРГЕЕВ В.С. — 2004 г.

Проводится исследование систем с последействием, состояние которых задается нелинейными интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерры с малыми возмущениями. В предположении, что линеаризованная невозмущенная система асимптотически устойчива и что возмущения, а также нелинейные члены содержат функции времени, экспоненциально стремящиеся к периодическим функциям, рассматривается вопрос о существовании в таких системах предельно периодических движений. В качестве примера рассмотрены предельно периодические движения твердой пластины (модели крыла) при нестационарном обтекании воздушным потоком.

БАКАНОВ С.П. — 2004 г.

Кратко излагается схема расчета скорости термофореза в газах крупных тел. Основное внимание обращается на особенности механизма термофореза высокотеплопроводных тел, попытки объяснения аномалий которого предпринимаются в течение многих лет. Дается качественное объяснение рассматриваемого механизма. Показано, что он обязан своим происхождением наличию в газе вблизи поверхности тела второй (смешанной) производной от температуры (в то время как термофорез Эпштейна-Максвелла обусловлен ее первой производной). Подчеркнуто, что в то время как классический термофорез не зависит от числа Кнудсена Kn = λ/R ( λ - длина свободного пробега молекул газа, R - характерный размер тела), скорость термофореза высокотеплопроводных тел ему прямо пропорциональна. С другой стороны, классический термофорез сильно зависит от отношения теплопроводностей тела и газа, а скорость термофореза высокотеплопроводных тел от этого отношения не зависит. Показано, что надежные количественные результаты можно получить, лишь располагая достоверными данными о коэффициентах аккомодации при соударениях газовых молекул с поверхностью тела.

БЛЕХМАН И.И., ЯРОШЕВИЧ Н.П. — 2004 г.

Путем использования метода прямого разделения движений обосновывается расширенная формулировка интегрального критерия устойчивости, позволяющая рассматривать как “простые”, так и “непростые” случаи задач о синхронизации объектов с почти равномерными вращениями. На примерах показано, что результаты, найденные ранее методами малого параметра Пуанкаре и прямого разделения движений в процессе достаточно громоздких вычислений, можно значительно проще получить при использовании расширенной формулировки интегрального критерия устойчивости.