научная статья по теме К ТЕОРИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА Математика

Текст научной статьи на тему «К ТЕОРИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 74. Вып. 6, 2010

УДК 539.3:534.1

© 2010 г. А. О. Ватульян

К ТЕОРИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Рассмотрены различные подходы к решению обратных задач по определению переменных коэффициентов дифференциальных операторов, описывающих деформирование в линейной механике твердого тела. Представлены способы построения операторных уравнений в обратных задачах на основе слабой постановки, предложены способы формирования итерационных процессов.

Математическая формулировка проблем деформирования твердых тел на основе простейшего варианта этой модели (однородное изотропное тело), в фундамент которой были положены дифференциальные уравнения равновесия Коши и закон Гука [1], позволила решить целый ряд актуальных проблем, придала импульс как развитию и совершенствованию инженерных расчетов на прочность и устойчивость, так и созданию теории общих краевых задач для эллиптических операторов и их исследованию. Эта модель благодаря определению двух упругих постоянных — модуля Юнга и коэффициента Пуассона на основе простых макроэкспериментов (опыты на растяжение и кручение стержней) стала эффективным средством анализа многих проблем не только в механике деформируемого твердого тела, но и в смежных областях (машиностроение, акустика, геофизика).

При исследовании ряда новых проблем эта модель оказывается недостаточной для описания поведения деформируемых твердых тел и влечет за собой отказ либо от гипотезы однородности, либо от гипотезы изотропии. Если теория упругости однородного анизотропного тела на протяжении 19—20 веков успешно развивалась и продвинута достаточно далеко по крайней мере в решении многих задач о равновесии [2], то в теории упругости неоднородного тела достижения гораздо скромнее [3—5]. Основное внимание при анализе моделей неоднородной теории упругости уделялось как общим вопросам существования решений, так и способам построения усредненных моделей в средах с быстро меняющимися коэффициентами, весьма важным с точки зрения механики композитов.

Отметим, что для анализа равновесия или колебаний однородного анизотропного тела достаточно знать компоненты тензора упругих постоянных, а для практического использования модели неоднородной теории упругости в геофизике, дефектоскопии, био- и наномеханике необходимо знать в самом простом случае непрерывно-неоднородного изотропного тела три функции. При этом физические характеристики (модули Ламе и плотность среды) задаются при помощи функциональных зависимостей, которые должны быть предварительно определены из некоторых экспериментов или наблюдений, как правило, связанных с измерением граничных или внутренних полей смещений при возбуждении колебаний некоторой нагрузкой. Наиболее часто такие зависимости предполагаются одномерными (особенно при использовании моделей слоя, полупространства или слоистого полупространства), а наиболее распространенный способ их определения — анализ отклика исследуемого объекта при возможном

варьировании способа нагружения. При этом задача определения нескольких функций приводит к исследованию довольно сложных нелинейных обратных задач для эллиптических и гиперболических операторов, различные аспекты которой стали предметом исследования относительно недавно [6—9]. Отметим, что довольно часто принимаемый кусочно-постоянный характер изменения искомых характеристик в ряде ситуаций оправдан, поскольку это предположение существенно сужает область поиска и значительно упрощает исследование обратных задач, например, в задачах идентификации слоистых структур [10, 11], однако может привести к существенному искажению результатов. В рамках такого подхода решение исходной некорректной задачи сводится к определению конечного числа параметров в некоторой ограниченной области п-мерного пространства поиска. Такой поиск в последние годы осуществляется на основе метода регуляризации на компактных множествах, а среди конечномерных вариантов отметим как традиционные градиентные методы нахождения минимумов функционалов невязки [10], так и нейросети и генетические алгоритмы [11].

Настоящая работа посвящена анализу состояния проблемы идентификации переменных коэффициентов дифференциальных операторов, встречающихся в линейной механике деформируемого твердого тела и некоторым способам ее решения в рамках анализа установившихся колебаний (операторы упругости и термоупругости, электроупругости и вязкоупругости в рамках концепции динамических модулей, пороупруго-сти).

Заметим, что к коэффициентным обратным задачам, в которых требуется определить коэффициенты дифференциальных операторов по информации об амплитудно-частотных характеристиках полей смещений, приводят несколько различных постановок, что отмечено в обзорной работе [12].

Во-первых, это собственно коэффициентные задачи, в которых необходимо найти модули Ламе (или один из них в рамках модели несжимаемой среды) и плотность как функции координат по измерению поля смещений на границе. Этот тип задач, порожденный совершенствованием моделей в геофизике, исследовался достаточно давно, начиная с классической работы Герглотца [13], в которой построено решение одномерной обратной задачи для шара; это направление далее развивалось на основе нестационарных постановок и в рамках этого подхода решен ряд обратных одномерных задач для полупространства [6]. В настоящее время этот класс обратных коэффициентных задач привлекает наибольшее внимание, предлагаются новые постановки, строятся итерационные схемы, реализуются экономичные алгоритмы [13—17].

Во-вторых, это коэффициентные задачи, к которым приводятся геометрические обратные задачи об определении геометрических характеристик малых полостей или включений; задачи такого типа можно трактовать как частный случай задач первого типа с кусочно-постоянными модулями и плотностью, и в рамках классических моделей они сводятся к обратным коэффициентным задачам для стержней и пластин с переменной жесткостью [18, 19].

В-третьих, это задачи об определении структуры существенно неоднородного предварительного напряженного состояния, который практически не исследован, хотя в рамках модели акустоупругости [20, 21] в литературе имеются результаты, на основе которых созданы и успешно эксплуатируются реальные приборы по измерению уровня однородного предварительного напряженного состояния в элементах конструкций. Колебания упругих тел в условиях неоднородного предварительного напряженного состояния в линеаризованной постановке описываются краевой задачей для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которые выражаются через компоненты тензора предварительных напряжений. Эти коэффициенты могут быть определены из решения обратной коэффициентной задачи в рамках единого подхода [12, 22].

Заметим, что можно рассматривать две кардинально различные постановки задачи идентификации в зависимости от способа измерения. В первой постановке реконструкция искомых характеристик осуществляется по измерению внутренних полей, а во второй — по измерению граничных полей в некотором частотном диапазоне. В первом случае обратная задача линейна, во-втором — существенно нелинейна. Основная трудность при изучении коэффициентных обратных задач во второй постановке состоит в формулировке операторных соотношений, связывающих искомые и измеряемые функции. Переменность коэффициентов дифференциальных операторов не позволяет построить в явном виде общие представления решений для соответствующих операторов, как это имеет место для операторов с постоянными коэффициентами. Если коэффициенты дифференциальных операторов меняются произвольным образом, то методы решения прямых задач опираются либо на аппарат интегральных уравнений Фредгольма второго рода (для стержней и пластин) и численную процедуру обращения соответствующих конечномерных операторов, либо на прямое использование конечноэлементных технологий. Построение же операторных соотношений в коэффициентных обратных задачах можно осуществить, лишь формируя итерационные процессы для отыскания неизвестных функций, которые основаны либо на обобщении теоремы взаимности [9, 12] , либо на слабой постановке [23, 24]; при этом на каждом шаге решается стандартная некорректная задача — обращение интегрального оператора Фредгольма первого рода с непрерывным (суммируемым) ядром.

1. Постановка задач и слабая формулировка. Рассмотрим установившиеся колебания с частотой ш ограниченной области V с кусочно-гладкой границей S = Su и SCT, а Hj — компоненты единичного вектора внешней нормали к S. Сформулируем постановку коэффициентных обратных задач. Пусть уравнения установившихся колебаний среды и соответствующие граничные условия имеют вид

L(a,rn)u = 0, u\Su = 0, М(а, n) u\Sa = p (1.1)

где L(a ,ю), М( а, n) — линейные дифференциальные операторы второго и первого порядков соответственно. Здесь u — вектор полевых переменных, а — вектор-функция коэффициентов с ограниченными компонентами, причем линейность имеет место и по аргументу а ; ш — частота колебаний.

Перейдем к слабой постановке [5], для чего спроектируем условия (1.1) на элемент и е h0)( V) и приведем соответствующее скалярное произведение к виду

где A(a, u, и) — трилинейная форма (линейная по каждому аргументу) переменных a, u, и, Ь(ц) — линейная форма. Эти формы имеют вид 1) для оператора упругости

где вектор коэффициентов включает в себя компоненты тензора модулей упругости и плотность; при этом требуется выполнение обычных условий ограниченности и положительности упругой энергии и плотности

A ( a, u, и) = b ( и)

(1.2)

(1.3)

2

2L(ubvbCijkl,p) = Cmuktlvitj -рю uPi

2

P ^ P(x) ^ P+, C щр,j < Cmi(x)uklu,J < CJ где C +, C , p +, p — положительные постоянные;

2) для оператора вязкоупругости в рамках концепции комплексных модулей и принципа соответствия она имеет аналогичный вид, где следует заменить Cijk¡^ C¡¡k/x, ю);

3) для оператора пороупругости — двухфазной среды [25]

А(а,и,и) = ^2L(ui,Ui,vi,Vi,a,p)dV, Ь(и) = |($¡01 + p()Vini)dS

V 50

2L(щ,Ui,vi,Vi,a,p) = АиккОц + 2Ые(и1)е(и1) + 0(иккУц + и^ц) + Яик^,1 - (1.4)

- ю (рпир1 + Р

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком