ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2014, том 115, № 2, с. 115-124
^ ТЕОРИЯ ^^^^^^^^^^^^^^^^
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.533.2.001
К РАСЧЕТУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛЕНКИ С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОКРЫТИЕМ
© 2014 г. А. В. Бабич
Запорожский национальный технический университет, 69063 Запорожье, Украина
e-mail: andrei_babich@mail.ru Поступила в редакцию 16.04.2013 г.; в окончательном варианте — 05.06.2013 г.
Предложен метод вычислений характеристик металлической пленки в диэлектрическом окружении. В рамках модифицированного метода Кона—Шэма рассмотрен наиболее интересный случай асимметричных металл-диэлектрических сандвичей, в которых диэлектрики по обе стороны пленки различны. Впервые вычислены спектр, работа выхода электронов и поверхностная энергия поликристаллических и монокристаллических пленок, помещенных в пассивные изоляторы. Диэлектрическое окружение в целом приводит к отрицательному изменению работы выхода электронов и поверхностной энергии. Помимо размерных изменений сдвиг работы выхода определяется среднеарифметическим значением диэлектрических констант окружающих сред. Расчеты выполнены для Na, Al и Pb.
Ключевые слова: метод функционала плотности, уравнения Кона—Шэма, металлическая пленка, диэлектрик, электронный энергетический спектр, работа выхода, поверхностная энергия.
DOI: 10.7868/S0015323014020028
ВВЕДЕНИЕ
Традиционные исследования тонких металлических пленок на полупроводниковых или диэлектрических подложках помимо фундаментальных целей ставят задачу создания новых наномасштаб-ных приборов и устройств. Сравнительно малое количество экспериментальных исследований, целью которых являются квантово-размерные эффекты (см. работы [1—8] и ссылки в них) указывает на сложность получения подходящих для исследования объектов и методов измерения. Одной из важнейших равновесных характеристик металлических наноструктур является работа выхода электронов.
Существуют различные модели, которые позволяют рассчитывать электронную структуру уединенных пластин, состоящих из нескольких атомных слоев. Для наглядности их можно объединить в три группы по степени сложности вычислений: модель свободных электронов Зоммерфельда [9—14], самосогласованные вычисления в различных вариантах модели желе [15—19], ab initio вычисления [20-23].
В первой группе расчет указывает на наличие в размерной зависимости работы выхода W(L) квантовых осцилляций и составляющей, монотонно возрастающей до значения W0 для 3.0-металла. В отличие от первой группы, самосогласованные
расчеты во второй и третьей группах для малых Ь указывают на отсутствие монотонной составляющей. В экспериментах также нет однозначного ответа о характере монотонной компоненты зависимости Ж(Ь): в работах [3] она незаметна, а в [2, 5] она такая же как в первой группе.
Следует отметить, что металлические пленки напыляются на диэлектрические подложки, однако до сих пор методы самосогласованных вычислений разработаны только для гипотетических металлических пленок в вакууме. Расчеты работы выхода и поверхностной энергии пленок в диэлектрическом окружении в литературе отсутствует.
Целью настоящей работы является расчет энергетических характеристик металлической пленки в диэлектриках. Впервые предложен метод самосогласованных вычислений равновесных профилей электронной концентрации, эффективного потенциала, энергетического спектра и интегральных характеристик металлической пленки в диэлектриках и на диэлектрических подложках. Для этого использованы модель стабильного желе [24] и приближение локальной плотности для обменно-кор-реляционного потенциала [25], на основе которых нами ранее [26] исследованы характеристики полубесконечного металла с диэлектрическим покрытием.
= 1 e1 —t— 0 er e = 1
Ж/2 -L/2 L/2 Ж/2 г
вале волновых векторов (к±, к± + йк1) и с учетом двух возможных значений проекции спина равно
dZ(kL ) = 2S
d(nkL) (2п)2 '
k_L — k2 + ky■
(1)
Рис. 1. Геометрическая схема пленки в диэлектрическом окружении.
МОДЕЛЬ
Рассмотрим металлическую пленку толщиной Ь при нулевой температуре и направим ось г перпендикулярно плоскости пленки (рис. 1, > Ь).
Важные соотношения для пленки можно получить в модели прямоугольной ямы для электронов проводимости. В качестве предварительного анализа предположим дно потенциальной ямы плоским и примем от него отсчет энергий. В окончательное выражение для кинетической энергии электронов проводимости входят разности энергий и поэтому такой отсчет в данном случае не имеет значения.
Для электронов проводимости металлической пленки, толщина которой Ь имеет порядок фер-миевской длины волны и намного меньше других ее размеров (Ь < Ьх, Ьу), переменные в трехмерном волновом уравнении разделяются, движение электронов вдоль осей х и у описывается плоскими волнами, и соответствующие компоненты волновых векторов непрерывны. Компоненты одно-электронных волновых функций у 1 (г) соответствуют движению нормальному к поверхности (с энергией "подзоны" б,). Таким образом, возможные состояния электрона кх, ку, кг образуют в ^-пространстве систему параллельных плоскостей
кг = к-.
Заполнение состояний электронами начинается с точки {0,0, кх} и осуществляется в порядке возрастания радиус-вектора, то есть роста энергии состояний. В результате оказывается, что все занятые электронами состояния заключаются в области к-пространства, ограниченной плоскостью = к1 и полусферой радиуса кР = -у/2б Р (здесь и дальше атомные единицы Хартри к = т = е = 1).
Число состояний dZ на каждом из кругов, образованных пересечением полусферы Ферми с плоскостями = к, площадью Б = ЬхЬу в интер-
Максимальное значение, которое принимает величина к± на каждом /-ом круге, равно радиусу
2 2 1/2
круга кР(;-) = (кР - к,-)' . Чтобы найти число занятых состояний, совпадающее с числом валентных электронов N в пленке, нужно dZ проинтегрировать по к± на каждом круге, а затем просуммировать вклады всех кругов:
ктл Г к \
N =
¡f kf(0
П И<
п , J
¡=1 0
dkik± = — 2п
¡f kf - x ki
i=i
(2)
Учитывая выражение для кинетической энергии
на один электрон ts
\kl + ki )/2,
полная кинети-
ческая энергия электронной подсистемы равна
T =
¡F kF(i)
X J dkL ( + ki )k±
— 2n
=—X k
i=l
i=l 0 iF
2
F(i)
Л 2
kF(i) + k2
\
(3)
V
/
В рамках метода функционала плотности и модели стабильного желе (SJ) полная энергия металла представляется в виде функционала неоднородной электронной концентрации n(r):
Esj[n(r) ] = Ts + Exc + Eh + Eps + EM. (4)
Здесь Ts — кинетическая энергия невзаимодействующих электронов, Exc — обменно-корреляци-онная энергия, EH — электростатическая энергия (Хартри), Eps и EM — вклады от псевдопотенциала (Ашкрофта) и энергии Маделунга, соответственно. Сумма первых трех слагаемых в (4) представляет собой энергию металла Ej в модели "обычного" желе. Однородная часть металла в зависимости от модели характеризуется средней энергией на один электрон sSJJ = ESJiJ[n"]/N, где N — полное число свободных электронов концентрацией n■
Распределение положительного (ионного) заряда моделируем ступенчатой функцией
p(z) = nQ(L/2 - |z|)■ (5)
Одноэлектронные волновые функции y,(z), соответствующие нормальному к поверхности движению (с энергией "подзоны" s j ), находятся самосогласованным решением системы уравнений Кона—Шэма:
l 2
- ^ V у, (z) + veff [z, n (z (z) = s ¡y j (z ); (6) Veff [Z, n(z)] = ф(z) + Vxc(z) + (Sv)face 0(L/2 - |z|) (7)
и уравнения Пуассона 4п
V%z) = --4П[n(z) -p(z)], e(z)
(8)
n(z) = 2П I k
i=1
2 _
F(i)
k-(z)|2
J dz i (zf
kF(i) = 2 (sF - si),
(10)
(11)
гий используется итерационная процедура. Начальное приближение п(г) для решения уравнения (8) выбрано в виде пробной однопараметрической
функции n(0)(z) = nh(z), где
в котором используется ступенчатая функция l; z <-£¡2, -L/2 < z < L/2, z > £/2, e(z) = je,; -£¡2 < z <-£/2, (9)
er; L2 < z < £2.
Здесь ej и e r — диэлектрические постоянные изоляторов слева и справа от пленки. Обменно-корре-ляционный потенциал vxc(z) = d[n(z)sxc(z) ]/dn(z) используется в приближении локальной плотности [25]. Независимый от координат терм (5v) face в (7), который позволяет различить грани кристалла, представляет собой разницу между потенциалом ионной решетки и электростатическим потенциалом положительно заряженного фона, усредненного по ячейке Вигнера—Зейтца:
М face =<5V> ws - (I + fd 2 ) .
Здесь (pV ws = ~nd& j/ dn — стабилизационная компонента, которая описывает поликристаллическое
состояние образца [24], s^ = -0.9В 2Z2/3/rs — энергия Маделунга на один электрон, d — расстояние между атомными плоскостями, параллельными исследуемой поверхности.
Профиль электронной плотности n(z) выражается посредством волновых функций у,(г):
h(z) =
z <-L 2,
-1 e(z-L2)IX + l e(z+L/2)/X 2 2 ,
1 - 1 e(z-W - 1 e-z+Ll2)l\ z < Ll2, 2 2 11
-1 e-z+L/2)A + 1 e-(z-L/2)A, z > Ll2. 2 2 '
X — вариационный параметр, который находится минимизацией поверхностной энергии. Решение прямым вариационным методом — это самостоятельная задача и здесь не рассматривается (для простых металлов величина X близка к 1а0). Результат интегрирования уравнения (8) для начального приближения дает
Волновая функция у(г) в пластине конструируется в виде
¥(z) =
Vleft (z), z < Zo, ¥ right (z), z > zo,
гр — номер последней занятой или частично занятой подзоны. Значения /р и б р определяются решением уравнения
/р
/рбР = пЬп + ^ б(-; е/р < ер; / = 1,2, К, /р, (12)
/=1
которое следует из условия нормировки (2) и определения энергии Ферми.
В нанопленке фриделевские осцилляции существенны по всему объему, поэтому энергии отсчи-тываются от вакуумного уровня (это энергия покоящегося электрона в области |г| > Щ2). Для связанных состояний энергии отрицательны по знаку, включая и бр.
Для самосогласованного решения системы уравнений (6), (8) и (10) по нахождению оптимальных профилей п(1), ф(^) и спектра одночастичных энер-
при условии непрерывности функций у jeft(z 0) =
= Vright(zо) и их производных Vleft(z0) = Vright(zo) по г. Здесь z0 — любая из точек интервала z g [-L/2; +L/2], у ieft(z) и у right (z) - функции, найденные в результате численного р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.