ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2010, том 434, № 2, с. 178-181
= ФИЗИКА =
УДК 535.313
К ТЕОРИИ ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ © 2010 г. А. С. Венецкий, В. А. Калошин
Представлено академиком Ю.В. Гуляевым 06.04.2010 г. Поступило 09.04.2010 г.
Осесимметричные двухзеркальные системы с одним из фокусов, расположенным на бесконечности, нашли широкое применение при построении оптических и радиотелескопов. В последнее время для получения изображения в телескопах используются матричные приемники [1]. При этом для анализа качества изображения необходимо знать распределение эйконала в апертуре главного зеркала при смещении источника из фокуса системы. Это распределение можно получить прямым геометрооптическим расчетом, однако при большом количестве элементов матричного приемника требуется достаточно большой объем вычислений. Еще больший объем вычислений необходимо выполнить при решении задач оптимизации. Классическая теория аберраций, использующая разложение по степеням смещения источника и точки наблюдения, широко используется при анализе и оптимизации оптических систем [2]. Этот аппарат весьма эффективен при анализе параксиальных лучей. Для широкоугольных систем он приводит к необходимости учета аберраций высоких порядков, что приводит к сложности соответствующих формул и, как следствие, необходимости использования численных методов в задачах оптимизации. В случае небольших смещений источника из фокуса системы для вычисления распределения эйконала в апертуре главного зеркала можно воспользоваться хорошо известной замкнутой формулой для первого члена разложения эйконала по степеням этого смещения [2]. Однако при увеличении величины смещения ее точность резко падает. Кроме того, эта формула не описывает аберрации в апланатических системах.
В работе [3] получена формула для распределения эйконала на кромке линзы или зеркала, зависящая от двух первых степеней величины поперечного смещения источника из фокуса.
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской Академии наук, Москва
В данной работе получена формула, описывающая два первых члена разложения эйконала в апертуре главного зеркала осесимметричной двухзеркальной телескопической системы произвольной геометрии по степеням величины поперечного смещения источника из фокуса системы.
Рассмотрим осесимметричную двухзеркаль-ную систему с вынесенным из фокуса источником сферической волны, вид которой в двух плоскостях — плоскости смещения источника (Х2) и ортогональной плоскости (ХУ) — показан на рис. 1, 2 для систем двух типов (1-го — типа Кас-сегрена и 2-го — типа Грегори).
При расположении источника в фокусе О системы в апертуре главного зеркала формируется плоский фронт. Предположим, что только один луч, выходящий из источника под углом а попадает в заданную точку А апертуры, т.е. обеспечивается взаимно однозначное соответствие между каждой точкой апертуры А и углом а выхода луча из источника О, которое описывается функциями отображения
Я (а) = VХА + ТА, а = а( Я). (1)
Пусть точка О1 — положение поперечно смещенного источника, т.е. отрезок ОО1 ортогонален оси системы. Предположим, что при смещении источника в точку О1 взаимно однозначное соответствие точек апертуры с множеством выходящих из О1 лучей сохраняется. При этом всегда существует луч, соединяющий смещенный источник О1 и точку А. Оптический путь (эйконал) вдоль этого луча равен сумме длин трех отрезков
Ф(АОх) = \АБХ\ + \БХ Л| + |Л вх\. (2)
Для удобства дальнейших выкладок повернем систему координат ХУ так, чтобы точка А лежала на оси ОХ. Обозначим ее координаты (ХА, 0, 2А), тогда другие точки будут иметь координаты: В(ХА, 0, ^л), В1(ХА + АХ, АУ, 2В + А2), Р(хР, 0, тР), Р1(хр + Ах, Ау, Тр + Ат), О1(-5х, —8у, 0), О(0, 0, 0). При этом 2В = Д(ХВ), тР=у (хР), где 2 = Д(Х), т = у (х) -уравнения образующих большого и малого зеркал.
Выражение для эйконала (2) представим в виде
^ ах^^+Таг—гр+А^—Агр +
+ л/(хР + Ах + 8—)2 + (Ау + 5у)2 + (гр + Аг )2.
(3)
С точностью до членов 3-го порядка малости
по Ах, Ау, АХ, АУможно записать
Az = Г'( Хл )А X+^--(—Л1А У2 +Г-™Ах2,
2ХЛ 2
Аг = у'(Хр )ах + ^Ау2 + ^ах2.
2хр 2
Величины Ах, Ау, АХ, АУ, входящие в (3), явля-
(4)
ются неизвестными. Заменяя в выражении (3) № и Аг разложениями (4) и (5), разложим выражение для эйконала (3) в ряд по степеням АХ, АУ, Ах, Ау, ограничиваясь членами второго порядка малости. (5) Используя принцип Ферма, неизвестные величины АХ, АУ, Ах, Ау можно найти из системы линей-
\
В1
Рис. 1. Система 1-го типа.
Рис. 2. Система 2-го типа.
180
ВЕНЕЦКИИ, КАЛОШИН
AL
0.0003 0.0002 0.0001 0
0.0001 0.0002 0.0003 -0.0004
-0.4
-0.2
0.2
0.4 X, Y
2 LL
2 L2
где
p = *Jx2P + zp, d = ,
t = |ZB - ZA\, sin a = —,
P
Li = P +
L2 = p +
d
+
i + Cpi (i + Cpi)(i + Cbi )'
d
+
i + Cp2 (i + Cp2)(i + Cb2 )
(8) (9)
cbi =
2 Kb
t, CPi = -
cos-2
cb2 =
2KP
cos---
2
f—— + d], (10) ^ i + Cbi ]
2 F' ( Xa ) cos 2
xj i + (F' (Xa ))
:t,
2 y' (xP)cos
ю
cp2 =
1+cb 2
+d
(11)
(12)
где КВ и КР — кривизны зеркал в точках В и Р, а 0 и ю — углы между падающим и отраженным лучом в этих точках.
Рассматривая геометрию лучей, можно входящие в (10)—(12) выражения выразить через функцию отображения (1) и ее производную:
2 К
= --L (R(a) - p - d),
ю pd cos- K
cos
_ p - R ( a ) 0 R (a) d
,(13)
ю
2 y'( xP) cos-;-
= - p -
xpj i + (y' (xp)) 2 p d V sin a
p-d
Рис. 3. Зависимость ошибки вычисления эйконала в апертуре системы координат.
ных уравнений, выражающих условие экстремума эйконала
-дФ = о, -дФ = о, дФ = о, дФ = о. (6)
дАХ дАУ дАх дАу
Подставляя найденные АХ, АУ, Ах, Ау в выражение (3) и ограничиваясь членами второго порядка малости по 5Х и 5У, получим
Ф(А01 ) = p + d + t + 5Xsina + —-cos a + —-, (7)
2F'(xa) cos- . ,
_2_ = p-- £-ii— - R( a)
R(a) d
XAJl+FX¡)2
щью соотнош i можно привес
1 = _!_ f i - d^ - tí'
(14)
(15)
*aa/ i +1
С помощью соотношений (13)-(15) выражения (8) и (9) можно привести к виду
■ , л )2, dR] VdR]
Li
L L,
p(a) 1
(16)
1 + d
sin a^ t sin2 a
где I = Я) — ZA|, d = Ь0 — р(а) — t, Ь0 — значение эйконала на плоской апертуре при несмещенном источнике, верхний знак в выражениях (16), (17) относится к системе 1, нижний знак — к системе 2.
Возвращаясь в исходную систему координат ХУ, в которой точка А будет иметь координаты (Яео8ф, Ябшф, ZA), а точка О1 координаты (—5, 0, 0), формулу (7) с точностью до членов 3-го порядка можно записать в виде
2
(17)
Ф( R, ф) = L0 + 5 cos ф sin a +
+
cos ф 2
cos a +
Li
2
sin ф
(18)
где L0 = p + d + t = const, a выражается через R из
закона отображения (1), а L1, L2 - соответственно
формулами (16), (17). Нетрудно показать, что для
систем, содержащих только поверхности второго
da sin a т т
порядка, — =- и в силу этого L1 = L2. Поэто-
dR R
му в данном случае выражение для эйконала (18) упрощается:
Ф( R, ф) = L0 + 5 cos ф sin a +
2
5 2.2, +--(1 - cos ф sin a),
2l2
где L2 выражается формулой (17).
(19)
2
0
2
2
2
Последний член разложения (18) содержит зависимость от формы образующих зеркал. Используя результаты работы [4], ее можно исключить, выразив через функцию отображения.
Анализ точности полученной формулы (18) проведем на примере телескопа Шварцшильда (апланатической двухзеркальной системы 1-го типа) с параметрами: диаметр апертуры главного зеркала D = 1, вспомогательного зеркала Ds = 0.38, расстояние между зеркалами на оси системы d0 = = 0.3, R = f sin a, f = 1. Фокус системы расположен на главном зеркале.
На рисунке 3 приведены графики разности эйконалов на выходной апертуре в плоскости смещения источника (Y = 0, кривая 1), в ортогональной ей плоскости (X = 0, кривая 2), рассчитанные по формуле (18) и путем точного геометрооптиче-ского расчета при величине поперечного смещения источника 5 = 0.1. Из анализа кривых рис. 3 следует: абсолютная величина погрешности фор-
мулы (18) при вычислении эйконала в апертуре системы равна 2.2 • 10-4, что меньше величины смещения источника в третьей степени (0.001).
Таким образом, полученная в работе формула (18) позволяет вычислять распределение эйконала в апертуре произвольной осесиммет-ричной телескопической системы с точностью до третьей степени величины смещения источника. Эта формула также может быть использована для оптимизации двухзеркальных телескопических систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вдовин В.Ф., Зинченко И.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 2009. Т. 52. № 7. С. 511-524.
2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.
3. Калошин В.А. // Журн. радиоэлектроники. 2001. № 3. http://jre.cplire.ru.
4. Head A.K. // Proc. Phys. Soc. 1957. V. 71. № 4. P. 546.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.