ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 2, с. 221-226
УДК 551.574+551.576
К ТЕОРИИ РОСТА ГРАДИН
© 2008 г. Р. Г. Закинян
Ставропольский филиал Московского государственного университета приборостроения и информатики
355044 Ставрополь, просп. Кулакова, 18 E-mail: zakinyan@mail.ru Поступила в редакцию 07.06.2006 г., после доработки 15.01.2007 г.
Светлой памяти профессора Льва Григорьевича Качурина посвящаю
Анализ существующих теорий роста градин показал, что существуют два различных подхода, объясняющих слоистую структуру градин. Л.Г. Качуриным было показано, что слоистая структура льда на поверхности предмета, помещенного в поток переохлажденного водного аэрозоля, определяется равновесной толщиной пленки. Другой подход основан на уравнении теплового баланса на поверхности градины и введении понятия критической водности. В настоящей статье выясняется смысл критической равновесной толщины пленки и устанавливается связь между двумя существующими критериями, определяющими переход от сухого режима роста градин к мокрому режиму.
1. ВВЕДЕНИЕ
Современные представления о росте градин опираются на теорию Шумана-Лудлама [1, 7-9, 1115]. При этом трудной проблемой остается учет наличия пленки на поверхности градины, существенно влияющей на термодинамику роста градины.
Многие исследователи [1, 5, 6, 12, 13] решали эту проблему. Анализ существующих теорий роста градин показал, что существуют два различных подхода к решению данной задачи.
Первый подход основан на уравнении теплового баланса на поверхности градины при отсутствии пленки воды на ней и введении понятия критической водности. Данный подход развит в работах [14] и [15]. Приравняв скорость движения фронта кристаллизации и скорость притока капель при условии, что все капли на поверхности градины замерзают, не образуя пленку воды, получают выражение для критической водности облака. Если водность облака больше некоторой критической водности Шумана-Лудлама Ь, то считается, что на поверхности градины должна образоваться жидкая пленка, которая должна расти до некоторого значения, после чего происходит срыв капель с поверхности пленки. Если же водность облака q < ^ь-ь капли кристаллизуются на поверхности градины, не сливаясь в пленку, т.е. градина растет в сухом режиме, и при этом образуется матовая структура льда. Другими словами, критическая водность Шумана-Лудлама - это такая максимальная водность облака, при которой капли, оседающие на градину, замерзают, не образуя пленки.
Л.Г. Качуриным в [5] было показано, что не всякая пленка может устойчиво сохраняться на поверхности предмета. Слоистая структура льда на поверхности предмета, помещенного в поток переохлажденного водного аэрозоля, определяется равновесной толщиной пленки Нь. Скорость роста толщины пленки воды на поверхности градины определяется разностью скоростей притока капель и движения фронта кристаллизации (рисунок).
Фронт
кристаллизации
Рост пленки на поверхности градины.
h
Если толщина пленки воды на поверхности градины Н < Нь, то пленка неустойчива и толщина пленки с течением времени уменьшается. При этом капли замерзают на поверхности градины, не образуя пленку, что приводит к образованию матовой неоднородной структуры льда. В этом случае скорость движения фронта кристаллизации больше, чем скорость притока капель на поверхность градины. Если же толщина пленки Н > Нь, то пленка устойчива, начинает расти и при этом образуется прозрачная структура льда. В этом случае скорость притока капель больше, чем скорость движения фронта кристаллизации. Рост льда происходит под пленкой с образованием прозрачной однородной структуры льда. Таким образом, равновесная толщина пленки - это такая толщина, при которой скорость ее роста за счет притока капель равняется скорости движения фронта кристаллизации.
Недостатком теории Качурина является то, что в ней не учтен тепломассообмен на поверхности пленки и температура поверхности пленки считается постоянной. Кроме того, из анализа экспериментальных данных Качурин приходит к понятию "критической равновесной толщины пленки", которое непосредственно из теории не вытекает. Смысл же этого понятия остается открытым.
Учет тепломассообмена на поверхности пленки был проведен Жекамуховым [1]. В результате исследований Жекамухов пришел к выводу, что равновесная толщина пленки не определяет режим роста градины. Согласно Жекамухову, введение понятия равновесной толщины пленки в теории Качурина связано с ошибочным представлением о постоянстве температуры поверхности пленки. При корректном учете тепломассобмена толщина пленки не входит в выражение для теплового баланса в теории Жекамухова, и поэтому в понятии равновесной толщины пленки нет необходимости.
Следует, однако, заметить, что данный вывод Жекамухова следует из необоснованного допущения. Поэтому вопрос о критерии образования слоистой структуры льда остается открытым.
Заметим, что были и другие попытки учесть влияние пленки на режим роста градины. В частности, Р. Лист [12, 13], развивая теорию Шумана-Лудлама, исходит из уравнения теплового баланса, в котором учитывается, что не вся вода замерзает. Однако анализ теории Листа, который мы здесь не приводим, показал, что данный подход не является корректным. В частности, из теории Листа следует, что при реальных параметрах атмосферы доля затвердевшей части может принимать значения больше единицы и меньше нуля, что не имеет физического смысла.
В [2-4] теория Качурина была развита с учетом тепло-массообмена на поверхности пленки и установлены связи между существующими теори-
ями роста градин: Шумана-Лудлама, Качурина и Жекамухова. Однако вопрос о "критической равновесной толщине пленки" и ее смысле так и остался открытым.
Целью настоящей статьи является построение теории роста градин, из которой существующие теории Шумана-Лудлама, Качурина, Жекамухова вытекали бы как предельные случаи.
2. ОБЪЕДИНЕНИЕ ТЕОРИЙ
Образование, рост и кристаллизацию пленки на поверхности градины можно представить происходящим в два этапа. На первом этапе происходит спонтанное образование пленки с некоторой начальной толщиной Н0. В настоящей работе мы не рассматриваем кинетику спонтанного образования устойчиво сохраняющейся на поверхности градины пленки с начальной толщиной Н0. Можем только отметить, что первый этап является по отношению ко второму относительно быстрым. Второй этап относительно первого является медленным. На втором этапе собственно и происходит кристаллизация и рост пленки. Несмотря на сказанное выше, в результате исследования мы установим зависимость начальной толщины устойчиво сохраняющейся пленки от параметров внешней среды.
При наличии пленки на поверхности градины мы должны записать два уравнения теплового баланса: одно - на фронте кристаллизации, другое - на поверхности пленки. В случае, когда на поверхности градины имеется пленка, скорость движения фронта кристаллизации Т будет определяться теплоотводом через пленку. Уравнение теплового баланса на фронте кристаллизации запишется в виде [1, 6]:
т йт лйТ Р Ьс -Г + X ~Т
йг йт
= 0,
(1)
где р - плотность воды; X - коэффициент молекулярной теплопроводности воды. Уравнение (1) -есть условие Стефана [10], при этом мы пренебрегли оттоком тепла внутрь ледяной сферы [1, 11].
Уравнение теплового баланса на поверхности пленки т" запишется в виде:
-4 п Я2 X йТ
йт
= 2пЯХаТ - Т„) +
(2)
+ 2 п (р, - рм),
где Ь - удельная теплота испарения воды; Ха - коэффициент теплопроводности воздуха; Б - коэффициент диффузии водяного пара в воздухе; р,, р^ - плотности водяного пара у поверхности градины и в окружающей среде; Т,, Т- температура поверхности пленки и окружающей среды соответственно; № - число Нуссельта; - число Шервуда; Я - радиус градины.
Примем, что в пленке устанавливается стационарное распределение температуры. Так как толщина пленки Н намного меньше размера градины, то можно записать [2 - 4]:
Т о- Та
dT dr
dT dr
h - h 0
(3)
T0- Ts = (h - hо)(Ts - TJ-
2 XR
Для шара [1] Nu
1 TT-. 1/2™ 1/3
= 2 + 2yRe Pr ,
Sh = 2 + 2yRe1/2Sc1/3,
(5)
(6) (7)
Введем следующее обозначение: К + DLb Sh/Nu
G =
X
-Nu = G0Nu.
(11)
где Т0 - температура фронта кристаллизации, принимаемая равной Т0 = 273 К. Принятое допущение не является принципиальным для конечного результата, оно только лишь позволяет исследовать проблему аналитическими средствами. В формуле (3) мы предположили, что в начальный момент времени на поверхности градины имеется пленка толщиной Н0 с равномерным распределением температуры, т.е. температура по всей толщине пленки одинакова и равна Т0. Изменение толщины пленки и температуры поверхности пленки происходит при дальнейшем росте градины, в результате тепломассообмена с поверхности пленки.
В первом приближении можно положить [1] р, - р. = 8(Т, - Т.), (4)
где 8 - 2.7 х 10-4 кг(м3 К).
Подставив (3) в уравнение теплового баланса на поверхности пленки (2) с учетом (4), получим
Х„ Ш + 08ЪЬ 8
В [2] было предложено безразмерную величину О называть числом Жекамухова. Учитывая, что для градины 8И/Ки - 1 [1, 11], найдем О0 - 7 х 10-2 (постоянная Жекамухова [2]). Сделаем замену переменных Т0 - Т = 6. Величина б характеризует переохлаждение. Окончательно для температуры поверхности пленки из формулы (5) получим
б, = 6. Г+ТГТТ' (12)
Н, + Н - Н0
2 К
где Н, = —. Учитывая формулу (11), для Н, полу-
где Re - число Рейнольдса, Pr - число Прандтля, Sc - число Шмидта, у = 0.36 - эмпирический коэффициент.
Учитывая, что для градины [1, 11]
Sh/Nu - 1 и Nu - ßR3/4, (8)
где ß - 3093 м-3/4, для скорости движения фронта кристаллизации получим
dr1 Xa + DL5„
d£ = --Шß(Ts - TJ. (9)
dt 2p LcR1/4
Скорость роста градины за счет притока капель при наличии пленки будет сводиться к скорости движения поверхности пленки в радиальном направлении. Обозначим радиус поверхности пленки через r", тогда скорость роста градины за счет притока капель будет определяться выражением [1 - 5]
dr" qEV
-г- = — = u, (10)
dt 4p
где q - водность облака; E - коэффициент захвата; V - скорость падения градины. Формула (10) получаетс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.