научная статья по теме К ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ПРАВИЛЬНОГРАННЫХ ТЕЛ Математика

Текст научной статьи на тему «К ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ПРАВИЛЬНОГРАННЫХ ТЕЛ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 419, № 3, с. 320-323

= МАТЕМАТИКА =

УДК 514.12+512.542.2

К ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ПРАВИЛЬНОГРАННЫХ ТЕЛ

© 2008 г. А. В. Тимофеенко, А. М. Гурин

Представлено академиком Ю.Л. Ершовым 15.08.2007 г. Поступило 21.09.2007 г.

Правильногранником будем называть многогранник, каждая грань которого либо составлена из двух выпуклых правильных многоугольников, либо является выпуклым правильным многоугольником, а сумма плоских углов в каждой его вершине меньше 2п. Каковы все выпуклые пра-вильногранники?

Базой для ответа на этот вопрос является классификация выпуклых правильногранников, каждый из которых при сечении любой плоскостью разбивается на многогранники, хотя бы один из которых правильногранником не является [1-3]. Разбивая правильногранник плоскостью на многогранники, договоримся, что они кроме граней или частей граней самого правильногранника содержат и грани, полученные пересечением данной плоскости с правильногранником и заключенным внутри него множеством точек. Если существует плоскость, разбивающая на два правильногранника выпуклый правильногранник, то его называют составным, в противном случае несоставным [1]. Несоставные многогранники в работе [1] названы простыми, но этот термин используется и для выпуклых многогранников, у которых в трехмерном случае из каждой вершины выходит по три ребра (см., например, [4]). Несоставными платоновыми телами являются додекаэдр, тетраэдр и куб. Октаэдр составлен из двух пирамид, а икосаэдр собирается из не менее трех несоставных тел.

Условным называют общее ребро граней, расположенных в одной плоскости. Очевидно, расположенные в одной плоскости (правильные) грани выпуклого правильногранника соединены условным ребром. Известно, что кроме (бесконечных) серий призм и антипризм существует только 28 несоставных многогранников без условных ребер [1]. Будем называть их многогранниками Залгаллера, хотя они были известны и до работы В.А. Залгал-

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева Физико-технический институт низких температур им. В.И. Веркина

Национальной академии наук Украины, Харьков

лера [1], в которой получили обозначение М1, Шъ ..., М28.

Выход в свет монографии [1] стал итогом работы многих лиц. Ее предыстория началась в 1946 г. Тогда Л.Н. Есаулова прислала из Ташкента на кафедру геометрии Ленинградского университета письмо, в котором, перечислив возможные типы вершин правильногранников без условных ребер, доказала, что кроме пяти правильных (платоновых) многогранников, 13 равноугольно-полуправильных (архимедовых) многогранников и двух бесконечных серий (тоже равноугольно-полуправильных призм П3, П5, П6, ... с правильными основаниями и квадратными боковыми гранями и антипризм А4, А5, ... с поясом боковых граней из правильных треугольников) может существовать лишь конечное число других правильногранников без условных ребер. Она приложила к письму схемы нескольких таких многогранников.

В 1961 г. это письмо получил В.А. Залгаллер, который в 1963 г. поставил задачу найти все несоставные правильногранники без условных ребер, отличные от призм и антипризм, и наметил путь (к сожалению, весьма трудоемкий) ее решения. Он был пройден к 1966 г., причем на многих шагах применялась компьютерная техника. Исследование целиком опубликовано в [1].

Американский геометр Н. Джонсон независимо от Л.Н. Есауловой задался тем же вопросом, причем продвинулся существенно дальше нее. Он, по-видимому, действовал эвристическим путем и кроме правильных и равноугольно-полуправильных многогранников нашел еще 92 выпуклых многогранника с правильными гранями. В его статье [5] дано название каждому из них (см. также [1]) и высказано предположение, что список этих 92 многогранников, называемых сегодня телами Джонсона, полон. Однако Н. Джонсон не располагал методом доказательства такой полноты. Теорема о полноте списка Н. Джонсона сформулирована в [1, с. 18] и сопровождена только совсем кратким указанием на путь доказательства -перебор прилеганий несоставных многогранников без условных ребер по целым граням.

В работах [2, 3], продолжающих (и проверяющих) работу [1], классифицированы несоставные

многогранники, некоторые грани которых содержат условное ребро. Оказалось, существует ровно шесть таких правильногранников Q1, Q2, ..., б6 (обозначения Б.А. Иванова и Ю.А. Пряхина), причем любое условное ребро каждого из них соединяет треугольники. Изображения выпуклых правильногранников без условных ребер можно найти в электронной энциклопедии (Ийр://таШ-world.wolfram.com).

Таким образом, в начале семидесятых годов прошлого века был известен список всех несоставных тел:

П3, П4, ...; A4, As, ...; M1, Ыг, ..., M1%, Qi, Ü2.~, Qe-

(i)

Правда, человеку, решившему проверить, почему других несоставных тел не существует, необходимо было внимательно прочитать более двух сотен страниц текста и проверить истинность вычислений. Такого рода неудобства классификационных доказательств в последние десятилетия удается обходить с помощью систем компьютерной алгебры. Действительно, применение этих систем позволяет проверять алгоритм, а не рассуждения и вычисления, заданные этим алгоритмом, при доверии, разумеется, к самим системам.

Анализ возможностей систем компьютерной алгебры показал, что упоминавшийся выше перебор прилеганий несоставных многогранников без условных ребер по целым граням поддается программированию. Уже первые шаги в этом направлении (описание алгебраических моделей многогранников и линейных групп их симметрий) позволили вместе с чисто геометрическими рассуждениями почти вручную перечислить все составные многогранники.

Теорема. Существует только 151 составной многогранник. Каждый из них представлен в виде соединения не более шести несоставных многогранников.

Решая задачу поиска всех выпуклых правильногранников, составленных из выпуклого пра-вильногранника Р и несоставного многогранника Q, необходимо получить ответ на два вопроса: будет ли многогранник Р + Q выпуклым и почему нет других выпуклых правильногранников вида Р + Q?

Опишем схему алгоритма, приводящего к ответу на эти вопросы, и проиллюстрируем ее для Р = М3 (пятиугольная пирамида) и Q = М9 (пятис-катная ротонда).

Пусть О - группа, М - множество, для каждого т е М и каждого g е О в М определен элемент mg. Напомним, что группа О действует на множестве М, если для ее единицы £ и ее элементов g1, g2 справедливы равенства = (mg1)g2 и т£ = т.

Множество тО = {mg| g е О} называют орбитой элемента т. Группу симметрий многогранника Р

Рис. 1. Ребра и фундаментальные грани пятискатной ротонды M9.

обозначают Aut(P). Она разбивает на орбиты множество его граней. Выбрав по представителю каждой орбиты, получаем множество фундаментальных граней. Так же определяются фундаментальные вершины и ребра. Таким образом, для получения всех соединений многогранников P и Q по их граням достаточно рассмотреть пары фундаментальных граней, одна из которых содержится в P, другая - в Q.

Выбрав такую пару (fP, fQ), найдем все соединения по граням fP и fQ. Пусть H - такая максимальная в Aut(P) подгруппа, что орбита fPH грани fP состоит только из самой этой грани. Очевидно, подгруппа H может быть только циклической группой к поворотов вокруг оси, проходящей перпендикулярно грани fP через ее центр, либо диэд-ральной группой порядка 2к, где к - делитель числа сторон грани fP. Введем обозначения: D2k - указанная группа диэдра (состоящая из к отражений, к - i нетождественного поворота и тождественной симметрии), Ск - циклическая группа поворотов, кратных повороту на к. Например, D2 . i -

группа второго порядка, содержащая отражение от плоскости, которая под прямым углом пересекает грань fP по ее оси симметрии. Кроме того, каждому фундаментальному ребру грани fP при действии группы H поставим в соответствие пару (cos ф, sin ф), где ф - угол между гранями, соединяемыми указанным ребром.

Итак, все соединения многогранников P и Q по граням сведены к перебору сочетаний фундаментальных ребер при действии подгруппы H на каждую их этих граней.

Например, Aut(M3) = Aut(M9) = D2 . 5. Фундаментальными гранями пирамиды M3 являются ее пятиугольное основание и треугольник. Ротонда M9 (рис. 1) содержит пять фундаментальных граней: параллельные пятиугольник и десятиугольник, боковые пятиугольник и два треугольника. Указанная выше подгруппа H для каждой боковой грани тел M3 и M9 является группой D2 . 1, единственная

ТИМОФЕЕНКО, ГУРИН

322

Рис. 2. Несоставной многогранник ^4 с фундаментальными вершинами.

Рис. 3. Несоставной многогранник Q6 с фундаментальными вершинами.

нетождественная симметрия которой - отражение от плоскости. Поэтому фундаментальная боковая треугольная грань имеет два фундаментальных ребра при действии группы Н, а боковая пятиугольная грань - три. Каждая другая фундаментальная грань многогранников М3 и М9 обладает единственным фундаментальным ребром, поскольку соответствующая подгруппа Н совпадает с группой симметрий Б2. 5. Перебор сочетаний фундаментальных ребер показывает, что из одной пирамиды М3 и одной ротонды М9 можно получить только два выпуклых правильногранника,

которые будем обозначать М3 + М9 и М3 + М'9,

причем Аи^М3 + М9) = Б2 . 1 и Аи^М3 + М'9) =

= ^ . 5.

Введенная в [1] система обозначений составных многогранников модернизирована. Она не только расширена обозначениями правильногранников с условными ребрами, но и может быть легко сформирована компьютером (при автоматическом переборе несоставных тел) в удобном и для пользователя виде. Сами обозначения вводятся ниже.

Предложение 1. Соединение по граням каждого несоставного тела, отличного от многогранника из списка

Пз, ..., П6, П8, П10; А4, А5, А6, А%, А10; М ..., М15,

М20, М22; Q4, Q6,

(2)

с любым выпуклым правильногранником не является выпуклым правильногранником.

Каждый из многогранников предложения 1 будем соединять с ним самим и с каждым многогранником, стоящим в списке (2) правее. Пусть Р и М - обозначения этих многогранников. Если по-

лучено соединение, которого нет среди уже построенных составных тел, и оно оказалось выпуклым

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком