ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2013
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 534
© 2013 г. Крупенин В.Л.
К РАСЧЕТУ ВОЗМУЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫМИ СИЛАМИ АВТОРЕЗОНАНСНЫХ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ
Продолжено изучение авторезонансных виброударных систем. В качестве примера выбрана система, содержащая датчик импульсов удара. Основная цель работы — разработка методики расчета систем при наличии малых случайных возмущений. Дана соответствующая методика расчета, основанная на определении флуктуаци-онных поправок к решениям, получаемым методом усреднения. Приведены примеры расчетов для двух типов возмущений — малыми случайными силами типа белого шума и силами с малым временем корреляции. Решения имеют ясную механическую трактовку.
1. Проведем расчет одной авторезонансной системы со специфический обратной связью [1, 2]. Рассмотрим устройство, показанное на рисунке. Линейный осциллятор совершает колебания с соударениями о неподвижный ограничитель 2, на котором установлен датчик импульсов удара, формирующий сигнал, пропорциональный /. Предположим, что зазор является малой величиной (А = бД1 > 0) и задача становится квазиизохронной [1, 2] (виброударная система с нулевым зазором оказывается изохронной с частотой 20). Сигнал преобразуется в некоторую функцию гК(Т), которая после перемножения с сигналом х, поступающим с датчика скорости 1, подается на возбудитель колебаний 4.
Считая, что потери энергии при ударе описываются коэффициентом восстановления Я (1 — Я = £г) и преобразователи работают безынерционно, уравнение движения запишем в виде
хи + 0.2х + Ф(х - А, х1) = -е[Ф2(х, х1) + К( 1)х1 + 2Ьх, ], (1)
причем нижняя индексация по независимой переменной обозначает операцию дифференцирования, а функция Ф2(х, х) — выражает потери энергии при ударах. Примем для определенности К(Т) = К0/ - К0 > 0.
Уравнение (1) будем решать методом усреднения в квазиизохронном приближении [1, 2]. Совершив замену переменных, перейдем к переменным "импульс—фаза" (/, у): х = — /%(у, ю); х, = — ю/%¥(у, ю), где периодическая функция Грина (ПФГ) — суть реакция линейной части системы на 2п/ю, т.е. периодическую 8-функцию Дирака [1, 2].
В соответствии с методиками усреднения будем иметь систему с быстрой фазой
= -е[(гл-1^ + Ъ)1 - 0,5К0], у, = 2О( 1 - 2еол^я"1 ). (2)
Здесь существует единственный стационарный режим У0 = ^0[2(гл-1О + А)]"1. Общее решение первого из двух выписанных уравнений (2)
I = I{1 - ехр[-б[(+ Ъ),]} + 1(0)ехр[-б[(гп-1 О + Ъ),]
свидетельствует о самовозбуждаемости этой системы, а также об устойчивости стационарного решения (декремент X = е(гп-10 + Ь)). Частота авторезонансного режима
юп
2Q[ 1 - 4ба1(т Q + b)Qn K0 ]
(3)
2. Пусть на эту систему действует случайная сила описываемая центрированным стационарным случайным процессом, удовлетворяющим условию сильного перемешивания, которое записывается с оценкой на его корреляционную функцию К(т)
|К^(т)| < M0e ат, M0, а = const > 0.
Уравнение движения запишем в виде
2 2 1 xtt + Q x + Ф(х, xt) = Б[- 2bxt- Q A1 + K0J xt + t)].
(4)
(5)
Переходя к переменным "импульс—фаза" (Я = 1), получим систему в стандартной форме
J = -4 £[ 2bJxt( t-<p)-KoXt( t-Ф) + t)-Q% ]Xt( t-Ф),
1 2 Pt = -4 e J1 [ 2 bJxt( t-p)-KoXt(t-p)-Q% + t)]x(t-p).
Ввиду изохронности вырожденной системы здесь T = nQ-1 и
Х(t) = (2Q)-1sinQt, xt(t) = 0,5 cosQt, t e [0, nQ-1 ].
(6)
sK(J)X
Усредняя правые части системы (6) по явно входящему времени, учтем что М^ = 0 и, используя [1, 2], получим
Jt = -e( bJ-0,5K0), pt = 2 eQA1J ln 1.
(7)
Первое уравнение (7) даст единственное устойчивое стационарное решение
Jo = Ko/2b,
(8)
которому соответствует фаза р0(0 = 2еОА1/ 1п % где коэффициент при переменной t дает поправку к частоте авторезонанса 2О (см. (3)).
3. Вернемся к стохастическому уравнению движения (5). При малом уровне стохастических сил можно ожидать, что параметры режима движения должны содержать малую случайную составляющую. В связи
4
с этим возникает желание получить флуктуационную поправку к решению, даваемому методом усреднения. Способы получения таких поправок дают методики, разработанные в [3], [4].
Рассмотрим в качестве примера вопрос об алгоритме построения нормальных уклонений от усредненной системы [4]. Суть метода заключается в том, что искомая флук-туационная поправка находится из некоторого стохастического аналога уравнений в вариациях. Заметим, что задачи, рассматриваемые здесь, выходят за рамки теорем, обосновывающих формальные построения, поскольку они требуют гладкость входящих в уравнения движения членов, в то время как виброударные системы относятся к негладким. Будем использовать предложенные алгоритмы формально. Рассмотрим систему в стандартной форме zt = sF( ,, г), z е R", где вектор F — случайный по , процесс, удовлетворяющий ряду условий и, в частности, условию сильного перемешивания, которое в прикладных задачах можно понимать как требование достаточно малого времени корреляции.
Обозначим z( ,) решение этой системы. Пусть снова М — оператор математического ожидания, z0( ,) — решение усредненной системы
е + т
z° (t) = sF0(z), F0(z) = lim T 1 J MF(t, z)dt, (T^ <»),
где 9 — произвольный момент времени, а относительно подобных пределов здесь и далее предполагается их равномерное существование по z и 9.
Переходя к медленному времени т = st, будем рассматривать решения z(t) и z°(t) на конечном промежутке [0, L0], L0 = const > 0. Можно ожидать, что z° отличается от z на малую величину. Для достаточно гладких систем показано [4], что если представить точное решение в виде z(t) = z°(t) + (s)1/2ye(T), то при s ^ 0, процесс yE(T), представляющий собой искомую флуктуационную поправку, аппроксимируется на конечном отрезке времени решением У°(т) системы стохастических дифференциальных уравнений Ито
dy °(т) = [5 Fo( z°(T))/5z° ] у0(т) dT + о [ x0 (T)]dw (т). (9)
При этом корреляционная матрица о строится, исходя из условия оот = [Ak], причем буква " T" обозначает транспонирование
0 + T 0 + T
Ajz) = lim Г1 J ds J M {[ F k( t, z)-MFt (t, z)]}M {[ F/1, z) - MF/1, z)]} dt,
(10)
00
T .
Здесь w(т) — и-мерный винеровский процесс.
В случае, когда исходная система детерминированная, то уравнение Ито (9) превращается в вариационное уравнение для усредненной системы. Коэффициент сноса указывает среднее значение, вокруг которого "распределена" флуктуационная добавка, определяемая матричным кэффициентом диффузии о.
4. Вернемся к авторезонансной виброударной системе со случайной составляющей (5). Для отыскания нормального уклонения от решения (У0, ф°) (8), можно выписать уравнения (7) в виде
Ы = -е( Ы-0,5К0 ) = (Ы, ф( = 2 еПА1Ы1 п-1 = е^02 (!). (11)
0
Найденному устойчивому стационарному режиму У0 = К0[2гп + Ь)] 1 отвечает фаза ф0 = 2еА1/-1л-1П Для получения уравнения (13) необходимо продифференцировать (11) и перейти к медленному времени т = Имеем
[д/д/ ] % (!) = -Ь, [д/д/ ] ^02( /) = 2 ПАД / )2п \ [д/дф°] % = [д/дф° ]^02 = о.
С учетом периодичности ПФГ х(0 и ее производной хХО компоненты корреляционной матрицы (10), вычисляемые в соответствии с уравнениями в стандартной форме и условием М^ = 0, имеют вид
ли = (16/Т)|Х((Ш8)К%(г-з)йг,
о -да
т да
л 12 = Л21 = (16/т/)|Хг(г)х(^)К(г-5)йг, (12)
о -да т да
Л22 = 16т\/)- 1х(0хС*)К(г-5)йг.
Следовательно уравнение Ито (9) определено. Подставляя сюда нужные корреляционные функции, можно построить требуемое решение на основе известных правил [5].
Рассмотрим некоторые частные случаи, позволяющие подробно исследовать флук-туационную поправку к стационарному значению импульса У0.
5. Пусть — белый шум интенсивности ¿*0. Тогда корреляционная функция = л^08(0, где 8(0 — 8 — функция Дирака. В соответствии с видом ПФГ
= = 0, и система (9) распадается. Для флуктуационной поправки у° (т) получаем следующее уравнение Ланжевена:
у°т(т) = -УУ? + 5°(г), т = ег, (13)
где — белый шум интенсивности у = Ь — декремент колебаний в детерминированной системе.
Решая выписанное уравнение, найдем для корреляционной функции случайного процесса у° (т): Ку(т) = ст^ ехр(—у |т| ), где дисперсия процесса ст^ = 4л^0у-1.
6. Пусть — случайный процесс, отличный от белого шума, но с временем корреляции, поэтому в оценке (4) аТ < 1. Оказывается, что для флуктуационной поправки снова можно получить уравнение Ланжевена, с другим коэффициентом диффузии. Вычислим представления для компонент матрицы Ау в виде числовых рядов, воспользовавшись представлением для ПФГ и ее производной через ряды Фурье
да да
х(г) = Т 1 ^ ехр(1Ш)[П2-к2®2] , хг(г) = Т 1 ^ ;'кюехр(;'кюг)[П2-к2®2] .
к = -да к = -да
Для коэффициента после интефирования по t найдем
|Хг(г)К%(г-5)йг = Г1 ^ 2п 1кю8(кю)ехр(;кюг)[П2-к2®2] 1, (14)
к = да
зо
о:
о:
зо
где фигурирует спектральная плотность процесса на частоте кю = 2кО
кю) = (2п) 1 | К% (т) екахёт.
Внесем (14) в (12) и выполним интегрирование по 5
да
А12 = (16/т7) ^ 2п 1каБ{кю)[О2-к2ю2]-2. (15)
к = -да
Ряд (15) можно приближенно просуммировать при помощи приема, предложенного в [1, 2]. Введем вспомогательную функцию
к(I) = (16/т7) ^ 2п 1каБ(к, ю)ехр(1ка1 )[О -к а ] ,
к =
где й(0) = А(2пю-1) = Л12. Эту функцию можно записать в конечном виде на отрезке [0, Т] при помощи подсчета вычетов функции комплексного переменного Др) = рЬ0(р)(р2 + О2)-2, где Ь0(р) — преобразование Лапласа корреляционной функции.
Если время корреляции мало, то вычеты Ь0(р) лежат далеко от мнимой оси, и существенный вклад в искомое представление вносят только полюсы р1 2 = ±;'О. Следовательно,
да
А12 = (16/т7) ^ 2п 1кю5(О)[О2-к2ю2]-2 + ... (16)
к = -да
Входящий в (16) бесконечный ряд равен нулю, так как
Т да в
ч2 ,2 2,-2
|х((0х(0^ = Т 1 ^ ;кю[О2-к2ю2] = (8О) 1 ^г
, J ч , ^зт2Огйг = о
О к =-да о
© = п/О, ю = 2О,
поэтому с точностью до членов высоких порядков малости получаем Лп « 4п^(О).
Следовательно, уравнение Ланжевена (13) для уклонения у\ (т) содержит белый
шум ^0(?) интенсивности 4п^(О), а дисперсия ст^ = 4п2^(О)у-1.
Этот результат физически оправдан тем обстоятельством, что вне зависимости от вида малого широкополосного воздействия, флуктуации воспринимаются
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.