РАСПЛАВЫ
5 • 2008
УДК 536.42:536.421.4
© 2008 г. Д. В. Александров, А. А. Иванов, А. П. Малыгин
К ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ЗАТВЕРДЕВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ
Проведено аналитическое исследование процесса направленной кристаллизации бинарных расплавов и растворов в случае малого изменения доли твердой фазы в двухфазной зоне при автомодельном режиме затвердевания. С учетом некоторых упрощений получены точные аналитические решения нелинейных уравнений тепло-и массопереноса в двухфазной зоне.
Довольно часто при затвердевании материалов между чисто жидкой и чисто твердой фазами образуется зона двухфазного состояния вещества. Ее образование является реакцией системы на возникновение неустойчивости плоского фронта и появление концентрационного переохлаждения [1]. Переохлаждение создает благоприятные условия для роста случайных выступов на фронте вглубь расплава, т.е плоская форма фронта разрушается. Кроме того, в переохлажденной области может начаться спонтанное зарождение и рост элементов твердой фазы в виде дендритов и отдельных кристаллов. Таким образом, в некоторой области перед кристаллом вещество будет находиться как в твердом, так и в жидком состоянии, т.е. образуется двухфазная зона концентрационного переохлаждения. Указанная зона и определяет все основные характеристики процесса кристаллизации, а также структуру, состав и механические свойства изготовляемого слитка. Поскольку в зоне двухфазного состояния наблюдается рост дендритных структур и элементов твердой фазы в виде растущих зародышей, то выделяемая ими скрытая теплота затвердевания приводит к тому, что концентрационное переохлаждение будет частично сниматься. Обычно на практике концентрационное переохлаждение не достигает больших значений и составляет несколько градусов Цельсия [2]. При затвердевании жидких сталей, водных растворов или расплавов, в которых присутствуют инородные катализаторы кристаллизации, рост элементов твердой фазы происходит настолько интенсивно, что переохлаждение в двухфазной зоне будет полностью снято [3]. Для таких процессов затвердевания была разработана теория квазиравновесной двухфазной зоны [4-6].
Уравнения, описывающие процессы тепло- и массопереноса в двухфазной зоне, являются сложными нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Граничные условия к этим уравнениям ставятся на двух подвижных границах, положение которых заранее неизвестно. Таким образом, задача об определении полей температуры и концентрации в двухфазной зоне, ее размеров и положения представляет собой сложную нелинейную систему теплофизических уравнений с подвижными границами. До недавнего времени эта задача решалась лишь при помощи трудоемких численных методов, которые приводят к плохо обозримым результатам и при изменении параметров требуют повторного проведения вычислений. Поэтому актуальным представляется разработка аналитических подходов для решения задач такого типа. Существенный прогресс в исследовании проблемы квазиравновесной двухфазной зоны был достигнут в работах [7-9], где был разработан метод решения нелинейных задач затвердевания с двухфазной зоной в квазистационарном режиме (кристаллизация с постоянной скоростью). Предложенный метод оказался настолько конструктивным, что с его помощью удалось решить ряд модифицированных задач об установившейся
кристаллизации, учитывающих различные нелинейные эффекты тепломассопереноса [10-12]. На практике гораздо чаще встречаются процессы затвердевания с непостоянной скоростью, которая задается режимом охлаждения изложницы. Построение решения нелинейной задачи типа Стефана с двумя подвижными границами для описания таких режимов представляет как чисто теоретический интерес, так и большое практическое значение. Настоящее исследование посвящено этому вопросу при реализации нестационарного процесса кристаллизации в автомодельном режиме.
ДВУХФАЗНАЯ ЗОНА В АВТОМОДЕЛЬНОМ РЕЖИМЕ
Одним из известных нестационарных процессов является автомодельный режим. Для этого режима характерно, что фронт кристаллизации находится вдали от стенок области и не чувствителен к собственной предыстории (математически это задается введением новой независимой пространственно-временной координаты).
Рассмотрим направленное затвердевание бинарной смеси вдоль оси г с двухфазной зоной. Область г > 0 в начальный момент времени заполнена жидкой фазой, которая имеет температуру 71 и концентрацию примеси с0 (диффузией примеси в твердой фазе традиционно пренебрегаем). На границе г = 0 поддерживается температура Т = Тв, которая ниже начальной температуры плавления. Пусть в двухфазной зоне рост элементов твердой фазы происходит таким образом, что переохлаждение полностью снимается. В этом случае зона может считаться не зависящей от точной морфологии растущей твердой фазы. Уравнения переноса тепла и массы в двухфазной зоне записываются в виде [13]
(рСр)тд7 = + ра^' а(г)<г< Ь(г), (1)
= Ог^С + (1-к)СддФ' X =1-ф' а(г) < г < Ь(г), (2)
где а(г) и Ь(г) - положения границ раздела фаз (твердая фаза - двухфазная зона и двухфазная зона - жидкая фаза соответственно), С - концентрация примеси, Б - коэффициент диффузии, Ь - скрытая теплота затвердевания, г - время, ф - доля твердой фазы, X = 1 - ф - доля жидкой фазы в двухфазной зоне. Коэффициенты переноса в двухфазной зоне зависят от доли жидкой и твердой фаз. Следуя работе [13], примем следующий вид этих зависимостей:
кт = X к1 + ( 1- Х) К, (Р Ср )т = Хр1 Ср1+ ( 1- Х)Р * СР
Здесь к1 - коэффициент теплопроводности жидкой фазы; к - коэффициент теплопроводности твердой фазы, Ср1 - теплоемкость жидкой фазы, Ср8 - теплоемкость твердой фазы, р1 - плотность жидкой фазы, р8 - плотность твердой фазы.
Так как переохлаждение в зоне полностью снимается, температура и концентрация связаны уравнением линии ликвидуса:
Т =-ГС, а (г )< г < Ь (г).
Условия баланса тепла и массы на границах раздела фаз и двухфазной зоны имеют вид [14, 15]
Ь Ха йг = Ч эг) г = а-" Ч эг) г = а '
, 1 1а „ {Э С
( 1- *) СаХа Тг=~ВХа{-Э-
р8 Ь(1- Хь)
= кт {- к,{ ЭТ
(3)
\'дz = ь- Л^ у г = ъ+
(1- к) Сь(1- Хь) | = О Хь (% ь-- О
ЭС
дz
z = ь+
Кроме того, в работе [15] показано, что наклоны температурного и концентрационного полей на границе двухфазная зона - расплав связаны тем же соотношением, что и в двухфазной зоне, поэтому
ЭП = _Г{ЭП
дz)z = ь+ V ^ Л = ь+
(4)
Нелинейные уравнения (1) и (2) в совокупности с граничными условиями (3) и (4) допускают автомодельное решение с новой независимой переменной и положениями границ раздела фаз, имеющими вид
П =
74О/ + 5'
а (г) = А,ал/4 О! + 5, ь (г) = Хь74 Ог + 5,
(5)
(6)
где 5 - константа, определяющая начало отсчета времени, а Ха и Хь - постоянные, характеризующие скорости роста границ. Эти постоянные определяются в ходе решения задачи.
Переписывая уравнения (1) и (2) и граничные условия (3) и (4) в автомодельных переменных (5) и (6), исключая из них температуру Т, получаем следующую систему:
_2 п( 1-ф) 1С = _ £ 1С +(1-ф) Цп
-2( 1_ к)пС1ф, К < п < Xь,
1 п
1С
12 С
-2 ае2[р + (1-р)ф]п = [Л + (1-Л)ф]а —2 +
1 п 1 п2
,, . ,1 ф 1С „2 1 ф л л
+ а( 1-+ ^ <П<^ь,
С = с 0 + С;(^ь)' п = Хь'
е2хь + (1-к)^Сь - С;(^ь
а -1---С---
1п
Р(Хь )\
(1- Хь) = 0, п = Хь,
= -2 Хь
к1 С\ (Хь)
+
к,
кт (Хь) Р (Хь) а кт (Хь)
- (1- Хь)
' п = Хь'
(7)
(8)
(9) (10)
(11)
2
2
2Л е> кт(ха)йС 2 Ла а1а к йц_
йС
а(£-Ла) +2Лае2(С + , П = Ла, (12)
+2 ( 1-к )ЛаС
Ха = 0, П = Ла, (13)
где а = ГС^Ь, Л = к/к,, е, = 7^Ср8р8/к-, е! = ^ОСрХр/кх, Т = Т,*, + Гсо, в = (рС^ДрСрЛ,
Дх) = хехр(х2) Тп егГе(х), ОД = хехр(х2) ТП егВД, СД) = (Т0/Г)е2 ДЛ)/(ДеД) - е2 ЯЛ)). Таким образом, задача поиска решений системы дифференциальных уравнений в частных производных сведена к поиску решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Уравнения тепломассопереноса (7) и (8) и граничные условия (9)-(13) составляют замкнутую модель автомодельного режима кристаллизации с двухфазной зоной. В силу сильной нелинейности указанной системы, ее аналитическое решение можно найти только приближенными методами.
Рассмотрим такой режим затвердевания, при котором в двухфазной зоне изменение доли твердой фазы по времени очень мало. Практически это наблюдается при малых скоростях движения зоны через довольно большой промежуток времени с начала кристаллизации. Математически это означает, что в уравнениях (1) и (2)
о.
дг
После перехода к автомодельным переменным уравнения (7) и (8) перепишутся в виде
йС йх йС й2 С '— = —+ х— "й п йц йц д п
„ йС йхйС й2С л л ,л „
-2 пх^ = ^^ + х—, Ла <п<Ль, (14)
-2 е2 [ I-(I-в)х]П ^ = [ I-(I-Л)х] й|-(I-Л) % йС, ^ <П<Ль. (15)
Уравнение (14) перепишем в форме й ( йСЛ „ йС „
ййц Iх + 2 пхййС) = 0.
Тогда
йС 2
х йп = С ехР(-п ), (16)
где С - постоянная интегрирования.
Выразим производную концентрации примеси и подставим ее в уравнение (15). В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:
йп = 2х[( 1-е2)п + (е2(1-в) - (1-Л)п)х]. (17)
2
Поскольку е8 очень мало (например, при значении параметров, взятых из таблицы, порядка 10-4, (1 - в) и (1 - Л) имеют порядок 100), то
1-е2 - 1, е2(1-в) - (1-Л)п - -(1-Л)п.
Таблица
Термофизические свойства раствора NaNO3 в воде
Параметр
Величина
Размерность
Коэффициент распределения примеси к 0
Наклон линии ликвидуса Г 0.4 °C
Скрытая теплота затвердевания Ь 3.35 • 105 Дж/кг
Коэффициент диффузии В 10-9 м2/с
Коэффициент температуропроводности твердой фазе ks 2.219 Дж/(м • c • °(
Коэффициент температуропроводности жидкой фазе kl 0.544 Дж/(м • c • °(
Плотность твердой фазы р5 920 кг/м3
Плотность жидкой фазы р1 1000 кг/м3
Теплоемкость твердой фазы Сръ 2.01 • 103 Дж/(кг • °C)
Теплоемкость жидкой фазы Ср1 4.187 • 103 Дж/(кг • °C)
Значит, уравнение (17) приближенно соответствует следующему уравнению:
= 2Х[(п - (1-Л)пХ]. (18)
Подстановка решения последнего уравнения в (16) дает явные выражения для распределений доли жидкой фазы и концентрации примеси в двухфазной зоне:
X(n) = ехР (П2) / (A exp (n2) + C2),
C(n) = C ^ C3 + iVn[ 2 A erf (n) + J2 C2erf(V2 n)]),
(19)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.