РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 53, № 6, с. 726-732
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
УДК 533.9
К ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ С ПЛАВНО НЕОДНОРОДНЫМ ПЛАЗМЕННЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ
© 2008 г. М. В. Кузелев, Н. Г. Хунджуа
Поступила в редакцию 22.11.2007 г.
Рассмотрены электростатические поверхностные волны в плавно неоднородной плазме, находящейся в волноводе. Для плазмы с линейно-постоянным профилем плотности показано, что в разных диапазонах волновых чисел возможны четыре типа поверхностных волн, найдены условия их существования, комплексные дисперсионные зависимости, структуры полей. Для плазмы с произвольным профилем плотности получены комплексные частоты слабозатухающих поверхностных волн в длинноволновом приближении.
1. Данная работа продолжает цикл исследований [1-3] поверхностных ленгмюровских волн в холодной электронной плавно неоднородной плазме. Из уравнений Пуассона и холодной гидродинамики следует, что для потенциала ф(/, х, z) = = ф (х)ехр(-г'ю? + ikz) электрического поля таких волн, распространяющихся перпендикулярно направлению неоднородности плазмы, имеет место уравнение
d
] d ф
----- [ю2- ю! ( x )] ------- k2z [ю2- юр( x )]ф = 0 (1)
dx
dx
(плотность плазмы неоднородна вдоль оси х, волны распространяются вдоль оси z). Здесь юр(х) -электронная ленгмюровская частота, ю - частота, к - волновое число. В работе [2] были рассмотрены потенциальные волны в плазме, ленгмюровская частота которой является следующей линейно-постоянной функцией пространственной координаты х:
22 Юр ( x ) = ю p01
0, x < 0
x/L, 0 < x < L,
1, L < x
(2)
где юр0 и Ь - постоянные. В работе [3] было показано, что при наличии у плазмы (2) границ в направлении неоднородности, свойства поверхностных волн существенно изменяются, вплоть до полного исчезновения этих волн [4]. Однако подробного исследования поверхностных волн в ограниченной неоднородной плазме в [3] проведено не было. Именно такому исследованию в основном и посвящена данная работа, в которой рассмотрены волны в плазме с профилем плотности (2), находящейся в плоском волноводе, образованном проводящими плоскостями х = -Ь0 и х =
L + L0, где L0 > 0. Кроме того, даны некоторые обобщения на случай плазмы с произвольной неоднородностью плотности.
2. В области неоднородности плазмы общее решение уравнения (1) с ленгмюровской частотой (2) имеет вид [2, 4]
ф (Ç) = Ci Ko( х (¿о2 - Ç)) + С21 о( x (со2 - Ç)), 0 1
Ко(х(сС2 - Ç)) = (3)
f K о( х (¿с2 - Ç)), Re ¿с2
1 K0(х(£, - ¿С2)) - isn10(х(£, - ¿С2)), > Rec^^^
Здесь I0(x) - функция Инфельда, K0(x) - функция
Макдональда, x = kL - безразмерное волновое
число, ¿Ъ = ¿/¿p0 - безразмерная частота, = x/ L. При записи решения (3) учитывалось, что особую
точку ю2 = ¿p (x) уравнения (1) обходят на комплексной плоскости x снизу - правило Ландау [5, 6]. В областях, где плотность плазмы постоянна, решения уравнения (1), учитывающие равенство на проводящих границах волновода потенциала ф нулю, записываются следующим образом:
ф (£) = A exp ( х£)[ 1-exp (-2х^ ) exp (-2х£)],
Чо 0,
ф (Ç) = B exp (-х Ç)x (4)
х [ 1 - exp[-2х( 1 + ^о)]exp(2х 1 1 + ^о, где ^ = L/L (^ е [0, -)).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
к
Рис. 1. Комплексные дисперсионные кривые поверхностных волн неоднородной плазмы в волноводе больного размера, ^ = 10.
Подставляя решения (3) и (4) в условия непрерывности потенциала ф (5) и его производной в точках 5 = 0, 5 = 1 и исключая постоянные А, В, С1, 2, получим следующее дисперсионное уравнение для определения спектров частот поверхностных ленгмюровских волн в волноводе с неоднородной плазмой (2):
[¡0(xСО2) + Л(x)¡1 (xСО2)] X
х {[л(x50)к 1 [х(1 - сс2)] - Ко[х(1 - сс2)]] + + 1п[л(х5о)¡1 [х(1- сс2)] + ¡о[х(1- сс2)]]} = (5) = - [К0(хСС2) -Л(х50)К1 (хСС2)]х
X {¡0[x(1 - СС2)] + Л(x50)¡1 [х(1 - С)]}.
Отметим, что помимо волн, которые мы здесь исследуем и называем поверхностными, в неодно-
родной плазме имеются и объемные волны непрерывного спектра С = Ср(х) [2, 7], которые уравнением (5) не описываются.
3. При 5о —^ - неоднородная плазма в неограниченном пространстве - дисперсионное уравнение (5) переходит в дисперсионное уравнение работ [2, 3]. В случае достаточно большого 50 (см. далее) решения дисперсионного уравнения (5) и соответствующие этим решениям волны такие же, как и при 50 = (см. работы [2, 3]). На рис. 1 представлены результаты численного решения дисперсионного уравнения (5) при 50 = 10. Каждому значению безразмерного волнового числа х = кЬ соответствуют две безразмерные комплексные частоты
2 (х). Причем имеются две области значений х, в пределах которых зависимости Со^ 2 (х) качественно различные. Таким образом, в неоднородной плазме с профилем (2) существуют четыре поверхностные волны.
В области х < а - 0.45 имеется слабозатухающая поверхностная волна с частотой СС1 (х) = Яе Сс1 + + Лш СС1, определяемой при х < 1 следующей приближенной формулой:
~ 2 1 .П ~2/ ч
СО = --18 X = С°1 (х)
С = (1-«П кЬ
72
(6)
Действительная и мнимая части составляющих электрического поля данной волны в зависимости от поперечной координаты 5, вычисленные по формулам (3) и (4) при х = 0.3, представлены на рис. 2а,б: составляющая Ех ~ йф /¿5 (рис. 2а) и составляющая Е7 ~ ф (рис. 26, жирная линия - действительная часть, тонкая линия - мнимая часть). Характерным является разрыв функции Е7(5) в точ-
Ех 1
(а)
2.0 -1.0 5
Е7
(б)
Рис. 2. Структура поля слабозатухающей поверхностной плазменной волны в длинноволновой области спектра.
Ег
(а)
2.0 -1.0 5
Ег
-0.5 0
(б)
-0.4
-0.8 у/
-1.2 1 1 1111
0.5
1.0
1.5
2.0 5
Рис. 3. Структура поля поверхностной волны, локализованной ближе к границе: 5 = 1 (а) и 0 (б).
ке 5, в которой действительная часть частоты (6) равна локальной плазменной частоте, т.е. юр(х) =
= юр0/д/2. Разрыв Е7 связан с резонансным взаимодействием поверхностной волны и локальной объемной волны непрерывного спектра - плазменный резонанс. Это же взаимодействие является причиной затухания поверхностной волны. В отличие от Е7(5) составляющая поля Ех(5) является непрерывной функцией 5. Следуя монографии [6] можно показать, что разрыв Е7 не является физическим эффектом: при учете сколь угодно малого теплового движения электронов и столкновений вместо точки разрыва возникает целая пространственная область
5е (51,52), 51 = КеС0-л/3|1шС
5 2 = Яе СС + л/3|1ш со|,
(7)
СС2 ( X ) =
1-1
(8)
П X
бозатухающей поверхностной волны (6) она может не учитываться.
В области волновых чисел х > а - 0.45 исследованные решения дисперсионного уравнения исчезают, сменяясь на качественно новые корни. Изменение характера дисперсионных кривых хорошо видно из рис. 1. Анализ дисперсионного уравнения (5) при 50 > 1 показывает, что точка х = а - 0.45 является точкой ветвления комплексных функций СС (х). Для комплексных частот в области волновых чисел правее точки ветвления имеют место асимптотические формулы
в которой потенциал ф (5) и составляющие поля претерпевают быстрые изменения большой амплитуды.
Из рис. 1 также следует, что в области х < а -- 0.45 имеется еще одна ветвь плазменных волн с комплексной частотой СС2 (х) = Яе СС2 + Дш СС2. При х < 1 эта частота определяется следующим приближенным решением уравнения (5):
Яе СС1 (х —^ —^ 1, Яе СС2 (х ——► 0, 1ш СС1 2 (х —► —► -0,
(9)
Формула (8) дает комплексную асимптотику кривой СС2 (х) (см. рис. 1) при х —► 0. В длинноволновой области плазменная волна со спектром (8) является сильнозатухающей, поэтому на фоне сла-
Слабозатухающие волны (9) обусловлены возмущениями плотности плазмы, локализованными вблизи к границам области неоднородности -тем ближе, чем больше х. На рис. 3 представлены составляющие Ех электрического поля этих волн
(рис. 3 а - поле волны с частотой СС1, рис. 36 - поле волны с частотой СС2), рассчитанные для х = 0.6. Легко проверить, что наиболее сильное изменение Ех приходится на окрестности тех точек, где С = Ср(х) (в этих же точках составляющие Е7 терпят разрыв). При х —► ^ исследуемые волны локализуются в тонких слоях на границах области неоднородности плазмы, переходя в так называемые граничные поверхностные плазменные волны [2, 3].
ю
Рис. 4. Комплексные дисперсионные кривые поверхностных волн неоднородной плазмы в волноводе при ^ = 3 (а), ^ = 2.4 (б), ^ = 2.3 (в), ^ = 2.25 (г).
4. Перейдем теперь к рассмотрению изменений, к которым приводит наличие волновода.
В частном случае = Ь0/ Ь = 0 дисперсионное уравнение (5) сводится к следующему:
¡о(%ю2){К0[%(1 - ю2)] - 'п¡0[%(1 - ю2)]} =
= Ко (% ю2) ¡о [ % (1 - ю2)].
(10)
Аналитический анализ уравнения (10) возможен в длинноволновом пределе % < 1, когда вместо (10) имеем
2
, 1 - со . А 1п 2 + I п = 0.
ю
(11)
Поскольку 1п(-1) = 'п, то из (11) следует равенство
22
оо - 1 = оо , которое не может быть удовлетворено ни при каком (конечном) ю. Численное исследование показывает, что уравнение (10) не имеет решений (соответствующих слабозатухающим волнам) и при произвольных значениях %. Это означает отсутствие собственных поверхностных волн при
полном заполнении волновода плазмой с линеи-ным профилем плотности [4]. Безусловно, что объемные волны непрерывного спектра с = юр(х) существуют. Ситуация меняется, если параметр отличен от нуля.
Действительно, при % <§ 1, но при произвольном значении произведения %^0 = кгЬ0, дисперсионное уравнение (5) преобразуется к виду
% 1п
1- со-
со
+ - Ш (% )
2со - 1 со2(со2- 1)
= 0. (12)
1п(ю - 1) - 1пю =
1
+
1
0 I ~ 2 , ■ ~2
со -1 со
(13)
Выясним условие существования (или отсутствия) поверхностных волн (6) и (8) при конечном значении параметра = Ь0/Ь. Приближенно это делается при помощи уравнения (12). Пренебрегая в нем логарифмическим членом, имеем
с2 (%) = 2 (11-4-^.(14)
Из (14) для точки ветвления функции со1,2 (%) следует уравнение
При —► 0 уравнение (12) переходит (11). При %^0 > 1 из уравнение (12) получаются решения (6) и (8), описывающие поверхностные волны, дисперсионные кривые которых расположены на рис. 1 левее точки ветвления. Если же %^0 < 1, но Ф 0, то уравнение (12) может быть записано следующим обра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.