научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

ВДОВИН С.А., ТАРАСЬЕВ А.М., УШАКОВ В.Н. — 2004 г.

Методами теории оптимального управления [1, 2] решается задача построения множеств достижимости для нелинейной динамической системы, известной как неголономный интегратор Брокетта [3]. Доказывается, что граница множеств достижимости характеризуется точками оптимальных траекторий, построенных для задачи управления с интегральным показателем качества, задающим площадь фигуры, ограничиваемой траекторией движения управляемой системы. Задача заключается в максимизации этой площади. Такая постановка близка к известной в вариационном исчислении задаче Дидоны о построении фигуры максимальной площади с заданным периметром. Предлагается алгоритм построения оптимальных траекторий и исследуются их свойства. В основу алгоритма положены результаты решения частного случая задачи оптимального управления с замкнутой траекторией движения. Для построенных оптимальных траекторий проверены необходимые условия оптимальности принципа максимума Понтрягина. Выведены аналитические формулы для функции цены задачи управления и выполнена проверка необходимых и достаточных условий оптимальности решения с использованием минимаксных неравенств А. И. Субботина для уравнений Гамильтона - Якоби.

ВАГИН Д.А., ПЕТРОВ Н.Н. — 2004 г.

Выводятся достаточные условия поимки по крайней мере одного убегающего для примера Понтрягина [1] со многими участниками и фазовыми ограничениями, налагаемыми на состояния убегающих, при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков и при условии, что все убегающие используют одно и то же управление.

МЫШКИС А.Д. — 2004 г.

Исследуются существование и устойчивость положительных периодических режимов системы, описываемой скалярным уравнением

НЕМИРОВСКИЙ Ю.В., ЯНКОВСКИЙ А.П. — 2004 г.

Сформулирована задача равнонапряженного армирования кирхгофовских пластин волокнами постоянного поперечного сечения при упругопластическом поперечном изгибе. Проведен качественный анализ системы разрешающих уравнений. Показана возможность существования нескольких альтернативных решений поставленной задачи, которыми можно управлять за счет перераспределения плотностей армирования. Получено аналитическое решение рассматриваемой задачи в случае цилиндрического изгиба прямоугольной удлиненной пластины. Проведены расчеты для бороалюминия, показывающие, что несущая способность равнонапряженно-армированных пластин при упругопластическом изгибе в несколько раз выше, чем при чистоупругом изгибе.

ТХАЙ В.Н. — 2004 г.

Изучаются локальные периодические движения обратимой системы в окрестности нулевого положения равновесия. В невырожденном случае каждой паре чисто мнимых корней ±λ j отвечает симметричное ляпуновское семейство L j, если нет резонанса λ j + pλ k = 0 (p ∈ N). Исследован сценарий исчезновения семейства L k при ε → 0 (ε - расстройка резонанса). Показано возникновение резонансных симметричных ляпуновских семейств LR a, получены конструктивные условия существования LR a как при ε = 0, так и при ε ≠ 0. При p = 1 обнаружено существование двух циклов; циклы симметричны друг другу относительно неподвижного множества обратимой системы и находятся каждый на расстояние O(√ε) от нуля. Для обратимой системы, записанной в стандартной для теории колебаний форме в переменных “амплитуда-угол”, установлена общая теорема о существовании симметричных периодических движений в негрубом случае; теорема является основной для изучения семейств LR a. относительно неподвижного множества M = {u, v : v = 0} обратимой системы, образуют (l - n + 1) - семейство и существуют, если: а) характеристическое уравнение линейного приближения имеет пару чисто мнимых корней, б) среди других корней нет корней, равных ±грю (р е N), в) rankB = n.

БЕРТЯЕВА Н.Д., ПЕНЬКОВ В.Б. — 2004 г.

Решена задача о растяжении упругой анизотропной плоскости с линейным включением по отрезку. Задача приведена к краевой задаче Римана на двух листах комплексной плоскости, склеенных по действительной оси. Выполнены расчеты для включения, расположенного наклонно к оси анизотропии.

ЗЕЛИКИН М.И. — 2004 г.

Изучена задача оптимального управления с разделенными условиями для концов. Предполагается, что для многообразия левых концов (а также для многообразия правых концов) существует поле экстремалей, включающее данную экстремаль. Доказывается критерий, дающий необходимые и достаточные условия оптимальности в терминах этих двух полей. Достаточным условием служит положительная определенность разности решений соответствующих матричных уравнений Риккати, необходимым условием - ее неотрицательность. Ключевую роль в доказательстве критерия играет формула, связывающая решение уравнения Риккати с гессианом функции Беллмана.

ЖУКОВА И.С., САИЧЕВ А.И. — 2004 г.

В рамках модели Крейчнана изучены характерные свойства локализации инерционной и плавучей примеси в турбулентной среде при разных соотношениях между дивергентной и вихревой частями поля скорости частиц примеси.

ДОЛГИХ Д.В., КИСЕЛЕВ В.В. — 2004 г.

Рассматривается задача о поперечных изгибах сильно нагруженного тонкого среднего слоя материала в трехслойной нелинейно-упругой среде. Для анализа двумерной динамики слоев развиваются специальные варианты теории возмущений. В результате их “сшивки" строится квазиодномерная модель, которая описывает эволюцию изгибов среднего слоя вблизи порога его неустойчивости. Устанавливается возможность формирования в трехслойной среде солитонов "поперечной гофрировки'', которые предшествуют неупругому формоизменению среднего слоя. Исследуются условия существования солитонов в зависимости от внешнего напряжения, толщины среднего слоя и материальных параметров среды.

ЛАЩЕНОВ В.К., НУЛЛЕР Б.М. — 2004 г.

Рассматривается стационарная динамическая задача о движении в упругой полосе x ∈ (-∞, +∞), у ∈ (-h, h) с дорелеевской скоростью с центральной полубесконечной трещины x ∈ (-∞, 0), у = 0. При x = -∞ заданы амплитуды распространяющихся волн (однородных решений). Вместе с задачей расщепления полосы решена в квадратурах родственная задача расслаивания двух полос x ∈ (-∞, +∞), у ∈ (-h, 0) и у ∈ (0, h), не склеенных, но плотно прилегающих одна к другой при x ≥ 0, у = 0. Найдены коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины. Исследованы случаи частичного перетекания энергии деформации по x из минус на плюс бесконечность в обход трещины. Сопоставлены незатухающие кусочнооднородные решения эластостатических и стационарных задач. В частности, показано, что не существует стационарных решений, переходящих при с → 0 в известные эластостатические решения задач, в которых к расщепленным частям при x = - ∞ приложены изгибающие моменты и перерезывающие силы.

ЛУКОЯНОВ Н.Ю. — 2004 г.

Для задач управления наследственными динамическими системами в условиях помех приведена конструкция построения стратегий управления при помощи экстремального прицеливания в направлении коинвариантных градиентов вспомогательных функционалов типа Ляпунова-Красовского. При достаточно общих предположениях доказано, что такие стратегии доставляют оптимальный гарантированный результат.

ДАВЫДОВА М.А., ЧАШЕЧКИН Ю.Д. — 2004 г.

Изучаются малые трехмерные движения слабовязкой стратифицированной жидкости, порождаемые вертикальными и крутильными колебаниями части поверхности бесконечного вертикального цилиндра с произвольным сечением. Для анализа структуры периодических движений используется асимптотический метод пограничных функций. Показано, что формируются два типа пограничных слоев, один из которых обладает свойствами стоксова пограничного слоя в однородной жидкости; другой, внутренний волновой пограничный слой является специфическим для неоднородных сред, его толщина зависит как от частоты волны, так и от частоты плавучести. При переходе к однородной жидкости вязкий и внутренний пограничные слои сливаются.

ГАЛКИН В.С., ЖАРОВ В.А. — 2004 г.

Дан обзор точных решений по следующим направлениям: локально-максвелловские решения, пространственно-однородная релаксация бинарной смеси газов (моментные решения и обобщение решения Бобылева-Крука-Ву), гомоэнергетические аффинные течения (класс точных решений Галкина-Трусделла), сферический разлет-слет (преобразование Никольского), доминантные решения, степенные решения. По второму и третьему направлениям получены новые результаты. Особое внимание уделено качественным свойствам решений, представляющим достаточно общий интерес. Под точным решением понимается решение в явном виде, т.е. через элементарные или трансцендентные функции, нелинейного кинетического уравнения Больцмана-Максвелла (функции распределения) или уравнений переноса Максвелла (моменты функций распределения). Последние называются также моментными решениями кинетического уравнения. В основном молекулы газа предполагаются максвелловскими, когда коэффициенты вязкости и теплопроводности линейно зависят от температуры.

ЕФИМОВА О.Ю., КУДРЯШОВ Н.А. — 2004 г.

С использованием подстановки Коула - Хопфа, которая, как известно, приводит уравнение Бюргерса к уравнению теплопроводности, получены точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли, которое встречается при описании многих нелинейных волновых явлений. Проанализированы типы точных решений в зависимости от значений параметров уравнения.

БРАТУСЬ А.С., ВОЛОСОВ К.А. — 2004 г.

Рассматривается задача управления колебаниями математического маятника. На суммарный ресурс управления наложено интегральное ограничение: абсолютная величина управляемой функции в произвольной неотрицательной степени (большей или равной единице) является суммируемой функцией на заданном временном интервале. Цель управления - минимизация заданной функции фазовых переменных к фиксированному моменту времени (задача Майера). Наряду с детерминированным случаем изучается стохастический случай, когда на систему воздействуют случайные возмущения в виде гауссовского белого шума. В этом случае требуется либо минимизировать математическое ожидание заданных функционалов, либо максимизировать вероятность попадания фазовой координаты в заданную область к фиксированному моменту времени. Известно [1, 2], что задача построения синтеза оптимального управления может быть сведена к решению задачи Коши в неограниченной области для соответствующего уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана. Доказано, что данная задача эквивалентна задаче Коши для линейного параболического уравнения. Найдены точные решения этой задачи для рассматриваемого класса задач оптимального управления. Отдельно рассмотрен случай импульсной коррекции, когда ограничена величина интеграла от абсолютной величины управляющей силы. Полученные результаты обобщаются на случай произвольного числа фазовых переменных, если интеграл от суммы квадратов величин управляющих сил - ограниченная величина.

АЛЕКСАНДРОВ В.М., ПОЖАРСКИЙ Д.А. — 2004 г.

Рассматриваются трехмерные контактные задачи для упругого слоя с шероховатой поверхностью при учете трения Кулона в заранее неизвестной области контакта. Принято, что деформация микровыступов упругой поверхности при контакте с жестким штампом происходит по нелинейному (например, степенному) закону [1, 2]. Решение задач сводится к исследованию нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, для которых доказывается существование и единственность решения, а также применимость метода последовательных приближений. Приводятся численные результаты, показывающие влияние шероховатости и сил трения на контактное давление, размер области контакта, связь между вдавливающей штамп силой и осадкой штампа.

ГОЛУБЕВ Ю.Ф., ДИТКОВСКИЙ А.Е. — 2004 г.

Рассматривается задача об управлении движением манипулятора, состоящего из упругой балки и полезной нагрузки, закрепленной на одном из ее концов. Рука манипулятора может вращаться в горизонтальной плоскости и перемещаться вдоль вертикальной направляющей. Предполагается, что на систему действует сила тяжести. Требуется перевести манипулятор из заданного начального положения в конечное без возбуждения колебаний. Учитываются упругие деформации растяжения и изгиба. Управление построено в виде рядов по степеням параметра, обратно пропорционального модулю Юнга. Выписаны рекуррентные формулы для всех коэффициентов разложения.

КОВАЛЕВА А.С. — 2004 г.

Строится ограниченное по норме локально оптимальное управление, минимизирующее уклонение частот и фаз нелинейной системы от резонансных значений при действии ограниченных возмущений. Показано, что управление не зависит от вида возмущения и структуры консервативной части системы. Как пример, построены частотное и фазовое управления вынужденными колебаниями системы двух слабо связанных осцилляторов.

КОВАЛЕВА А.С. — 2004 г.

Исследуются возможности слабого управления резонансными колебаниями нелинейной системы. Малые случайные возмущения приводят к отклонениям частот от резонанса. Цель управления - удержать частоту движения в малой окрестности резонансной поверхности. Показано, что малые уклонения частот от заданных значений можно описать как решение линеаризованной диффузионной системы. Это позволяет применить принцип динамического программирования для решения задачи управления. Строится ограниченное по норме управление, обеспечивающее максимальное среднее время пребывания системы в околорезонансной области. Показано, что управление не зависит от вида возмущения и структуры консервативной части системы. Рассмотрен пример управления частотой колебаний в системе связанных осцилляторов.

МАТЮХИН В.И. — 2004 г.

Развивается цикл исследований, связанных с проблемой управляемости нелинейных динамических систем. Рассматриваются системы, которые имеют механическую природу (колесные средства передвижения, транспортные и обрабатывающие системы, манипуляторы). Для механических систем общего класса, которые могут содержать неголономные связи, устанавливаются критерии управляемости; аналогичные критерии были установлены ранее для голономных систем [1-4]. Найденные условия управляемости имеют наглядный физический смысл. Например, для управляемости манипуляционного робота требуется, чтобы управляющие силы доминировали над иными обобщенными силами (силами веса, силами сопротивления внешней среды). Доминирование необходимо по амплитуде сил. Дополнительные условия связаны со свойствами наложенных на систему связей. По существу требуется, чтобы соотношения связей допускали возможность надлежащего изменения координат и скоростей механической системы в исследуемой области.