КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 5, с. 412-418
УДК 531.38; 62-50
К НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХОСНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ТРЕХРОТОРНОГО ГИРОСТАТА ПРИ ИГРОВОЙ МОДЕЛИ ПОМЕХ © 2013 г. В. И. Воротников, Ю. Г. Мартышенко
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург Поступила в редакцию 04.05.2012 г.
Решается нелинейная игровая задача трехосной переориентации асимметричного твердого тела посредством трех маховиков (роторов). Указана оценка допустимых уровней неконтролируемых помех в зависимости от заданных ограничений на управляющие моменты.
Б01: 10.7868/80023420613050105
ВВЕДЕНИЕ
Исследования динамики космических аппаратов, несущих вращающиеся массы (маховики, ги-родины), показали [1—4], что применение роторов существенно расширяет семейство возможных стационарных движений системы и область их устойчивости, а также позволяет в некоторой степени скомпенсировать дестабилизирующее влияние упругих элементов. Использование роторов также имеет ряд преимуществ при управлении вращательным движением космических аппаратов [5, 6].
В данной статье рассматривается задача переориентации космического аппарата посредством трех двигателей-маховиков [5—9]. В процессе переориентации учитываются внешние неконтролируемые помехи, статистическое описание которых отсутствует.
Приложенные к маховикам управляющие моменты предлагается формировать по обратной связи как нелинейные функции фазовых переменных рассматриваемой конфликтно-управляемой системы, включающей динамические уравнения Эйлера и кинематические уравнения в переменных Родрига—Гамильтона. В результате решение исходной нелинейной игровой задачи управления удается свести к решению простейших линейных игровых задач, а переориентация достигается одним пространственным разворотом без дополнительных ограничений на характер результирующего движения. Найдена оценка допустимых уровней помех в зависимости от ограничений на управляющие моменты.
Полученные результаты являются развитием результатов работ [10, 11], где управление осуществляется посредством моментов внешних сил. Отметим, что при отсутствии помех в данном случае предложенный подход позволяет получить
[12, 13] субоптимальные по быстродействию законы управления переориентацией.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть имеем асимметричное твердое тело, вдоль главных центральных осей инерции которого закреплены оси вращения однородных симметричных маховиков. Вращательное движение этой системы (гиростата) вокруг центра масс описывается дифференциальными уравнениями [7]
( -11 )х1 = = (А2 - Аз)Х2Х3 + /2Х3Ф2 - 13Х2ФЗ - «1 + V!,
(2 - 12)х2 = (11)
= (А3 - А1 )х1х3 + /3х1ф3 - /1х3ф1 - и2 + у2,
(А, - /2 )х3 =
= (А1 - А2 )хх + /1х2ф1 - 12х1ф2 - «3 + ^3,
(ф" + х') = «,
в которых А, — главные центральные моменты инерции гиростата; х, — проекции вектора угловой скорости основного тела на главные центральные оси к, эллипсоида инерции гиростата;
ф,- — осевые моменты инерции и углы поворота маховиков (роторов), оси вращения которых неподвижно закреплены вдоль осей к,-. Управляющие моменты и, (моменты внутренних сил) приложены к маховикам и создаются специальными двигателями. Моменты характеризуют внешние силы и внешние неконтролируемые возмущения, действующие на основное тело.
Обозначим х, и, V, ф' — векторы, состоящие соответственно из х, и, V, ф'-. Здесь и далее I меняется от 1 до 3.
Наряду с уравнениями (1.1) рассмотрим определяющие ориентацию твердого тела кинематические уравнения в переменных Родрига—Гамильтона [14]
2П = ПЛ + П2Х3 - П3*2, 2п2 = П4 Х + ПзХ - П1Х3, (1.2)
2п3 = П4Х + П1Х2 - П2Х1, П + п2 + П + п4 = 1.
Обозначим п вектор, состоящий из п и п4 (в указанном порядке). Управляющие моменты и = = и(х, п, ф') ищутся по принципу обратной связи в классе К разрывных по х, п функций. Реализации и[(] являются измеримыми функциями, удовлетворяющими заданным ограничениям
\и\ < а1 = еош1 > 0.
(1.3)
IV-! < р;- = еош1 > 0.
(1.4)
Для любой допустимой реализации помех V 1 [(] решения системы (1.1), (1.2) при и I е К понимаются в смысле А.Ф. Филиппова [15]: как абсолютно непрерывные функции х[?], пМ, удовлетворяющие при почти всех ? соответствующей системе дифференциальных включений.
Задача (трехосной переориентации). Требуется найти приложенные к маховикам управляющие моменты и е К, при любых допустимых V е К1 переводящие твердое тело за конечное время из произвольного начального положения п(^0) = по в заданное п(^) = п1. Оба состояния являются состояниями покоя х(^) = х(^) = 0. Кроме того, ф'(?0) = 0. Момент времени > ?0 не фиксируется.
Не нарушая общности, считаем п(?1) = (0, 0, 0, 1). В данном случае в процессе переориентации происходит совмещение связанной с телом и заданной систем координат.
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМАЯ СИСТЕМА
Рассмотрим нелинейные управляющие моменты вида (выписано только выражение для и1;
выражения для и2 и и3 получаются из и1 циклической перестановкой индексов 1 ^ 2 ^ 3)
_ 2(Д - /1)
и _-
П4
* / 2 , 2\ и1 ( + П)
+ и** (П1П2 + ПзП) + и* (Пз - П2П4)
+ 1/4 П1 (Х12 + Х22 + Х32)] +
+ (А2 Х2 + /2ф2 ) Хз - (Аз Хз + /зф3 ) Х2
(1 ^ 2 ^ з),
(2.1)
в которых щ — некоторые вспомогательные управления, которыми распорядимся позже.
Управляющие моменты (2.1) позволяют выделить из замкнутой нелинейной конфликтно -управляемой системы (1.1), (1.2), (2.1) линейную конфликтно-управляемую систему дифференциальных уравнений
„ * * П = Щ + V.
(2.2)
Помехи V е К1 могут реализовываться в виде
любых измеримых функций V = V 1 [?] в рамках ограничений
"Помехи" V* в системе (2.2) имеют вид
V* = 1/2 [^1/(А - /1) +
+ ^з/(Аз - /з) - nзv2/(А2 - /2)]
(1 ^ 2 ^ з).
Уровни V* можно оценить, используя неравенство Коши—Буняковского и неравенства (1.4)
V* < в*, (2.3)
в* = 1/2 [(Р1Д4 - /1))2 + (Рз/(Аз - /з))2 +
^/2
(в2(А2 - /2))2]' .
Для системы (2.2) решим задачу управления о быстрейшем приведении в положение
П = П- = 0. (2.4)
Управление осуществляется посредством и*
при любых допустимых реализациях V*, удовлетворяющих неравенствам (2.3). Для решения данной игровой задачи управления допустимые
уровни и* должны быть выше уровней V*. Соответствующие ограничения примем в виде
* * *
щ < а1,
<р* = р,а*, 0 <р;-< 1.
(2.5)
Процедура назначения уровней а* рассматривается ниже. Здесь считаем их заданными, так что выполняются условия (2.5).
Решение указанной линейной игровой задачи для системы (2.2) использует решение задачи оптимального быстродействия для системы [16]
П' = (1 -р, )и*. (2.6)
Краевые условия те же, что и для системы (2.2).
Решение задачи оптимального быстродействия для систем типа (2.6) имеет вид [17]
|П', П,1 =1
а* 81 §п (п, п'), ¥рР * 0 а* 81 gnп = -а* 81 gnп'-, = 0
, (2.7)
П
— функ-
и* (п^ п') =
а* 81 gn ур (п,-, п'), УР ф 0, , = 0.
*
-а,, а,
3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХОСНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ
Решая уравнения системы (1.2) как алгебраические относительно х, получаем равенства
х1 = —
П4
п1 (( + п4) + П2(П1П2 + П3П4) +
+ П3(П1П3 - П2П4)
(3.1)
где ^Р(п,П) = -П, - [2(1 - Р,)а*]-Ч ции переключений.
При V* Ф —риг движения системы (2.2), (2.7) на фазовых плоскостях переменных п,, п' будут сначала происходить (до достижения кривых переключений) между дуг парабол, являющихся
траекториями систем п'' = (1 ± Р,)и* при и* вида (2.7). Далее, попав на кривые переключений
¥р (п,, П) = 0, движения будут происходить вдоль них в скользящем режиме до достижения требуемых конечных значений п, = П, = 0.
Указанные движения системы дифференциальных уравнений (2.2), (2.7) с разрывной правой частью трактуем как решения в смысле А.Ф. Филиппова: как абсолютно непрерывные функции, удовлетворяющие почти всюду соответствующим дифференциальным включениям
П" 6 ^ = и* + V*,
На участках решений, соответствующим скользящим режимам, вспомогательные управления и* принимают значения ±а* с бесконечно частыми сменами знака. Величина
т = тах (т,), т, = 2{|пю|(1 — рг)а*]-1}1/2 (2.8) определяет минимальное гарантированное время т достижения положения п, = п' = 0 во вспомогательной линейной игровой задаче.
Отметим, что те подсистемы системы (2.2), которые придут в требуемое положение раньше, чем последняя из них, будут оставаться в этом положении. При этом соответствующее управление и* в этих подсистемах будут парировать "помехи" V*.
(1 ^ 2 ^ 3).
Поэтому решение рассмотренной линейной игровой задачи о быстрейшем приведении в положение п = п' = 0 означает решение исходной нелинейной задачи переориентации посредством управляющих моментов (2.1). Число т определяет гарантированное время переориентации.
Итерационный алгоритм решения поставленной нелинейной задачи переориентации включает этапы.
1. Выбор конструкции (2.1) управляющих моментов иI с и* вида (2.7). В случае п(^) ^ (0, 0, 0, 1) достаточно перейти к управляющим моментам, получающимся из (2.1) перестановкой индексов.
2. Оценка уровня в* "вспомогательных помех" V* по формулам (2.3).
3. "Назначение" уровней а* вспомогательных
управлений и*. При этом числа а*, в* предопределяют соответствующее значение т = — ^ гарантированного времени переориентации твердого тела.
4. Проверка выполнимости заданных ограничений (1.3) для управляющих моментов и. При учете равенств (3.1) эту проверку можно осуществить на множестве возможных состояний вспомогательной линейной системы дифференциальных уравнений (2.2), (2.7), а также линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений для определения ф'.
Если оценки (1.3) не выполняются, или наоборот, есть "резерв" в их выполнении, необходимо
*
продолжить поиск подходящих чисел а*. В противном случае переориентация осуществляется за время т.
Система дифференциальных уравнений для
определения ф' получается после подстановки первых трех уравнений системы (1.1), в которых и, заменяются соотношениями (2.1), в оставшиеся три уравнения системы (1.1). Коэффициенты в указанной линейной неоднородной системе дифференциальных уравнений зависят от х, п, свободные члены от х, п и V, и могут быть оценены
на множестве возможных состоянии вспомогательной линейной системы (2.2), (2.7).
Учитывая, однако, структур
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.