К применению гиперболического закона теплопроводности в исследованиях фазовых процессов в льдосодержащих горных породах
С.Г. Геворкян, А.А. Попова
ПНИИС, Москва
Статья поступила в редакцию 17 мая 2005 г. Представлена членом редколлегии М.М. Корейшей
Для описания фазовых превращений в льдосодержащих породах предлагается использовать уравнения обобщенного закона теплопроводности, в котором учтена конечная скорость распространения тепла в среде.
Введение
В общем случае решение задачи Стефана [9] сводится к определению температурных полей (т.е. к решению уравнения теплопроводности) в двух и более областях, в которых вещество находится в различных агрегатных состояниях (твердом, жидком, газообразном), и удовлетворению начальных и граничных условий, в том числе и на подвижной фазовой границе (границах). Закон движения этой границы, где происходит поглощение или выделение тепла, причем теплофизические свойства фаз по обе ее стороны могут быть разными, необходимо установить в ходе решения названной задачи [4—7].
Параболическое уравнение теплопроводности, входящее в систему определяющих соотношений классической задачи Стефана, следует из гипотезы Био-Фурье о прямой пропорциональности теплового потока градиенту температуры. Эту гипотезу подтверждают результаты расчетов температурных полей в различных телах в обычных условиях [5, 6]. Однако в общем случае гипотеза Био-Фурье не согласуется с общепринятыми физическими представлениями, поскольку из нее следует, что скорость распространения тепла — бесконечно большая величина [6].
Гиперболический закон теплопроводности
В 1958 г. П. Вернотт [10] показал, что при высокоинтенсивных нестационарных процессах теплообмена тепло распространяется, хотя и с очень большой, но все же конечной скоростью V/. Ее величина определяется соотношением:
V/ =
X
фТо
(1)
полимеров со сложной структурой — 10-5 с. Величина V/ для стали равна 1800 м/с, для алюминия 2930 м/с и для азота 150 м/с [1, 6].
Эффект конечности скорости распространения тепла оказывается существенным не только для быстротечных процессов (например, взрывов), но и для более «медленных». Он может проявляться и при очень низких температурах (так, для жидкого гелия при Т=1,4К Vq=19 м/с [2]) и даже при обычных температурах в твердых телах, когда имеет место нестационарный процесс теплопереноса за малый промежуток времени (например, в тонких пленках [1]). Этот эффект также присущ дисперсным системам, зернистым материалам и капиллярно-пористым средам. В частности, гипотеза о конечной скорости распространения тепла в таких средах была предложена независимо от П. Вернотта А.В. Лыковым [6].
Новый закон теплопроводности, в котором учтена конечная величина скорости распространения тепла в материальных средах, получил название обобщенного закона Био-Фурье [6] и имеет следующий вид [6]:
Ц = -X ■ gradT - Т0 — , дт
(2)
где ц — вектор теплового потока.
Обобщенное уравнение теплопроводности, вытекающее из этого закона, таково [6]:
дТ X д2Т
ф-
дт V/ дт2
■ = ХДТ ,
(3)
где с — удельная теплоемкость, X — коэффициент теплопроводности, р — плотность среды, Т0 — постоянная времени, или параметр релаксации [6, 10]. Сначала константу Т0 отождествляли с максвелловским временем релаксации, однако впоследствии было показано, что при такой трактовке резко сужается область применения новой теории [2]. Значение Т0 для металлов составляет 10-11 с, для азота 10-9 с, для аморфных тел, подобных неорганическим стеклам, 10-7 с и для
где Д — оператор Лапласа. При малой теплопроводности X или очень большой скорости распространения тепла V/ уравнение (3) сводится к традиционному параболическому уравнению теплопроводности, а при малых значениях теплоемкости с и плотности р, или больших X — к волновому уравнению гиперболического типа. По этой причине обобщенное уравнение (3) называют также гиперболическим уравнением теплопроводности. Термодинамическая допустимость указанного уравнения (т.е. его соответствие второму принципу термодинамики) доказана в работах А.В. Лыкова и его учеников [6 и др.].
В [1] справедливо замечено, что решения гиперболического уравнения теплопроводности отличаются от решений параболического уравнения аналогично тому, как решения специальной теории относительности, для которых существует предельная скорость распространения возмущений, отличаются от решений классической ньютоновской механики, для которых не существует такой предельной скорости.
При достаточно больших значениях времени т решения и параболического и гиперболического уравнений теплопроводности совпадают, но в начальный момент времени они различны: решение гиперболической задачи теплопроводности имеет волновой характер, в то время как решение параболической задачи — ярко выраженный апериодический характер [2, 8]. Поэтому для более точного описания температурного поля на ранних стадиях развития процесса переноса тепла следует использовать гиперболическое уравнение теплопроводности [2].
Если уравнение (3) «обезразмерить», то можно убедиться, что для начальной стадии процесса агрегатных изменений вещества, когда характерные время и линейный размер процесса очень малы, оно не сводится к традиционному уравнению теплопроводности. Сказанное, в частности, означает, что при исследованиях агрегатных изменений вещества на этой стадии (и льдосодержащих пород в том числе) решение классической («параболической») задачи Стефана оказывается неприемлемым.
Более того, из решения одномерной параболической задачи Стефана, согласно которому положение фазовой границы % определяется соотношением
% = pVT , в - const , а скорость ее передвижения % — выражением
в
2/T'
в
2
2.1 + в2 T
4V2
ния параболической задачи в виде (4), (5) невозможны без знания материальных констант — скорости распространения тепла в среде Уу и связанного с ней параметра релаксации т0. Между тем экспериментальное определение этих характеристик связано с большими трудностями [6]. Так, зная распределение температурного поля в теле и закон изменения потока тепла на границе этого тела, можно по уравнению обобщенного закона Био-Фурье (2) определить параметр релаксации т0, и тем самым, с помощью формулы (1) скорость Уу [2]. Для мерзлых грунтов расчеты указанным способом величин То и V — дело весьма сложное. Заметим также, что до настоящего времени значения то и Уу для мерзлых пород не установлены.
Определение материальных констант V и т0
Чтобы определить для мерзлых грунтов материальную константу Уу, воспользуемся решением одномерной гиперболической задачи Стефана [1]. Согласно этому решению, при оттаивании массива мерзлого грунта положение фазовой границы должно описываться следующим выражением:
%(т) =
1
— + h
2V,
1
в2
exp
T
T0
-1
(7)
(4)
(5)
следует физически нереальная бесконечно большая величина скорости фазовой границы при т^0. Это также подтверждает неприемлемость решения параболической задачи Стефана для описания начальной стадии процесса агрегатных превращений вещества.
Как показано в работе М.Я. Бровмана [1], положение и скорость фазовой границы в одномерной параболической задаче Стефана должны описываться следующими соотношениями:
где к — предельное значение % при т^0. В данном случае величину к принимаем равной максимальной глубине сезонного оттаивания исследуемого массива грунта.
Как уже было отмечено, при весьма малых, но отличных от нуля значениях времени т, решения гиперболической и параболической задач Стефана различаются. Но эти различия относятся к характеру распространения тепла [8]. Положение же фазовой границы в обоих вариантах, как это следует из физических соображений, должно определяться одним и тем же значением. Поэтому при весьма малых значениях времени т, т<ткр, должно выполняться равенство, которое получаем, приравнивая друг другу выражения (4) и (7), и принимая при этом во внимание соотношение (1):
4-1-1
вл/Г =
2V,
в
2
exp
Vq Смрск T ^ м
(8)
(6)
Здесь удельную теплоемкость см, коэффициент теплопроводности Хм и плотность скелета мерзлого грунта рск определяют по данным лабораторных исследований, а величину в — либо по формулам, предложенным в [3], либо из выражения:
в =
hm
Согласно выражению (6), при т0 скорость фазовой границы %' стремится к конечной величине, равной Уу.
Понятно, что не только приложение существующих решений гиперболической задачи Стефана к расчетам температурных полей в льдосодержащих породах, но даже использование уточненного реше-
VTm
где кт — глубина, тт — продолжительность сезонного оттаивания, определяемые экспериментально (по данным полевых наблюдений). Принимая, согласно [1], в уравнении (8) т=ткр=10-8 час, решаем его относительно Уу. Результаты расчетов Уу, а также То для мерзлых песка, супеси, суглинка приведены в табл. 1.
+
Таблица 1
Расчетные значения скорости распространения тепла Уд и параметра релаксации т0
*
для разных мерзлых пород при разных температурах
Рек, 3 г/см3 We, доли единицы Vq, м/с 70 = -1°С V с 70 = Vq, м/с -2°С Т0 , с
мерзлый песок, WH =0
1,8 0,12 1126,1 1,18 -10-05 1045,1 1,37 10-05
1,6 0,15 1226,7 8,72 -10-06 1104,5 1,08 10-05
2 0,15 1397,5 6,14 -10-06 1211,6 8,17 10-06
1,8 0,2 1110,4 1,24 -10-05 1123,6 1,21 10-05
1,6 0,25 1156,5 1,13 -10-05 1169,3 1,10 10-05
1,4 0,25 1177,7 9,80 -10-06 1190,3 9,59 10-06
мерзлая супесь, WH =0,06
1,4 0,25 1090,9 8,95 -10-06 984,2 1,10 10-05
1,4 0,25 1045,8 9,70 -10-06 944,6 1,19 10-05
1,4 0,3 1106,4 8,77 -10-06 995,3 1,08 10-05
1,6 0,3 1110,4 8,41 -10-06 999,8 1,04 10-05
1,6 0,35 1039,1 9,53 -10-06 1046,4 9,39 10-06
1,2 0,4 1047,5 1,07 -10-05 1055,2 1,06 10-05
мерзлый суглинок, WH =0,13
1,4 0,25 903,0 1,17 -10-05 913,0 1,15 10-05
1,6 0,25 887,9 1,18 -10-05 897,7 1,16 10-05
1,4 0,3 935,9 1,07 -10-05 944,8 1,05 10-05
1,6 0,3 924,4 1,11 -10-05 933,2 1,09 10-05
1,4 0,35 961,39 1,01 -10-05 969,6 9,91 10-06
1,2 0,4 1020,6 1,06 -10-05 1029,2 1,04 s-10-05
*рск, И, Ин — соответственно плотность скелета, суммарная влажность и содержание незамерзшей воды в мерзлом грунте.
Как следует из этой таблицы, найденные для мерзлых г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.