ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, № 1, с. 50-54
УДК 538.9
К ТЕОРИИ ОПИСАНИЯ ГРАФЕНА В ОБЛАСТИ АНОМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ
© 2013 г. З. З. Алисултанов1, Р. П. Мейланов2
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, Россия 2Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН, Махачкала, Россия
Поступила в редакцию 10.05.2012 г.
Предлагается возможный метод описания графена в области аномальной дисперсии. Учет электрон-электронного взаимодействия в графене приводит к искажению линейного характера закона дисперсии. Искаженный закон дисперсии можно аппроксимировать дробно-степенным законом, который приводит к дробным производным Рисса в уравнении для функции Грина. К такому же искажению приводит наличие в графене примесных атомов.
Б01: 10.7868/80207352813010034
ВВЕДЕНИЕ
Главной особенностью графена, определяющей его основные свойства, является поведение электронов, подобное безмассовым релятивистским частицам, для которых характерен закон дисперсии, имеющий коническую форму [1—3]. Данное обстоятельство делает графен идеальной системой для наблюдения квантово-электроди-намических эффектов [4, 5], что обычно сопряжено с созданием больших полей. Благодаря такой особенности этот материал перспективен для на-нотехнологии. Поэтому исследование графена, как изолированного [1—5], так и эпитаксиального [6—9], в настоящее время является весьма актуальным в физике твердого тела. В то же время необходимо отметить, что линейный закон дисперсии получается в одночастичном приближении без учета взаимодействия между электронами. В недавней работе [10] было показано, что учет электрон-электронного взаимодействия приводит к искажению конуса Дирака в графене. В работе [11] дан анализ исследования отклонения закона дисперсии в графене от линейной зависимости. Было отмечено, что нелинейный характер закона дисперсии для графена при учете электрон-электронного взаимодействия был предсказан еще авторами [12, 13]. Кроме того, отклонение от линейного закона дисперсии рассматривалось в работах [14, 15], где указывалось, что причиной отклонения от линейности может быть наличие примесей [14] и деформация кристаллической решетки графена [15].
Для рассмотрения областей с аномальной дисперсией представляют интерес различные модификации основных уравнений, используемых при исследовании графена. В данной работе мы
предлагаем метод, основанный на математическом аппарате интегродифференцирования дробного порядка [16, 17], который в последнее время часто используется при описании различных сложных систем [18—23] и зарекомендовал себя как достаточно удобный способ учета самых различных факторов как в классической системе, так и в квантовой. Этот метод в каждом из вышеперечисленных случаев отклонения от линейного закона дисперсии может стать мощным инструментом описания электронных свойств графена, позволяя более точно интерпретировать экспериментальные результаты. Кроме того, такой подход значительно расширит область применения аппарата интегродифференцирования дробного порядка и приблизит к пониманию природы возникновения в уравнениях дробных операторов как наиболее удобных в применении интегро-дифференциальных операторов.
АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ В ГРАФЕНЕ
Остановимся подробнее на случаях возникновения областей с аномальной дисперсией. Как было сказано выше, линейный спектр графена есть результат одночастичного приближения без учета электрон-электронного взаимодействия. Авторами [10] было отмечено, что линейный закон дисперсии имеет место при больших концентрациях носителей заряда (порядка 1012 см-2), когда справедливо одночастичное приближение. При сравнительно малых концентрациях носителей (109 см-2, такие концентрации для графена действительно получены [24]) существенно изменяется скорость Ферми, определяющая наклон дираковского конуса. Кроме того, при этом ста-
Рис. 1. Графики зависимости энергии от волнового вектора для различных электронов: свободных, со спектром Е(к) = к2; электронов графена со спектром Е(к) = |к|; электронов графена со спектром £(к) = |к| (1 - 0.41п \к\), который получается при учете электрон-электронного взаимодействия; электронов со спектром, аппроксими-
рованым дробно-степенным законом е(к) = |к|0 8.
Рис. 2. Графики зависимости энергии от волнового вектора: 1 — невозмущенный графен с энергетическим спектром s(k) = |k|; 2 — энергетический спектр графена при наличии примесных атомов (результат работы [14]); 3 — аппроксимация спектра дробно-степенным законом s(k) = const + |k|14 .
новятся существенными ферми-жидкостные эффекты, приводящие к отклонению от линейного закона дисперсии [10]. Следует отметить, однако, что при этом ферми-жидкостные эффекты не описываются стандартной теорией Ландау—Силина. Попытка применения идей теории неферми-жидкостных (маргинальной ферми-жидкости) систем [25—27] к двумерному электронному газу была предпринята в работах [12, 13]. Было показано, что учет взаимодействия между электронами приводит к следующему закону дисперсии:
6(к) = к (1 - 0.41п|к|).
На рис. 1. изображены графики зависимости энергии от волнового вектора, приведенные в работе [11]. Подобное искажение дираковского конуса при учете электрон-электронного взаимодействия было продемонстрировано также авторами [10].
Рассмотрим другой случай отклонения закона дисперсии от линейной зависимости. В работе [14] было показано, что примеси в графене приводят к появлению щели в спектре и отклонению закона дисперсии от линейного. Переходы электронов на соседние атомы в графене, определяющие закон дисперсии, при наличии примесных атомов существенно изменяются. Это связано с тем, что энергетический уровень примесных атомов отличается от энергетических уровней атомов графена. В связи с этим параметром, определяющим отклонение закона дисперсии от линейного, является вероятность перехода электронов на примесные атомы, которая пропорциональна концентрации последних [14]. На рис. 2. приведены дисперсионные кривые, полученные в работе [14]. Для сравнения здесь также приведена кривая
дробно-степенной зависимости энергии от волнового вектора.
Анализируя данные [14], а также дисперсионные кривые [10—13], которые также изображены на рис. 1 и 2, можно сделать вывод, что в общем случае "неидеального" графена закон дисперсии можно аппроксимировать дробно-степенным законом.
МЕТОД ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПРИ ОПИСАНИИ ГРАФЕНА С АНОМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ ДРОБНО-СТЕПЕННОГО ТИПА
Обсудим возможность возникновения дробных операторов при описании областей с аномальной дисперсией. С учетом вышесказанного обобщенный закон дисперсии для "неидеального" графена запишем в виде следующей аппроксимации:
в (к) = Ха к" , (1)
где 1 < а < 2, ха — постоянный множитель, соответствующий данному а. При а = 1 х1 = Ты¥. Вопрос о межчастичном потенциале взаимодействия, приводящем к спектру (1), рассмотрен в приложении. Спектру (1) соответствует уравнение функции Грина
(Ю-Ха Щ ") G (к, ю) = 1.
(2)
Применяя преобразование Фурье к уравнению (2), получим уравнение для функции Грина в коорди-натно-временном виде:
i f+ Х a (Al) . дт
а/ 2
G(1,1') = 8(1 - 1').
(3)
52
АЛИСУЛТАНОВ, МЕЙЛАНОВ
Здесь (Д^а2 — дробная производная Рисса, определенная в одномерном случае как в [17]:
(А , )а 2 / (х) =
1
52
Г (2 - а)ео8 (2 -а))дх
I
х а-1'
'■(к) = Х1/2 Щ12 ■
(4)
Спектральная функция для электронов с таким спектром запишется так:
(5)
г
А (к, ю) =-;-.
(ю-Х1/2 Щ )2 +г2
Тогда для плотности состояний получим:
кв
Г
Р (Ю) = [Мк---
0 (2п)2 (к"2 )2 + Г2
(6)
где кв — волновой вектор обрезания, введенный в работе [8]. Интегрирование дает следующее выражение для плотности состояний:
р (ю) = (-ю3 + ЗюГ2)
. ю - Х^У^в . ю
аг^---arctg —
V Г ГУ
ю
згю2, 1п (ю - Х1/^УкВ) +г
2
2 , ю +Г
2 2 + 2 (гх^ТкВ )ю+Гх22к
(7)
Заметим, что точно получить выражение для плотности состояний графена можно при значе-
2 0
ниях а, удовлетворяющих условию: а =-= 2,
т +1
2 2
1, -, -, ... , где т = 0, 1, 2, ... . Можно показать, что
3 4
в приближении Г ^ 0 плотность состояний графе-на с аномальной дисперсией типа (1) имеет вид:
" 2_1 р(ш) = I Гха 8(ю-х)х = 1юа . а J а
(8)
где 1 означает ^1х1, 1' — <Е,гХг. Здесь и ниже предполагается, что Й = 2т = т0= г0 = 1, и используются безразмерные переменные времени т = t/t0 и пространственной координаты £, = г/г0; 10 и г0 — некоторые характерные время и длина системы. Заметим, что если взять в качестве дробной производной оператор (А1)а2 = (А1 ) (А1 ) , где 0 < у < 1, а также а = 2у, то получим более широкую область изменения порядка дробной производной 0 < а < 2, а следовательно и степени, в спектре. Полугрупповое свойство (А1 )(а+в)2 = (А1)а2 (А1 для производных Рисса было подробно доказано в работе [28].
Рассмотрим плотность состояний графена с корневым законом дисперсии. Случай корневой зависимости представляет собой один из случаев, позволяющих получить точное аналитическое выражение для плотности состояний. Имеем:
Рассмотрим возможность применения предложенного метода к перечисленным выше случаям отклонения от линейного спектра. Отклонение от линейного спектра при учете ферми-жидкостных эффектов можно описать выражением (1), где степень а будет определяться концентрацией носителей в графене, т.е. а = а(п). Очевидно, что идеальный случай линейного спектра соответствует достаточно большой концентрации носителей заряда. Это условие можно записать в виде а(п ^ да) = 1. Как было показано выше, при низких концентрациях (п < 1012 см-2) наблюдается отклонение от линейного спектра. Такими концентрациями и будут определяться значения а в спектре (1). Таким образом, в этом случае природа возникновения дробно-степенного спектра, а следовательно и дробных производных, связана с электрон-электронным взаимодействием, интенсивность которого определяется концентрацией
е (к) = X а(п) \к\
х(и)
Другой случай отклонения от линейного закона дисперсии связан с наличием примесей в графене. Следовательно, описывая примесный гра-фен выражением (1), можно заключить, что степень в этом законе будет определяться кон
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.