ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 2, 2014
УДК 533.72
© 2014 г. В. С. Галкин, С. В. Русаков
К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИСПЕРСИИ ЗВУКА В БИНАРНОЙ СМЕСИ ГАЗОВ
При помощи уравнений Барнетта рассмотрена задача о распространении звука в бинарной смеси многоатомных нерелаксирующих газов (для случая быстрых обменов внутренней и поступательной энергиями молекул). Получены асимптотические (при малых числах Кнудсена) выражения для коэффициентов поглощения и дисперсии, которые выражаются соответственно через навье—стоксовские и через навье—стоксовские и барнет-товские коэффициенты переноса. "Рабочие" выражения различного уровня точности для последних известны для случая бинарной смеси одноатомных газов. Для этого случая полученные ниже результаты сопоставляются с известными, указаны недостатки и погрешности предыдущих работ.
Теоретические и экспериментальные исследования распространения ультразвука в одноатомных газах имеют важное значение для анализа применимости и точности кинетического уравнения Больцмана и методов его решений [1—4] ввиду сравнительной простоты математической задачи, отсутствия твердых стенок (и связанных с этим неопределенностей с граничными условиями) и надежности обширных данных измерений коэффициентов поглощения и дисперсии звука.
При числе Кнудсена Кп = ют ~ 1 здесь необходимо применять линеаризованное уравнение Больцмана (га - частота звуковых колебаний, т - среднее время свободного пробега молекул). Асимптотически (Кп ^ 0) точное значение коэффициента поглощения определяется уравнениями Навье—Стокса, коэффициента дисперсии — уравнениями Барнетта. Последние впервые использовались именно для решения данной задачи [5, 6]. Систематические сравнения с экспериментальными данными для инертных газов показали, что результаты расчетов этих коэффициентов при помощи уравнений Барнетта близки к экспериментальным в более широком интервале значений числа Кнудсена, чем результаты расчетов при помощи уравнений Навье—Стокса [1, 2]. Тщательные сравнения доказали справедливость барнеттовской асимптотической формулы для коэффициента дисперсии [3].
Почти во всех статьях рассматривался случай простого газа. Система линеаризованных уравнений Больцмана для бинарной смеси одноатомных газов сводится [4] к системе интегральных уравнений для некоторых функций от скоростей частиц смеси, решение ищется в виде рядов по числу Кп < 1. Подчеркивается, что полученные соотношения для коэффициентов рядов совпадают с соотношениями, получаемыми линеаризацией результатов метода Чепмена—Энскога. Общее асимптотическое выражение для коэффициента дисперсии подробно расписано для максвелловских молекул, однако для других межмолекулярных потенциалов оно неудобно, так как не позволяет непосредственно использовать известные приближенные формулы для барнеттовских коэффициентов переноса. При такой процедуре нет нужды выписывать дисперсионное уравнение, следующее из уравнений Барнетта, хотя оно полезно для решения данной задачи при немалых числах Кнудсена [1, 2].
Указанные недостатки отсутствуют при применении системы уравнений Барнетта для бинарной смеси одноатомных газов [7], однако уже в исходном уравнении энергии не было учтено слагаемое основного порядка величины, перепутаны знаки и допущены другие ошибки в дисперсионном уравнении и т.д.
В данной статье постановка задачи [7] обобщена на случай бинарной смеси многоатомных газов, решения записаны в более наглядной и эффективной форме. Для бинарной смеси одноатомных газов представлены более общие "рабочие" выражения для используемых барнеттовских коэффициентов переноса на основе полученных ранее данных [8, 9], проведены сравнения с известными результатами [4, 7]. По возможности применяются ранее принятые обозначения [9].
Дисперсия звука в одноатомном газе обусловлена поступательной неравновесностью и принадлежит к классу эффектов при бесконечно малых числах Кнудсена Кп, для описания которых необходимо учитывать слагаемые барнеттовских соотношений переноса (см. обзор [10]). Близким примером является асимметрия профилей газодинамических переменных в слабой ударной волне [9]. Распространение колебаний в многоатомных газах при достаточно высоких температурах сопровождается, вообще говоря, неравновесным возбуждением внутренних степеней свободы молекул. Эта неравновесность (а не поступательная) может определять дисперсию звука при Кп ^ 1, газодинамическая система будет включать релаксационные уравнения [11].
Общая система уравнений баланса смеси многоатомных нерелаксирующих газов в отсутствие внешних сил имеет вид
N
р = пкТ = р ЯТ, (п, р) = ^ (пь р I), р I =
г=1
р
(1)
+ и = 0, В = А + и-V Бг Бг дг
Вс,
рВн +У'= 0 =р]ур ; =1'2'-'N-1
р — + Р = 0, Р = (р + П)1 + п Бг К '
(2)
(3)
(4)
\ВТ.
N
п(2квТ + еи)т + Р : Vu + V•jh + ^|]квТ + е1 (Т)
I 1=1
п V ь
п
р
N
-1 3квТ + е(Т)
I=112
= X Си1х1 = 0,
V • щ V = 0 * йТ '
е (Т) = сыТ
(5)
(6)
Здесь х1 - молярная концентрация, пг и Ш{ - числовая плотность и масса частицы i-го компонента смеси (г = 1,2,..., N, где N - число компонентов), п, р, р, Т, и - числовая и массовая плотности, давление, температура, среднемассовая скорость смеси газов, е1 (Т) - средняя внутренняя энергия молекул '-го сорта, су - теплоемкость из-за внутренних степеней свободы молекул при постоянном объеме, V - диффузионная скорость '-го компонента, Р — тензор давлений, I — единичный тензор, п — бездивергент-
N
I=1
ный тензор напряжений, h — приведенный тепловой поток, кв — постоянная Больц-мана.
Во второй формуле (4) величина П обусловлена возбуждением внутренних степеней свободы, в случае одноатомных газов она равна нулю. Уравнение энергии в данном случае удобно записывать в виде (5) [12] (в частности, при линеаризации сокращаются два слагаемых этого уравнения, содержащие энергии е(Т)).
Метод Чепмена—Энскога дает ряды I { = I® + 1(2) +... и т.д., где первое слагаемое дается приближением Навье—Стокса, второе содержит барнеттовские члены.
Рассмотрим задачу о распространении вынужденных плоских ультразвуковых колебаний с фиксированной частотой ш вдоль оси х > 0 в бинарной смеси газов (Ы = 2). Будем использовать обозначения
и = Ых, /1 = /1х, Т = П + Л хх, Н = Нх (7)
и равенства с1 + с2 = 1, /1 + /2 = 0. Точкой сверху обозначаем производную по времени, штрихом — производную по координате х.
Соотношения переноса запишутся в виде
/1 = /(1) + /(2), /(1) =-р ^12 1с1 + С1С2
р«р + т. От
р т_
, /(2) = р(4)и"
т = т(1> +т(2>, т(1> =-4 ц и; т(2) =р(1)р" + Р(2)Т" + рС3)с'1 (8)
Н = Н1 + Н(2), Н(1) = -X т + аат/(1), Н(2) = р(5)и"
Здесь и ниже используются обозначения
, 3Г , рр
ц = П + -Ц, кт = ххат, Р= 2 4 ш1ш2п
ар = п(ш2 -ш1), у = ат +ар, а = ар +-—1 ат Р У
(9)
В выражениях (8) и (9) п, С и X - коэффициенты динамической и объемной вязкости и теплопроводности бинарной смеси газов, Бю — коэффициент бинарной диффузии, кт — термодиффузионное отношение.
Решение задачи ищем в виде малых отклонений съ Ы, р, Г газодинамических переменных от их значений в покоящейся смеси газов
с1 = с10 + сь и = 0 + Ы, р = р0 + р, т = т0 + т (10)
Возмущения массовой плотности исключаем при помощи уравнения состояния (1) с учетом обозначений (9)
р0 т _ р0т0
тз р0
кв
1Ш1 Ш2,
ро р _ро т-ро^о ( - К2) п = тр _р°т р0 т0 р0 кБт0
Систему уравнений (2)—(5) при N = 2 с учетом соотношений (6)—(11) запишем в виде (нижний нулевой индекс опускаем)
1 ~ 1 £ р п
— р — 1 - — а а с + и = 0
Р Т р
С1 - В12 I с" + С1С2
а г.
1_ р
о(4)
+ и'" = 0 Р
ри + р - 4 ци" + в1)р'" + Р^Т"' + Р(3)СГ' = 0
(12)
рТ + ри' -ХТ -арв12 у у - 1т
, (ар , аг ^ С1 + С1С21 — р +-ТТ
\ р Т
+ (р(5) + аа рр(4))и"' = 0
При этом с учетом соотношений (6) имеем 3, кв
~кв + си =—в~л, 1 = 10 = сошг 2 у -1
Для смеси одноатомных газов отношение удельных теплоемкостей у = 5/3. Решение системы уравнений (12) для возмущений газодинамических переменных ищем в виде плоской волны
Р (г, х) = Рехр (гкх - тг), Р = (сь и, р, Г)
(13)
Здесь к - волновое число, ш - частота. Подставляя выражения (13), для амплитуд Р получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений
-га
р _ Т _Р
_ р Т р
а а р с1
к ^с1с2В12 \—р + — Т I + (к ^В12 _ ;'ш)с1 _ г к5 -— и = 0 I р Т ) р
гк(1 _ к2р(1))р _' к3ф(2)Т + в(3)с1) + (к24 ц _' ар) и = 0
+ гк й = 0
,-,з в
(4)
к х^уа рВ>12 р +
(14)
к\ _ г а—р--+ к2 р х-\х2 шаТВп
Т (у _ 1) Т 1 12
Т + к аруВ12с1 +
+ гк[р _ к2(Р(5) + а арР(4))]и = 0
Раскрывая определитель системы уравнений (14), получим дисперсионное уравнение
4 , 2 2 2 , . , 2 3
ю - к ю а + г к ю
^ V + УХ + Вп(У(р) + 7(0))
-1 к4ю а2 (х + В*)-
- к V {у ХВиУ(р) + 3ЧУХ + В12(7(р) + 7(0)}]| + к6а\вп +
г 4 2 У
+ к ю х Р
р р(1) + М (т р(2) +р(5)) + ста рв(4)" 1
Здесь выписаны только те слагаемые, которые определяют асимптотические значения коэффициентов поглощения и дисперсии. Введены обозначения
= /1211 + хх а°
У(р) = 1 + х1х2ар, У(и) = (у - 1)х1 х2у2, а2 = у1-
7 = ЧУ-1)
Х = РУк '
V = -
(16)
Символом a дается классическое выражение для скорости звука. Перепишем дисперсионное уравнение (15) в виде
4 , 2 2 2. , 2 3 , .,4 2, ;42,1,62Г1
ю - к ю а + I к ю А1 - Iк ю а А2 - к ю А3 + к а хА2 +.
= 0
и ищем решение для акустической моды в виде ряда по ш
2 3
к = а1ю +; а 2ю + а3ю +...
(17)
Для коэффициентов ап (п = 1,2,3) получаем формулы
«1 = а2 =-1з (А1 - А2), а3 = ^[-ЗА12 + 10АА2 - 7А° + 4 (гБп - А3)] (18)
а 2а 8а
При помощи формул (17) и (18) находим следующие выражения для поглощения звука и отношения а/ иу, где и у — фазовая скорость звука:
5 — ^ | аЩ =
ю )
—
А, - А
_
2а
2 — {4v + 3 (у -1) х + 3 х1 х2а2у^12}
6а
а г, I ак(®>)) , , 2 , , , (1) , (2К 2 I р
— = ке|—1 = 1 + аа3® = 1 + а(аэ + а3)ю , а = Л|у-
(19)
(20)
а31) =1
а
-3+ 45*А2 +-^(ХА2 - А3а))
.2 а 2а
а(2) -
а3 ---5 А3
2а
^ а32)
А2 - X + /121 1 + хх а2т ], А31) - УХ А2У(р) + 4^[УХ + Оп(У(р) + У(0))]
А32) --!
У
р в(1) + (г-и (т в(2) +Р(5)) + аа т в(4) У
(21)
В выражениях (19) и (20) использованы обозначения (9) и (16). Коэффициент А1 можно вычислить при помощи соотношения (19) для и третьей формулы (21).
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.