КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 2, с. 202-207
УДК 541.183
К ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. 5. ЭНЕРГЕТИКА ТРЕЩИНЫ С МЕНИСКОМ И ПРЕДЕЛ ПРОЧНОСТИ
© 2014 г. А. И. Русанов
Менделеевский центр, Санкт-Петербургский государственный университет 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7 Поступила в редакцию 10.06.2013 г.
Проанализированы термодинамические соотношения для работы образования трещины с мениском в случае капиллярной конденсации и капиллярного испарения. Рассмотрены случаи конформного и глубинного механизма роста трещины. Показано, что одни лишь капиллярные силы не могут приводить к разрушению твердого тела при возникновении мениска в трещине. Установлены критерии прочности при хрупком разрушении и рассчитаны поправки, связанные с наличием мениска в трещине. Как правило, возникновение мениска снижает предел прочности.
Б01: 10.7868/80023291214010133
ВВЕДЕНИЕ
В продолжение этой серии работ [1—3] (см. также [4, 5]) мы в предыдущем сообщении [6] начали рассмотрение трещины с мениском, образующемся в результате капиллярной конденсации или капиллярного испарения (последнее является сравнительно новым явлением, происходящем при растрескивании твердого тела в среде несма-чивающей жидкости). Было рассчитано положение мениска в клиновидной трещине и установлены условия вхождения мениска как в клиновидную, так и в плоскопараллельную трещину. Было также проанализировано влияние температуры на позицию мениска (с ростом температуры он смещается от газовой к жидкой фазе). Наконец, были установлены закономерности поведения мениска в ходе роста трещины. Они зависят от механизма роста. При конформном механизме (когда трещина в ходе роста остается подобной самой себе) расстояние мениска от фронтальной линии трещины остается неизменным. При глубинном же механизме (когда постоянна ширина устья трещины) сохраняется не абсолютное, а относительное положение мениска (например, он все время находится в середине трещины).
Теперь, продолжая рассмотрение трещины с мениском, мы перейдем к расчету работы образования трещины. Здесь сразу встает вопрос о выборе термодинамического потенциала. Поскольку появление и рост трещин часто связаны с внешними нагрузками, для подобных расчетов требуются и особые термодинамические потенциалы, которых в классической теории не было. Имеющиеся в литературе попытки (см. обзор [5]) использовать для этой цели свободную энергию
или классическую энергию Гиббса не имели основания, ибо ни одна из этих функций не может служить термодинамическим потенциалом для нагруженного твердого тела. Впервые направленная энергия Гиббса вг (соответствующая одноосному нагружению) была введена в работе [7] (см. также [8]):
вг = Г - Егг¥, (1)
где Ш — свободная энергия, Егг — напряжение в направлении г и V — объем тела.
Функция Ог отвечает классической схеме испытания на прочность, когда внешняя сила направлена по нормали к плоскости трещины, и именно она использовалась в [2] для расчета работы.
В работе [4] была введена обобщенная энергия Гиббса для произвольно нагруженного тела
в* = Г - ( (Р • и)йА, (2)
(А)
где Р — вектор внешней силы, приложенной к единице поверхности тела, и — вектор смещения, интегрирование проводится по всей поверхности тела. Термодинамические потенциалы (1) и (2) успешно применялись в теории пустых трещин. Если же трещина, как в нашем случае, наполнена флюидными (подвижными) компонентами, то требуется новый термодинамический потенциал (автор назвал его /-потенциал), который определяется как [9]
/ = Г - ( (Р • и)^А - ^^, (3)
(А) '
где и N1 — химические потенциалы и числа молекул подвижных компонентов (в отношении них J выступает как большой термодинамический потенциал). /-потенциал имеет общетермодинамическое значение и действует при любых видах на-гружения. Для флюидных систем, когда единственным видом нагружения является однородное внешнее давление р, /-потенциал принимает вид
/ = Е + рУ - £
(4)
Jr = Е + раУ - ЕУ - £ цN ь
(5)
носику трещины; объем фазы а (которая может выходить за пределы трещины) уже не имеет значения.
Потенциал /г дает работу процесса при условии постоянства температуры, массы и внешнего нагружения твердого тела, внешнего давления и химических потенциалов подвижных компонентов. В частности, это может быть процесс роста трещины, хорошо отражаемый дифференциальным фундаментальным уравнением
где V — объем системы. Из (4) видно, что для гомогенной системы / = 0, и, следовательно, /-потенциал в этом случае бесполезен. Зато он эффективен и упрощает вычисления для гетерогенных систем с наличием поверхностей. Можно сказать, что /-потенциал как бы создан для коллоидной науки. На него мы и будем опираться в термодинамических расчетах.
ЭНЕРГЕТИКА ТРЕЩИНЫ С МЕНИСКОМ
Введем теперь термодинамический потенциал, непосредственно необходимый для наших расчетов. Рассмотрим случай одновременного действия двух видов нагружения твердого тела: наружного (например, атмосферного) давление ра и одноосного нагружения (напряжения) Е = Е„., перпендикулярного средней плоскости трещины. Тогда выражение (3) для /-потенциала принимает вид
сиг = + (ра - рв)СУв + + а айАа + орсА + уМ"* + С(кЕ).
(8)
В процессе продвижения трещины внешняя нагрузка, а с ней и состояние объемной фазы твердого тела не меняется. Меняется лишь сложное состоянии напряжений вблизи трещины, которое можно охарактеризовать избыточной величиной
Jr = ^Е со стороны объемной фазы твердого тела, где w — соответствующая работа на единицу длины фронтальной линии трещины. Используя замену dJsr = dJ? и учитывая, что в ходе роста прямолинейной трещины ее длина Е не меняется, приходим к выражению
dJr = (ра - рв)СУв + ааСАа +
(9)
+ авСАв + уСАав + ЕС(к + к). Суммарная площадь стенок трещины А скла дывается из площадей Аа и Ав:
Л = Л а + Лв.
где напряжение Е, естественно, уже отсчитывает-ся от наружного давления. Рассматриваемая система состоит из трех частей: самого твердого тела (будем отмечать его индексом 8), наружной фазы а, частично входящей в трещину, и фазы в, находящейся в носике трещины. Выделим из потенциала /г его часть Jsr, относящуюся к объемной фазе твердого тела
Jl = Е8 + раУ8 - ЕУ8, (6)
и, учитывая баланс объема V = V8 + Vй + Vе, запишем:
Jr = Jsr + (ра - рв)Ув + ааАа + арАв + уАав + кЕ, (7)
где Vх и Vе — объемы фаз а и в, ста и ав — макроскопические значения термодинамических поверхностных натяжений стенок трещины на границе с фазами а и в, Аа и Ав — суммарные площади контакта стенок с фазами а и в, У (=став) — поверхностное натяжение на границе фаз а и в (поверхностное натяжение мениска), Аав — площадь поверхности мениска, к и Е — термодинамическое линейное натяжение и длина фронтальной линии трещины. Отметим, что в выражении (7) остался объем только фазы в, примыкающей к
(10)
Учитывая соотношение (10) и заменяя разность давлений на у/г по формуле Лапласа (формула (1) в [6], г — радиус цилиндрической поверхности между фазами а и в), перепишем (9) как
dJr СУв - (аа - стУАр +
(11)
+ у СА^ + а с + ЕС(к + к).
Первые три члена в правой части (11) связаны с наличием мениска; в их отсутствие переходим на уровень теории, сформулированной ранее. При взгляде на второй член нельзя не вспомнить о классическом уравнении Юнга, которое в нашем случае имеет вид
аа - ав = ±у ео8 0,
(12)
где 9 — краевой угол, знак плюс соответствует капиллярной конденсации, а минус — капиллярному испарению. Однако с подстановкой (12) в (11) не следует спешить, поскольку условие (12) работает лишь в интервале 0 < 9 < я. Значения разности ств — ста могут не соответствовать этому интервалу, а потому выражение (11) в своем исходном виде является более общим, чем после подстановки (12).
Рис. 1. Верхняя половина профиля трещины с дополнительными построениями: г — радиус круговой цилиндрической разделяющей поверхности аЬ, к — расстояние ее оси от стенки трещины, 9 — краевой угол для случая капиллярной конденсации, а и Р — вспомогательные углы (а = 9 + ф, а + Р = я/2).
По этой причине мы продолжаем оперировать с выражением (11), и теперь нам нужно выбрать основную независимую переменную. Поскольку главным параметром роста трещины является ее глубина, то эту величину мы, как и ранее, выберем в качестве переменной и обозначим ее с (в [6] это была величина х0, но теперь переходим к классическим обозначениям). Мы также можем упростить выражение (11), поделив его на постоянную величину Ь. В результате имеем
dJr _ у dV
в
Рч dA
в
dc r dc dc
+ Y"
dA
ав
аdA , dK , dw --ha--h--h —,
dc dc dc dc
(13)
где все экстенсивные величины берутся на единицу длины фронтальной линии трещины (Vе имеет теперь размерность площади, а Ав, Аав и А — размерность длины). Нашей задачей становится нахождение выражений для первых четырех производных в правой части (13).
На рис. 1 приведена верхняя половина профиля трещины с дополнительными построениями, позволяющими читателю проверить геометрические соотношения
V = r
2 I cos
- sin 0 cos 0--+0+ф|, (14) tg ф 2
Ae = 2r|co^ - smt
tg Ф
= 2r (^-0-Ф1,
A =
2c cos ф
(15)
(16)
(17)
где 9 — краевой угол для случая капиллярной конденсации (в случае капиллярного испарения 9 заменяется на я — 9). Производные от величин (14)—(17) по с зависят от механизма роста трещины, и их нужно рассчитывать раздельно для конформного и глубинного механизмов.
Начнем с конформного роста трещины. При таком механизме угол ф сохраняется неизменным (не говоря уже об исходном постоянстве г и 9), и величины Vе, Ав, Аав становятся постоянными, так что их производные равны нулю. Заметим, что постоянство этих величин уже следует из доказанной в [6] неизменности положения мениска в ходе конформного роста трещины. Что касается общей площади стенок трещины А, то из (17) находим
dA
2
(18)
dc cosф
К этому надо прибавить, что при конформном росте прямолинейной трещины термодинамическое линейное натяжение к зависит от глубины трещины c только в нанометровом диапазоне и очень скоро принимает постоянное макроскопическое значение для заданного угла ф [3]. Поэтому для достаточно развитой трещины (какую мы и р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.