научная статья по теме К ТЕОРИИ ВОСХОДЯЩИХ КОНВЕКТИВНЫХ СТРУЙ Геофизика

Текст научной статьи на тему «К ТЕОРИИ ВОСХОДЯЩИХ КОНВЕКТИВНЫХ СТРУЙ»

ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 2, с. 178-185

УДК 551.509.6:551.558.1:532.522:536.6.011.7

К ТЕОРИИ ВОСХОДЯЩИХ КОНВЕКТИВНЫХ СТРУЙ

© 2008 г. Л. X. Ингель

Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 г. Обнинск, Калужская обл., ул. Победы, 4 E-mail: lingel@obninsk.com Поступила в редакцию 28.03.2007 г., после доработки 31.05.2007 г.

Представлены некоторые новые результаты, относящиеся к теории восходящих конвективных струй над источниками тепла и количества движения. Рассмотрение не ограничивается свободно-конвективными или напорными струями - возможны и "смешанные" ситуации. Известная модель обобщена на случай заметного вклада эффектов плавучести водяного пара. Доказано существование универсального закона сохранения, справедливого для любых гипотез о вовлечении. Выведен простой приближенный критерий возможности "пробивания" струями задерживающих слоев. Найдено аналитическое решение, описывающее влажноадиабатический подъем струи выше уровня конденсации. Сделаны оценки, относящиеся к влиянию струй на перенос пассивных примесей. Предложена модель горизонтального растекания теплого воздуха, приносимого струей, под интенсивным задерживающим слоем.

1. Теории восходящих конвективных струй посвящено много исследований (см., например, [1-9] и библиографию к этим публикациям). Это - содержательная задача, имеющая важные геофизические приложения (некоторые из них подробно рассмотрены, например, в [2, 3, 5, 10]). В настоящей работе представлены некоторые новые относящиеся сюда теоретические результаты.

2. Теоретическая модель. Примем за основу модель стационарных турбулентных струй, используемую, например, в монографии [2] (она близка и к ряду других рассматриваемых в литературе моделей [1, 4, 5, 8]). Предполагаем, что на некотором уровне г = 0 действуют стационарные источники тепла и вертикального количества движения мощностью 2е и Qw соответственно, локализованные в одной и той же области малых размеров. Предполагается, что мощность этих источников достаточно велика, так что над ними образуется относительно тонкая турбулентная осесимметричная восходящая струя. С использованием приближения пограничного слоя, вытянутого вдоль оси струи и гипотезы подобия профилей вертикальной скорости и температурного возмущения в струе для этих возмущений выведена система уравнений

4 (wR)2 = а аg 0 Я2, (1)

аг

4 (и0 Я2) = --Г иЯ2. (2)

аг а3

Здесь г - вертикальная координата, Я(г) - радиус струи (эта функция определяется интенсивностью вовлечения), и и 0 - вертикальная скорость

и отклонение температуры на оси струи соответственно, а = 1/Т* - термический коэффициент расширения воздуха Т* - средняя температура в рассматриваемом слое воздуха, g - ускорение свободного падения, Г(г) = уа - у(г) - отличие вертикального градиента температуры от сухо-адиабатического (Г > 0 соответствует устойчивой стратификации), а, - безразмерные коэффициенты, значения которых выражаются через интегралы от предполагаемых радиальных профилей и и 0. В [2] из эмпирических данных приняты радиальные зависимости типа лД - (г/Я(г))2, для которых а1 = а3 = 1/4, а2 = а4 = 1/3.

Напомним физический смысл системы (1), (2). Величина (иЯ)2 пропорциональна вертикальному количеству движения элемента струи, произведение аg0Я2 - работе, совершаемой силами плавучести при подъеме элемента струи. Эта работа и приводит к изменению с высотой количества движения. Аналогичным образом теплосодержание элемента струи (относительно окружающей среды) и0Я2 меняется с высотой пропорционально Ги, поскольку в процессе его подъема меняется температура окружающей его среды. Рассматриваемая дифференциальная модель мало отличается от известных интегральных моделей (например, [1]). Отметим, что при выводе уравнений (1), (2) предполагалось, что струя вытянута по вертикали. Поэтому они могут существенно нарушаться, например, в области горизонтального растекания струи под задерживающим слоем, а также непосредственно над источником, где еще не сформировалась четко выраженная струя.

Аналогичное (2) уравнение можно вывести и для примесей, например (ниже уровня конденсации), для удельной влажности воздуха

, 02ч а4 dq „2

— (wq Я ) =---г1 wR .

йг а3йг

(3)

Здесь черта обозначает фоновый профиль влажности, штрихом обозначено соответствующее возмущение в струе; можно предполагать, что безразмерные коэффициенты в правой части (3) такие же, как и в уравнении для температуры.

Если считать фоновый профиль Г(г) известным, то уравнения (1), (2) представляют собой систему двух уравнений с тремя неизвестными w, б, Я (дополнительное включение уравнения (3) добавляет одно уравнение и одно неизвестное). Для замыкания системы требуется привлечение дополнительной информации или гипотез. Нередко используется гипотеза о вовлечении, пропорциональном периметру сечения струи (т.е. ее радиусу Я(г)) и вертикальной скорости [1]. Иными словами, вовлечение предполагается пропорциональным площади боковой поверхности элемента струи 2пRw. Тогда можно записать третье уравнение, которое замыкает систему [1]. В [2] используется более простая схема: на основе теоретических соображений и опытных данных принимается, что радиус турбулентной струи линейно возрастает с высотой:

Я (г) = в г, (4)

где значение безразмерного коэффициента в находится в пределах 0.1-0.2. Далее в ряде случаев будет использоваться такая гипотеза замыкания.

Рассмотрение точечных источников на нижнем уровне г = 0 сопряжено с некоторыми трудностями для численного моделирования. Эти трудности в большой степени носят формальный характер, поскольку известно, что динамика струй от локальных источников вдали от них мало зависит от деталей геометрии этих источников - она определяется лишь интегральными интенсивностями источников тепла и количества движения. Поэтому задачу можно регуляризировать - заменить точечные источники источниками конечного радиуса Я = Я^, находящимися на некоторой малой высоте г = г5. Конкретные значения г5 и связанные между собой соотношением (4), при этом нередко несущественны - с высотой струя быстро "забывает" об этих значениях, и решения практически не зависят от них. Источники количества движения (направленная вверх сила) и тепла, от которых реально зависят решения, согласно [2], равны соответственно

Qw = 2пРа1 я2,

бе = 2прсраъ м>$Д2

Подробная сводка и анализ решений для сухой атмосферы содержатся, например, в [2]. Ниже приведено простое обобщение на случай существенных эффектов плавучести водяного пара и получен ряд других новых, насколько известно автору, результатов.

3. Учет эффектов плавучести водяного пара.

При учете плавучести водяного пара температурное возмущение в уравнении (1) следует заменить возмущением виртуальной температуры б^

й , г>ч2 а2 П Г>2

-(wR) = -а£еVя ,

йг а1

5 ,

(5)

где б, = б + а q', 5 ~ 0.61. Умножив уравнение (2)

на а и сложив его с (3), умноженным на 5, приходим к уравнению:

± (w е^2) = —4 г^я2,

йг а3

где

Г^ (г) = Г +

а йг

(6)

(7)

где р - средняя плотность воздуха, ср - теплоемкость воздуха, индекс 'У' относится к значениям величин на уровне г5.

Водяной пар может вносить заметный вклад в фоновую стратификацию плотности. Рассмотрим численный пример, относящийся к ситуации над теплой влажной поверхностью. Если температура поверхности составляет 28°С, то насыщению соответствует абсолютная влажность воздуха а ~ ~ 27.2 г/м3. Пусть температурная стратификация устойчива: Г = 0.2 х 10-2 К/м, а влажность близка к насыщению. Тогда фоновый вертикальный градиент абсолютной влажности превышает 10-2 г/м4, а |dq/йг\ ^ 10-5 м-1. Дестабилизирующий вклад водяного пара в (7) в этом случае эквивалентен температурному градиенту около 0.15 х 10-2 К/м, т.е. неустойчивая стратификация влажности в большой степени компенсирует устойчивую температурную стратификацию. При однородной по высоте устойчивой стратификации, согласно известным моделям [1, 2], высота подъема свободноконвек-тивной струи убывает с усилением устойчивости пропорционально градиенту плотности в степени -3/8. Таким образом, в рассмотренном примере, благодаря эффектам плавучести водяного пара, высота подъема такой струи должна увеличиваться более чем в полтора раза.

Отметим, что в подобных фоновых условиях конвективная струя над источником тепла может быть не теплее, а холоднее окружающей среды. Это особенно хорошо видно в предельном случае полной взаимной компенсации стратификаций температуры и влажности, когда Г^ = 0. Для свободно-конвективной струи при нейтральной стратификации плотности имеет место известная асимптотика

w -

• г-1/3, Qv

-5/3

[1, 2, 4, 5]. В этом случае из (2) сле- или

дует: 0 —Гг < 0. В результате действия источника тепла, струя с высотой становится все более "холодной". Для других моделей и форм конвекции подобные эффекты "отрицательной теплоемкости" подробно проанализированы и разъяснены в [9, 11] (см. также библиографию к этим работам).

4. Инвариант. Разделим (5) на (6):

d( wR )2 a2a3agQyff

d(wQvR ) a1 a4TvwR

= -a-

ag Qv wR Г v ( wR) 2

(8)

или

dW

d Q

= -a

ag Q r„ W

(9)

где введены обозначения W = wR, Q = wQR2 =

= TV QvR; a = a2a3/a1a4 - безразмерный параметр порядка единицы. При rv = const (9) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными; решение можно записать в виде закона сохранения:

w4+aag Q2 = w0+aag Q0,

Г

Г

(10)

W4 + ^02 = Г2

-1- IT

f

2

\

2 N q2 w +— Qv

Г2

v 1 v J

24

w R ,

(11)

( w + q2)w = (1 + q0)| r

Q = ±

i + Q0 ir,

R

w

- W

(11a)

Полученные универсальные соотношения позволяют, например, выразить вертикальную скорость на уровне нейтральной плавучести г, где = 0:

N2 2

R0

и (г) = 4А! Ио + П00 ВД.

В частном случае напорной струи в нейтрально стратифицированной среде, в которой температурные возмущения отсутствуют г из (10) следует известное соотношение [5]

W = W0, w (z) = w0

R0

где индексом "0" обозначены величины, относящиеся к любому фиксированному уровню г0. В качестве последнего в ряде случаев удобно рассматривать "начальный" уровень, где сформировалась тонкая струя. Значение параметра а, согласно [

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком