УДК [556.16+556.13].06,,45"
К методике прогноза двухмерных вероятностных распределений многолетнего стока и испарения
В. В. Коваленко*
Предложено многомерное обобщение уравнения Пирсона в виде дифференциального уравнения первого порядка в частных производных, решение которого методом характеристик предоставляет возможность прогнозирования двухмерных вероятностных распределений при известном климатическом сценарии.
Введение
В настоящее время гидрологическое обеспечение надежности проектируемых сооружений водозависимых отраслей экономики производится путем статистической обработки многолетних рядов наблюдений за речным стоком, построения кривых обеспеченности и определения по ним проектных расходов. Таким образом, предполагается, что за период эксплуатации проектируемого объекта (несколько десятилетий) статистический режим многолетнего стока в речном бассейне останется неизменным (на всякий случай для максимальных расходов 0,01%-ной обеспеченности требуется вводить 20%-ную гарантийную поправку [6]). Подобная методика исключает возможность эволюции кривых плотности распределений из-за изменения климата и факторов подстилающей поверхности водосборов (вырубка лесов, урбанизация территории и т. п.).
Этот недостаток устраняется путем перехода от использования только фактических рядов наблюдений за стоком к стохастическим моделям его формирования, имеющим определенный интерфейс, чтобы учесть возможные климатические и социальные сценарии в долговременной перспективе на несколько десятилетий [4].
Однако эта методика также (она описана в следующем разделе статьи в качестве прототипа) имеет недостатки, связанные с тем, что при ее ис-поль зо ва нии для дол гос роч но го про гно зи ро ва ния про гнос ти чес кие статистические моменты (особенно старшие) могут быть неустойчивыми (особенно в южных регионах). Неустойчивость указывает на ограниченность применимости модели. Цель статьи — разработать возможный выход из этого гносеологического тупика.
* Российский государственный гидрометеорологический университет: e-mail: kov_v_v@ mail.ru.
Прототипы методики
В основе прототипа лежит линейный формирующий фильтр (в итоге именно его линейность приводит к семейству вероятностных распределений Пирсона, см. [4]):
¿б = (-(с + ~ )б + N + Ы)сИ, (1)
где б — скользящие средние годовые расходы воды (модуль, слой); с = 1/кт = = с + ~; N = Х/т = N + N;к — коэффициент стока; т — время релаксации (инерции) речного бассейна; X — интенсивность осадков; с и N — математические ожидания; с и N — белые шумы с интенсивностью 0~, 0~~ и взаимной интенсивностью 0~~.
cN
Уравнение (1) статистически эквивалентно уравнению Фоккера — Планка — Колмогорова (ФПК), описывающему эволюцию плотности вероятности р(б) марковских случайных процессов:
= [А(б, г)р(б, г)] + 0,5^[в(б, г)р(б, г)], (2) дг дб д б
где коэффициенты сноса А(б, г) и диффузии В(б, г) определяются выраже-ни я ми
А(б, г) = -(с - 0,5С~ )б - 0,5% + N, (3)
В(б,г) = 0~б2 - 20~-~~б + 0~~. (4)
Уравнение (2) — параболического типа, и его диффузионный член будет со временем "распластывать" (причем строго детерминистически) кривую р(б). Если в какой-то момент времени будет произведено измерение расхода б0 в замыкающем створе (эта процедура, как и любые эмпирические действия, имеет вероятностную природу), то распределение превращается почти в дельта-функцию 5(б - б0) (конечно, из-за погрешностей измерений это "колокольчик"). Дальнейший процесс эволюции (изменения) кривой плотности вероятности начинается именно с этого эмпирического распределения: снова идет его размывание (а также смещение из-за коэффициента сноса).
При долгосрочном прогнозе (несколько десятилетий) вероятностных характеристик речного стока (рассматривается годовой сток, максимальный весеннего половодья и дождевых паводков, минимальный летне-осенний и зимний) проводить с помощью измерений подобную редукцию распределений р(б) нет возможности. Поэтому такой прогноз через определенное число шагов интегрирования потеряет практический смысл: кривая р(б) "распластается" по оси расходов в бесконечных пределах с очень мало выраженной модой, оценить статистическую значимость которой с каждым шагом численного интегрирования все труднее.
Так как в инженерной гидрологии оперируют моментами плотности р(б), то аппроксимируем уравнение (2) системой дифференциальных уравнений для начальных моментов т^ (г = 1, 4) [3]:
йшх/йг = -(с - 0,5вг)щ + N -йт2/Л = -2(с - 0,5С~)т2 + 2- т1 + йт3/Л = -3(с - 1,5С-)т3 + 3№т2 - 7,5С~-т2 + т; йш4/й? = -4(с - 2С~)ш4 + 4№т3 - 4 • 3,5&~~т3 + ~т2•
(5)
Время инерции тб большинства речных бассейнов (по крайней мере, в пределах горизонтального участка редукционных кривых) — год. Обширный эмпирический материал [1,5] дает достаточно надежные статистические оценки для коэффициентов автокорреляции годового стока (в среднем 0,20 для Северного полушария), для других видов многолетнего стока (максимального и минимального) время инерции не больше, чем для годового.
Таким образом, бассейны в течение года релаксируют (переходят) к равновесному состоянию, определяемому внешними воздействиями на водосбор. А последние характеризуются эволюцией климатической системы, время релаксации которой ткл на несколько порядков превосходит таковое для бассейнов (ткл >> тб). На рис. 1 приведена реакция (решение системы (5)) первых начальных моментов распределения р(О) на ступенчатое изменение осадков. На этом рисунке видно существование точечного аттрактора, т. е. устойчивого решения, что обеспечивает существование статистически стационарного распределения из класса кривых Пирсона. Переходный (неустановившийся) режим бассейна — экспоненциальное подстраи-вание (это следует из линейности системы (5)) под внешнее воздействие с характерным временем (радиусом корреляции), равным примерно одному году.
Эти данные указывают на то, что оценку долгосрочных изме не ний ве роятнос тных характеристик многолетнего стока можно проводить по квазистационарной методике: в уравнении ФПК принять дp/дt = 0 (в системе (5) — йт^/Л = 0), но вводить пе ри оди чес ки в оставшуюся алгебраическую часть модели сценарную климатическую информацию, получая временное (но ступенчатое) изменение расчетных гидрологических характеристик. В этом случае моделью для долгосрочных оценок изменения кривой плотности вероятности служит уравнение Пирсона:
Рис. 1. Стремление к аттрактору трехмерной проекции решения системы эволюционных уравнений для начальных моментов (5), аппроксимирующей уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова.
а) / 40° в. д. б) 40° в. д.
7° / / , 60 70 60
50°
С. ш.
0 0,67 1,0 1,8 2,0
Рис. 2. Распределение зон неустойчивости по стоку (а) и испарению (б).
dQ b0 + bQ + b2Q2 Р'
dp _ Q - a
(6)
где
2c + G~
-G~
c
c
Так как в данном случае уравнение Пирсона рассматриваем с точки зрения генетической модели формирования вероятностного распределения (уравнения ФПК), то коэффициенты a, b0, bi и b2 приобретают очевидный физико-гидрологический смысл, что и создает возможность для введения в модель характеристик климатических сценариев и подстилающей поверх-нос ти водос бо ров.
Двадцатилетний опыт применения данной методики выявил и слабые ее места. При больших значениях относительной интенсивности мультипликативного шума (ß = G./c) возникает неустойчивость решений системы (5): при ß > 0,67 — по третьему моменту, при ß > 1 — по второму. Была разработана методика (см. [3]), позволяющая сравнительно легко вычислять и картировать значение ß. На рис. 2а представлено распределение этого параметра по европейской территории России. Именно эта карта и является визуализацией стимула появления данной статьи.
Это тупик гносеологического характера: дело в том, что статистический режим многолетнего стока не соответствует (в южных регионах) классической модели Пирсона, приводящей к общепринятым в инженерной гидрологии распределениям Пирсона типа III и ее модификации, сделанной С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем.
Неустойчивость указывает иа необходимость привлекать наряду с расходом дополнительные фазовые переменные для надежного моделирования и прогнозирования статистического режима стока, т. е. переходить к многомерному уравнению ФПК (см. [2—4]):
Предлагаемая методика
ф(Х, г)/дг = -У[А(х, г)р(Х, г)] + 0,5Бр^'в(X, г)р(Х, г)], (7) где х — вектор, характеризующий фазовые переменные исходной системы динамических моделей; V = ||сШх||; штрих и Бр означают операции транспонирования и взятия следа соответственно.
Ранее было показано [2], что в случае годового многолетнего стока часто достаточно привлечь еще одну фазовую переменную в виде испарения, т. е. использовать двухмерный аналог уравнения (7):
д_р = _ £ а(А,р) | 1 ^ 5 2(в,р)^ (8)
дг I = 1 дx¿ 2,-, ] = 1 дхдхл
где х1 = Q, х2 = Е. Коэффициенты сноса А1 и диффузии Ву определяются формулами
AQ = - 0,50~й )(Q + Е) - 0,5^ ~ + N;
АЕ = - (Се - 0,50~ т + Е) - 0,50~~ + N;
BQ = 0~ Q2 - 20~ ~ Q + О~ ;
Q cQN^ NQ '
Ве = 0~ Е2 - 20~ ~ Е + О ~
Е СЕ NE
(предполагается, что для испарения так же, как и для расхода, справедлив ли ней ный фор ми ру ющий фильтр (1), в свя зи с чем ис поль зо ва ны со от ве т-ствующие обозначения).
Покажем, что в случае расширения фазового пространства (т. е. перехода к распределению р^, Е)) шансы на устойчивость увеличиваются. Для устойчивости необходимо выполнение неравенства А = ЪдА1 /д^. < 0. В двухмерном случае, исходя из уравнения (8) и поясняющих к нему формул для коэффициентов сноса, имеем
ё1уА = - С - 0,50~й) - (Се - 0,50~ ) = (1 - 0,5РQ) - СЕ (1 - 0,5рЕ ). (9)
На рис. 2 видно, что имеет место зеркальность зон неустойчивости, т. е. чем больше PQ, тем меньше рЕ. В любом случае каждая из переменных стабилизирует другую, причем тем в большей степени, чем неустой-чи вее по след няя (под роб нее см. [2]).
Модель ФПК (7) является уравнением неразрывности
др(Х, г)/дг = - (X, г) (10)
потока вероятности (в физике слово "поток" является синонимом гидрологического термина "расход" — воды или вообще какой-либо субстанции)
П(Х, г) = А(Х, г) р(Х, г) - 0,5сНуВ(X, г)р(Х, г).
Для стационарных распреде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.