ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 3, с. 319-327
УДК 664.1.004.12:532.7
К РАСЧЕТУ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЦЕССА КОАГУЛЯЦИИ ТОНКОЙ ВЗВЕСИ В ПОТОКЕ
© 2007 г. Е. В. Семенов, А. И. Бурыкин*
Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова, Москва *Московский государственный университет прикладной биотехнологии
fondprod@fondprod.ru Поступила в редакцию 17.08. 2005 г. после доработки 27.12.2006.
Исследовано изменение гранулометрического состава взвешенных в потоке газа весьма мелких частиц в допущении, что эволюция дисперсности порошка обусловлена явлением коагуляции частиц. Предполагается, что рассматриваемая смесь находится в квазиравновесных условиях, а объемная концентрация твердой фазы невысока.
С целью количественного анализа поставленной задачи дополнительно предполагается, что частицы имеют форму, малоотличающуюся от сферической; из-за относительно высокой скорости потока траектории частиц примерно прямолинейны; влияние силы тяжести невелико; изменение размеров частиц и их агрегатов из-за испарения влаги с их поверхности незначительно. Считается, что происходят лишь парные столкновения частиц; влияние посторонних частиц на процессы сближения, столкновения, слипания (слияния) двух частиц незначительно; характерное время сближения и слипания частиц существенно меньше характерного времени изменения спектра масс дисперсной системы. Кроме того, имеются силы случайного характера, перемешивающие дисперсную систему таким образом, что поведение частиц между актами коагуляции является статистически независимым.
В данной постановке выполнено значительное число работ по течениям двухфазной смеси газ-полидисперсные капли в условиях коагуляции соударяющихся частиц [1-4]. При анализе проблемы коагулирования (и дробления) частиц исходят из концепции совместного движения взаимодействующих фаз смеси на основе замкнутой системы кинетических уравнений в форме уравнений сохранения импульса, массы и баланса по количеству коагулирующих частиц. При этом, как обычно, приходят к весьма сложным по искомым величинам дифференциальным и интегро-дифференци-альным связям в дискретной или непрерывной формах, анализ которых осуществляется в численном виде.
С целью получить аналитические зависимости для расчета результатов коагулирования взвешенных в газовой среде частиц проведем упрощение исходной физической модели задачи. Для чего, как часто поступают при анализе явлений мас-
сопереноса, предварительно будем порознь рассматривать внутреннюю и внешнюю задачи гидродинамики. А именно, с учетом принятых допущений по концентрации взвеси сначала определяли гидродинамические характеристики однородного потока, т.е. решили внутреннюю задачу гидродинамики. Затем перейдем к решению внешней задачи: по рассчитанному полю скоростей потока определим собственно кинематические характеристики движения частиц. При таком подходе эволюция гранулометрического состава порошка (характеризуемого, например, счетной плотностью распределения) в несущем потоке может быть описана в рамках соотношения, выражающего баланс числа коагулирующих частиц. После чего, на основе данного соотношения может быть проанализирована эволюция дисперсионных характеристик взвеси в исследуемом объеме.
АНАЛИЗ КИНЕМАТИКИ ЧАСТИЦ
В предположении, что взвешенные в потоке частицы искажают течение газа незначительно, считали, что поток движется с постоянной скоростью и0 в горизонтальном направлении х (рис. 1). В таком случае для определения кинематических характеристик движения частицы целесообразно использовать подвижную инерциальную систему отсчета х', связанную с 1 зависимостью: 1 = X + и^.
При реальных для исследуемой задачи значениях числа Рейнольдса в качестве закона сопротивления движению частицы можно принять квадратическую зависимость сопротивления от относительной скорости частицы [5]. Тогда в инерциальной системе отсчета X кинетическое уравнение движения частицы имеет вид:
mdw|dt = и0 > V, (1)
Рис. 1. Схема движения частицы в потоке газа.
где т = 4 прЯ3/3 - масса частицы, £ = пЯ2 - площадь миделевого (поперечного к направлению потока) сечения частицы.
Преобразуя уравнение (1), получим
dw/dt = у^2, (2)
где
у = Ю1/Я, Ю1 = 3^рх/(8р), (3)
и, согласуя общее решение уравнения (2) с начальным условием
х' = 0, ^ = w0, при t = 0, (4)
где w0 < 0, получим решение задачи (2), (4):
х' = —1п(1 - ^0)/у, w = w0/(1 - у^0),
или, возвращаясь к величинам в абсолютной системе отсчета,
х, м
Рис. 2. Зависимость координаты частицы радиусом 1 мкм (кривая 1) и радиусом 10 мкм (кривая 2) от времени.
х = Uot - 1п[1 + у^щ - ^))]/у, (5)
V = щ - (Щ - ^>)/[1 + УКщ - V))]. (6)
Исходя из того, что в реальных условиях входящий в формулу (1) коэффициент ^ ~ 1, плотность частицы р ~ 1000 кг/м3, плотность газа (по порядку величин) рх ~ 1 кг/м3, размеры распыленных частиц d = 2Я варьируют в области значений 2 мкм < d < < 20 мкм [6], заключаем, что значение параметра у изменяется в интервале 37.5 < у < 375. При расчетах скорость потока воздуха полагали и0 = 15 м/с, скорость частицы в начальный момент времени v0 = = 5 м/с. Принимая в качестве характерного расстояния Ь = 1 м, получим характерное значение времени протекания процесса Т = Ь/и0 = 0.067 с.
Результаты вычислений на основе формул (5), (6), приведенные на рис. 2, 3, показывают, что, как и следовало ожидать, из-за большей относительной "парусности" кинематика мелких частиц развивается более интенсивно, чем крупных. Помимо этого из сравнительного анализа слагаемых в правой части уравнения (5) и характера кривых на рис. 2 вытекает, что в выбранной области изменения времени t и параметра у законы уравнения движения мелких и крупных частиц различаются незначительно и практически имеют вид прямой пропорциональной зависимости по t. Откуда следует, что с достаточной точностью можно полагать, что х ~ и0^ и с учетом (6) получим:
V = и0[1 + Wo/(uo - уш0)]. (7)
Результаты вычислений по формуле (7) приведены на рис. 4. При этом для выбранных значений параметров и0, v0, у, вне окрестности х < и0/^0), с учетом (3) формула (7) с достаточной точностью аппроксимируется зависимостью
Рис. 3. Зависимость скорости частицы радиусом 1 мкм (кривая 1) и радиусом 10 мкм (кривая 2) от времени.
///////
0.50 0.75 1.00
х, м
Рис. 4. Зависимость скорости частицы радиусом 1 мкм (кривая 1) и радиусом 10 мкм (кривая 2) от ее координаты при скорости потока воздуха и0 = 15 м/с.
V « и>[1 - 1|(уг)] = и)[1 - Д|(юл)].
(8)
т = (е - ЩуК/^ -1)(и0 - еvo)].
(9)
Если в качестве времени релаксации частицы выбрать период т, в течение которого ее скорость после входа в канал увеличивается в е ~ 2.72 раза [7], то согласно формуле (6) будем иметь
Рис. 5. Схема коагуляции частиц в потоке газа.
но уравнение Смолуховского стационарной конвективной коагуляции [9]:
т/2
Vдп/дх = '(т - ц, ц)п(т - ц)п(ц)dц -
(10)
п(т)|р'(т, ц)п(ц)dц,
Исходя из формулы (9), получим т|^ = 20 мкм = = 0.016 с, т|^=2 мкм = 0.0016 с, т.е. время релаксации (особенно мелких частиц) в реальных условиях действительно невелико: почти сразу же после входа в канал частицы движутся как взвешенные, вместе со стационарным потоком газа.
ОБОСНОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ КОАГУЛЯЦИИ ЧАСТИЦ
В том случае, когда скорости сближения частиц разного размера существенно отличеются (как в исследуемом случае), то влиянием электростатических и молекулярных сил на их коагуляцию можно пренебречь, считая, что кинетика коагуляции частиц в потоках (рис. 5) определяется главным образом кинетикой вязкой дисперсионной среды [8] (такую коагуляцию называют кинематической [7]).
Если, кроме того, предполагать, что на дисперсионную систему действуют случайные силы, при которых поведение частиц между актами коагуляции, в том числе, и их сближение, является статистически независимым, то при количественном анализе спектра масс взвеси, обусловленного парной коагуляцией частиц, может быть использова-
где п(т, t, х) - счетная плотность распределения (произведение Мт - число частиц массами от т до т + dm в единице объема среды); в'(т - ц, ц)п(т -- ц)п(ц^ц - вероятность соударения за время dt частиц массами т и ц, с радиусами Ят и Яц в цилиндре радиусом Ят + Лц, и высотой |у(т) - у(ц)^, т.е. в цилиндре объемом
dV = в'(т, ц^, (11)
где в'(т, ц) = п(Ят + Лц)2|^(т) - -И(ц)| -константа коагуляции.
Вводя функцию В(т, т\ т") = 5(т - т' - т") - 5(т - т') - 5(т - т") [8],
где т', т" - массы частиц, 5 - дельта-функция Дирака, уравнение (10) преобразуют к виду
Vдп/дх = 0.5Цр'(тт")В(т, т', т'')х
X п (т') п (т'') dm' dm".
(12)
С учетом релаксации частиц в потоке в уравнении (12) слева можно полагать V ~ и0. Тогда вместо (12) приближенно получим
0дп/дх = 0.5Цв'(х, тт")В(т, тт")х
X п (т') п (т'') dm' dm".
о
о
о о
и
о о
в х 1014, кг 12г
10 8
01_1 w 1 w 1_I_I_I_i_i_i_i_i
0123456789 10
m х 1014, кг
Рис. 6. Зависимость постоянной коагуляции Ь от массы частицы.
гать, что дисперсия частиц по массам m1 < m < m2, где m1 и m2 - соответственно масса наиболее мелкой и наиболее крупной частицы в исходной смеси незначительна. Тогда с учетом того, что, согласно (16), аргументы m', m" входят в функцию P(m', m") симметричным образом, о характере поведения данной зависимости можно судить, например, по зависимости p[m, 0.5(m1 + m2)].
В рассматриваемой области значений масс частиц m1 < m < m2, где m1 = m(R = 1мкм) = 4.19 х х 10-15 кг, m2 = m(R = 2 мкм) = 3.35 х 10-14 кг, на рис. 6 приведена зависимость p[m, 0.5(m1 + m2)], из которой следует, что данная функция не значительно отличается от своего среднего значения
в = const, рассчитываемого для заданных m1 и m2 по формуле
в =
1
(m2 - mi)
х
х J Jp(m', m'')dm'dm' 1
(19)
= 1.29 х 10 кг.
Поскольку
Rm = ro2m1/3, ю2 = [3/(4пр)]1/3, (14)
то, принимая во внимание (8), (11), (14), будем иметь p'(i, m', m") = M0[ro/x)]p(m', m"), (15)
где ю = пю3 /ю1 = 2/(^р1) ~ 2 м3/кг,
p(m', m") = (m'1/3 + m"1/3)2|m'1/3 - m"1/3|. (16 В результате, подставляя (15) в (13), получим
дп/дх = (0.5ю/х)JJp(mm'')D(m, mm'')х
0 0
(17)
В таком случае вместо уравнения (17) можно приближенно записать
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.