ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 4, с. 435-441
УДК 664.1.004.12:532.7
К РАСЧЕТУ ПРОЦЕССА АГРЕГИРОВАНИЯ ОБЕЗВОЖИВАЕМЫХ ЧАСТИЦ В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ
© 2010 г. Е. В. Семенов, В. А. Карамзин
Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова, Москва ОАО НИИ "Мир-Продмаш", Москва sem-post@mail.ru Поступила в редакцию 20.10.2008 г.
Исследуется изменение гранулометрического состава взвешенного в стационарном потоке газа коллектива мелких частиц в допущении, что эволюция дисперсности частиц обусловлена явлениям испарения (высушивания) и коагуляции взвеси. Предполагается, что рассматриваемая смесь находится в квазиравновесных низкотемпературных условиях, объемная концентрация частиц невелика.
ВВЕДЕНИЕ
Для того, чтобы получить пригодные для количественного анализа аналитические зависимости по результатам коагулирования взвешенных в газовой среде частиц проведем некоторое упрощение исходной физической модели задачи. А именно: при исследовании явлений массопереноса внутреннюю и внешнюю задачи гидродинамики будем рассматривать отдельно друг от друга. Для чего, с учетом принятых допущений по концентрации взвеси проведем сначала оценку гидродинамических характеристик однородного потока, т.е. проанализируем внутреннюю задачу гидродинамики. Затем решаем внешнюю задачу по определению собственно кинематических характеристик движения частиц для рассчитанного поля скоростей потока. Исходя из такого подхода эволюция гранулометрического состава взвеси, характеризуемого, например, счетной плотностью распределения частиц в несущем потоке, может быть описана в рамках выражающего баланс числа коагулирующих и испаряющихся частиц кинетического соотношения. После чего на основе данного соотношения может быть исследована эволюция дисперсионных характеристик взвеси в исследуемом объеме. В дальнейшем на базе полученных по результатам явления массопереноса взвеси в воздушном потоке кинематических зависимостей движения частиц анализируется явление их агрегирования.
АНАЛИЗ КИНЕМАТИКИ ЧАСТИЦЫ
В предположении, что взвешенные в потоке воздуха частицы не сильно искажают течение газа, будем считать, что поток движется с постоянной скоростью и в горизонтальном направлении х. С целью упрощения количественного анализа поставленной задачи дополнительно предполагаем, что частицы имеют форму, мало отличающуюся от сферической;
из-за относительно высокой скорости потока траектории частиц примерно прямолинейны; влияние силы тяжести невелико.
Чтобы исключить, сделав их внутренними, силы давления между частицей и отводимыми от нее в результате испарения молекулами рассматриваем в некоторый момент времени t систему, составляющую из самой частицы массой т и совокупностью молекул массой dm, в течение промежутка времени dt.
Тогда согласно теореме сохранения импульса в дифференциальной форме можем записать [1]
dQ = (1)
где
dQ = mdv + vdm,
где V — скорость частицы, Ее — главный вектор внешних сил, приложенных к системе частица + + молекулы.
В принятом допущении о прямолинейном характере движения потока и частиц, уравнение (1) в проекции на ось х примет вид
dQ = Fedt, (2)
где
dQ = mdv + vdm. (3)
В области характерных для исследуемой задачи значений параметров по радиусу частиц Я ~ 5— 50 мкм, скорости потока и ~ 10—20 м/с, кинематической вязкости воздуха V « 2 х 10-5 м2/с значения числа Рейнольдса Яе = 2Яи^ варьируются в интервале 10 < Яе < 100 [2]. Поэтому в качестве закона сопротивления движению частицы выбирается квад-ратическая зависимость силы сопротивления от местной скорости частицы [3]
^ = СхЭр1^ - и)2/2, (4)
435
5*
частицы молекул при испарении. Так, из данных рис. 1 вытекает, что различие расчетных значений скоростей частиц, особенно мелких, в том случае, когда испарение учитывается (р = 10—3 кг м-2 с—1/2) и когда эти фактором пренебрегают (р ~ 0), может достигать 13%.
В свою очередь, согласно зависимости (6), относительная убыль массы частицы вдоль по потоку в результате испарения
ф = dm/m0 = —(рЯ3/2/ (11)
где т0 = (4/3)ярЯ3 — масса частицы на входе в канал, V — рассчитывается по формуле (10).
Интегрируя (11), будем иметь
= 3р Ц 4прЯ3/2
Сёл
(12)
где ц характеризует убыль массы на единицу длины канала.
На базе формулы (12) проведено количественное моделирование относительной убыли массы частицы вдоль по потоку для тех же значений параметров, что и ранее, и радиусов частиц Я = 10 и Я = 20 мкм. По виду графиков на рис. 2 можно заключить, что частицы меньшей массы в результате испарения теряют относительно большее количество влаги, чем частицы более крупного размера (при разнице размеров в два раза, относительная убыль массы изменяется в 2.6 раза), что соответствует физическому смыслу протекания процесса.
ОБОСНОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОАГУЛИРОВАНИЯ ИСПАРЯЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ
Перенос потоком газа коллектива взвешенных в нем частиц разного размера, одновременно с их обезвоживанием, сопровождается сближением частиц, их столкновением, с последующим объединением частиц в агрегаты и, возможно, деструкцией в дальнейшем этих агрегатов. При постановке задачи о кинетике взаимодействующих в потоке газа взвешенных в нем частиц допускаем, что имеют место лишь парные столкновения частиц; влияние посторонних частиц на процессы сближения, столкновения, слипания (слияния) двух частиц невелико; характерное время сближения и слипания частиц существенно меньше характерного времени изменения спектра масс дисперсной системы. Кроме того, случайные силы, действующие на дисперсную систему, таковы, что поведение частиц между актами коагуляции является статистически независимым.
В более узкой постановке данной задачи, когда испарение влаги с поверхности частиц не учитывается, выполнено значительное число работ по течениям двухфазной смеси типа газ — полидисперсные капли в условиях коагуляции соударяющихся ча-
0.3 х, м
Рис. 2. Зависимость относительной убыли и массы
—3 2 1/2
частицы от расстояния х (р = 10 кг/(м с / )):
1 — Я = 10 мкм; 2 — Я = 20 мкм.
стиц [6—8]. В этих работах при анализе проблемы коагулирования (и дробления) частиц исходили из концепции совместного движения взаимодействующих фаз смеси на основе замкнутой системы кинетических уравнений в виде уравнений сохранения импульса, массы и баланса по числу коагулирующих частиц. При этом приходилось прибегать к весьма сложным по искомым величинам дифференциальным и интегро-дифференциальным связям в дискретной или непрерывной формах, анализ которых в последующем реализовали в численном виде.
В том случае, если скорость сближения частиц разного размера не мала (как в исследуемом случае), то влиянием электростатических и молекулярных сил на их коагуляцию обычно пренебрегают, считая, что кинетика коагуляции частиц в потоке определяется главным образом механическими свойствами вязкой дисперсионной среды [9] (кинематическая коагуляция).
Тогда при количественном анализе спектра масс взвеси, имея в виду, что движение частиц вдоль по потоку носит практически взвешенный характер, может быть использовано уравнение типа Смолу-ховского стационарной конвективной коагуляции [10] для счетной плотности распределения частиц:
т/2
идп/дл = | у'(т - ц, ц)п(т - ц)п(ц)ёц-п(т) х
0
ж
х|у '(т,ц)п(ц)ёц,
(13)
где п(т, х) — счетная плотность распределения (произведение ndm — число частиц массами от т до т + dm в единице объема среды); у'(т — ц, ц)п(т — ц)п(ц^ц — вероятность соударения за вре-
0
о
мя & частиц массами т и ц, и радиусами Л(т) и Л(ц) в цилиндре радиусом Л(т) = Лт, Л(ц) = и высотой | у(ш) — у(ц)|й7, т.е. в цилиндре объемом
йУ = у'(т, (14)
где
У'(т, ц) = п(Лт + Rц)2|v(m) — у(ц)| (15)
— так называемая константа коагуляции.
Вводя функцию Б(т, т', т") = 8(т — т' — т") —
- 8(т — т') — 8(т — т") [9], где т', т" — массы частиц, 8 — дельта-функция Дирака, уравнение (13) можно преобразовать к симметричному виду
и дп/ дх = 0.5 х
хЦу'(т', т )-0(т, т', т )п(т')п(т ')йтйт'.
(16)
о о
Поскольку
Лт = ют1/3 (где ю = [3/(4яр)]1/3), (17)
то, принимая во внимание (10), (15), (17), будем иметь
■ / . „ч г, ,1/3 „1/3ч2
у (х, т , т ) = пи (т + т ) + + И(и-1 т'~1/3х) - ^(и-1т"—1 Зх)|. В результате, подставляя (18) в (16), получим дп/ дх =
ад ад
= ||у(т', т'')В(т, т', т'')п(т')п(т ')йтйт',
о о
(18)
(19)
наименее мелкой и наиболее крупной частицы, незначителен.
В таком случае вместо уравнения (19) может быть приближенно записано
дп/ дх =
= а^Б(т, т', т' ')п(т ')п(т' ')Ут Ут '',
(21)
о о
где
тг тг
а =-1-г [ [У(т', т")Ут'Ут".
(т2 - тЦ * *
(22)
Ш1 Ш1
Если Щх) = |п (т, х)Ут
— число частиц в едини-
це объема смеси, то, после умножения (21) на йт и последующего интегрирования по т, получим уравнение для N
дИ/дх = —аЖ (23)
В свою очередь, если уравнение (21) умножить на ехр(—жт) и проинтегрировать затем по т, то приходим к уравнению
дп/дх = а(п - 2Ип),
(24)
где
где у = 0.5у'/и.
Решение уравнения (19) должно быть согласовано с начальным условием
п(т, х) = п0(т) при х = 0, (20)
где п0(т) — счетная плотность распределения частиц на входе в канал.
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
КИНЕТИКИ КОАГУЛЯЦИИ ОБЕЗВОЖИВАЕМЫХ ЧАСТИЦ
По своей структуре (19) представляет собой ин-тегро-дифференциальное уравнение такого же типа, что и соответствующее уравнение нестационарной кинематической коагуляции. В то же время, из-за неявного задания входящей в выражение (15) скорости (10) коагулирующих частиц, ядро уравнения (19) имеет неопределенную форму.
Поскольку задача Коши (19)—(20) не допускает решение в явном виде, то с целью упросить количественный анализ данной задачи предполагаем, что в исходной смеси интервал изменения частиц по массам т1 < т < т2, где т1 и т2 — соответственно, масса
и(у, х) = Ь {п( т, х)} = |ехр( —ут )п (т, х)Ут, (25)
о
изображение по Лапласу функции п.
В дальнейшем, решая совместно (23) и (24) и переходя от изображения к оригиналу, получим решение вида [11]
да г _
= лУВУ(-1)г'пу+1, (26) N ~ Й }- Ы N
где N = N при х = 0, А = А(х) = 1/(1 + В), В = В(х) = = аИоХ, по = Ь[п0(т)], 1гх — обратное преобразование Лапласа.
Для того, чтобы конкретизировать полученно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.