научная статья по теме К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ Математика

Текст научной статьи на тему «К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 427, № 6, с. 771-775

МЕХАНИКА

УДК 531.36:531.539

К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ

© 2009 г. А. П. Маркеев

Представлено академиком Д.М. Климовым 05.03.2009 г. Поступило 10.03.2009 г.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть твердое тело массы т движется в однородном поле тяжести. Одна из точек тела О (точка подвеса) совершает заданное движение (вибрации) в неподвижной системе координат О*Х*У*Х*, ось О*х* которой направлена вертикально вверх. Компоненты ХО, УО, ХО вектора 0*0 - периодические (с частотой О) или условно-периодические (с частотами Оь О2, ..., Оп) дважды непрерывно дифференцируемые функции времени г. Средние значения этих функций по времени считаем равными нулю.

Пусть I - расстояние центра тяжести тела О от точки О, а g - ускорение свободного падения. Положим 0*0 = аГ, где а - максимальное отклонение точки подвеса О от неподвижной точки О*; безразмерные компоненты вектора Г обозначим через ЕХ, Еу и Ег. Для скорости и ускорения точки подвеса относительно неподвижной системы координат имеем выражения УО = а О Г' и WO = а О2Г'', где штрихом обозначается дифференцирование по безразмерному времени т = Ог; О - частота вибраций точки подвеса (в случае их периодичности) или наибольшая из частот О1, О2, ..., Оп (когда вибрации условно-периодиче-

ские); в последнем случае предполагаем, что

Ok

О

1,

k = 1, 2, ..., n.

Первые результаты в задаче о движении твердого тела с подвижной точкой подвеса получены 100 лет назад [1]. Много внимания уделялось этой задаче в середине прошлого века [2, 3]. Исследования продолжаются и по настоящее время [412]. Основная библиография исследований содержится в монографиях [4, 5] и цикле статей [12]. Наиболее полно исследованы движения маятников различного типа [1-8, 10, 11], динамика твердого тела с произвольным эллипсоидом инерции почти не исследована.

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук. Москва

В данной работе получена приближенная система дифференциальных уравнений, описывающая вращение твердого тела, обладающего произвольной геометрией масс, вокруг точки О в предположении о том, что ее вибрации являются малыми и высокочастотными

a < l, g < Оl;

(1)

указана также погрешность, с которой решения приближенной системы аппроксимируют решения точной системы и рассмотрен ряд примеров.

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Введем две системы координат с началом в точке О. Система координат ОХУХ движется поступательно, ее оси параллельны соответствующим осям неподвижной системы О*Х*У*Х*. Другая система координат Охуг жестко связана с телом, ее оси направлены вдоль главных осей инерции тела для точки О. Моменты инерции относительно осей Ох, Оу и Ог равны соответственно А, В и С. Единичные векторы осей Ох, Оу и Ог в системе координат ОХУХ задаются соотношениями еТх = (аш а21, а,1), ет = (а0, а22, 0,2), ет = (ав, а23, а33) (т - операция транспонирования). В системе Охуг радиус-вектор ОО центра тяжести имеет компоненты хр у^ а вектор угловой ско-

рости тела - компоненты юх

ffly, fflr

Уравнения, описывающие вращение тела относительно системы координат ОХУХ, будут такими же, как и в случае, когда точка О неподвижна. Надо только к силам, действующим на тело, добавить переносные силы инерции, которые в рассматриваемом случае приводятся к равнодействующей -т WO, приложенной в центре тяжести тела.

Систему дифференциальных уравнений движения запишем в форме уравнений Эйлера-Пуассона:

771

4*

й ю х

А — + (С - В)ЮуЮ = т§(%а32- Уgа33) +

йг

+ т(1^0у - ,

й ю у

ВНи + (А - С)Ю%Юх = т§(а33- ^а31 ) + (2)

+ т (- у^оХ),

й ю7

С"йГ + (В - А)ЮхЮу = mg(у^- х^) +

й а,1

+ т (у^х - х^^оу),

й а; 2

= юга,2 - Юуа,-3, — = Юх ав- юг аа,

й а;3

йг ~г~"'2 -у"'3' йг

',3 = юуа;1 - юха;2, г = 1, 2, 3. (3)

2, 4^2,,

а = £ I, g = ей ¡к,

0 < £ ^ 1, к = ""4Ц ~ 1.

О а

(4)

(5)

(7)

йт = С""[(А1- В1)а х а у + ^х - ^у ] +

£3к

+ С7^а31 - ^а32),

й аг1 . й а,^

-йТ" = е(агаг2- ауа,3), -йТ" = е(аха;3 - ага,1), й а,3

— = £(СТуа,-1- ах а,2), г = 1, 2, 3,

(8)

йг

Через юох, юоу, в (2) обозначены проекции ускорения WO точки подвеса на оси Ох, Оу, Ог: Мох = Wo • ех, юоу = Wo • еу, WoZ = Wo • е%

Величины щ связаны шестью соотношениями

ех • ех = 1 ех • еу = 0, ех • ег = 0, еу ' еу = 1 еу ' = 0,

ег • ег = 1. Поэтому из двенадцати уравнений системы (2), (3) независимыми являются только шесть.

Опираясь на предположения (1), положим

Введя обозначения

^ = ¡^, Уg = Ч, ^ = ¡^,

А = т1 А1, В = т1 В1, С = т1 С1,

сделаем в уравнениях (2), (3) замену переменных

юх = еОах, юу = еОау, юг = еОаг (6)

и перейдем к новой независимой переменной т. В новых переменных уравнения движения станут такими:

йах £

—" = а [(В1- С1 )ау а + - ^Л] +

+ £Ака32 - Па33),

й" = В" [( С1- А1 )а%ах + ^Л - ^х] +

£3к

+ В^(^а33- ^а31 ),

В (7) величины /х, /у, - проекции вектора Г" на оси Ох, Оу, Ог:

юох юоу

г _ ох Г _ оу Г _ ог

1х = "" , 1у = "" , = 2 .

а О аО а О

Посредством этих величин независимая переменная т явно входит в правые части уравнений (7).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Исключение независимой переменной. При малых е уравнения (7), (8) можно упростить путем исключения независимой переменной т из их правых частей. С этой целью по алгоритму метода усреднения для систем в стандартной форме [13] была построена близкая к тождественной, периодическая (или условно-периодическая) по т замена переменных ах, ау, аг, а, ^ Цх, Цу, Цг, Ру, задаваемая многочленами третьей степени относительно е. Вычисления показали, что коэффициенты этих многочленов можно выбрать так, чтобы правые части дифференциальных уравнений для новых переменных Цх, Цу, Цг, Ру не содержали т в членах до порядка е3 включительно, причем члены порядка е2 можно уничтожить полностью. Сама замена переменных будет такой:

ах = Цх + А [РХ(^р!2 - ^р13) + (Ggp22 - ngр23) + + (СР32- ng р33)] + О (е2),

ау = Цу + "В"[Р'х(^в13 - ^gв11 ) + Р'¥(^gв23 - в21) +

+ (^gPзз- с р31)] + О(е2),

(9)

аг = Цг + ^ [Р'хРи - ^gPl2) + Р'у(ngp21 - Р22) +

+ Гг (^Р31- р32)] + О (е2), = р;, + О (е2).

Приближенные уравнения. Вибрационный момент. В преобразованной системе отбросим члены порядка e4 и выше и возвратимся к старой независимой переменной t. Затем сделаем замену, обратную (6),

^ = íñ' ^ = eq' ^ = Eñ' = aj(10)

и учтем равенства (4), (5). В результате придем к следующей приближенной системе дифференциальных уравнений движения:

+ (C - В)qr = mg( Zga32- yga33) + M<xV)'

юг = q + 5г + О (г112),

312

аи = а^ + О(г ).

Уравнения (11), (12) описывают плавное изменение во времени ориентации тела в абсолютном пространстве. На это плавное движение накладываются быстрые осцилляции, определяемые из замен (6), (9), (10). Их можно назвать осцилляци-онным движением тела.

Вибрацоннный потенциал. Компоненты вибрационного момента (13) можно вычислить по формулам

Bdq+( a dt - C) rp = mg(xg033 - -zga31) + My], (11) Mv ) эп( v) daz ay - эп( v) da y

Cd-f + (B-dt - A)pq = mg( yga31 - -xg032 ) + M(z'v \ M(v) = dn(v) ay - эп( v)

y d ax daz

t \ Í = ra¡2 - qa¡ dai2 3 ~dt = pa¡3 - raa, (12) M[v > == dn(v) Э ay a x - эп( v) da x

• аг,

' ax,

а y.

йа,3 . . „ „

— = qail- рап, I = 1, 2, 3.

Первые три уравнения этой системы отличаются от динамических уравнений Эйлера в случае неподвижной точки О наличием дополнительных

слагаемых , Ш^р, в их правых частях. Как показывают вычисления, эти слагаемые являются проекциями на оси Ох, Оу, Ог вектора M(v), определяемого формулой

М(р) = <шУО х(ОО х 8)>. (13)

Компоненты вектора 8 в системе координат Охуг

Здесь а^ = (ап, а21, азц), аТу = (а0, а22, аз2), ат = (ав, а23, а33), а функция П(р) (вибрационный потенциал) задается формулой

ПМ =

1 2

2 m

(Zgvoy - yg voz)2 + ( xg voz - zgV ox)2 +

B

( yg v ox - xgv oy )

C

(16)

5x = m(Zgvoy - yg voz) > 5y = m(xg voz - Zg vox),

m

5z = C ( yg Vox - xg voy) >

v ox = VOXa11 + VOYa21 + VOZa3U voy = VOXa12 + VOYa22 + V OZa 32, v oz = VOXa13 + VOYa23 + VOZa33.

(14)

(15)

В (14), (15) Vox, Voy, Voz и Vx, v0l - проекции вектора V0 скорости точки подвеса на оси систем координат OXYZ и Oxyz соответственно. Угловыми скобками в (13) обозначено усреднение по времени. Используя терминологию статьи [3], назовем величину (13) вибрационным моментом.

На интервале времени t ~ £-1/2 решения системы (11), (12) аппроксимируют решения точной системы (2), (3) с погрешностью, определяемой равенствами

fflx = p + 5 x + O (£1/2), ffly = q + 5y + O(£1/2),

Поясним механический смысл функции (16). Пусть ] = -т VO (ударный импульс сил инерции). Рассмотрим покоящееся твердое тело, точка О которого неподвижно закреплена. Мысленно приложим к центру тяжести тела ударный импульс J. Тогда оно получит угловую скорость Аю = 8, и для приобретенной при ударе кинетической энергии

имеем выражение Т = 2 (А 52х + В5:у + Сд2,), которое совпадает с выражением, заключенным в угловые скобки в формуле (16). Таким образом, вибрационный потенциал равен среднему по времени значению кинетической энергии, которую приобретает покоящееся твердое тело под действием ударного импульса -т V,;,.

Если в (9) отбросить слагаемые выше первого порядка по г, то вектор 8 будет представлять собой осцилляционную угловую скорость тела. Поэтому можно сказать, что вибрационный потенциал равен среднему по времени значению кинетической энергии осцилляционного движения, сообщаемому телу посредством вибраций его точки подвеса. Последняя трактовка вибрационного потенциала была известна ранее [3-5, 14].

+

Об интегралах приближенных уравнений. Помимо шести геометрических инвариантных соотношений

ниям углов Эйлера у, б, ф и их производных у, б , ф. Если же в положении равновесия центр тяжести

a x ' ax — 1> a x ' a y — 0, ax ■ az — 0,

a y' a y — 1, a y * — 0, * — 1

= (17)

*y ~y — 4 "y "z ~ "' "z "z 1

система уравнений (11), (12) всегда имеет интеграл энергии

2- (А/ + Bq2 + Cr2) +

+ mg( xga31 + yga32 + zga33) + n(v) = const. (18)

Для частных случаев движения точки подвеса и при некоторых специальных ограничениях на геометрию масс тела возможны также интегралы, отличные от (17), (18). Н

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком