КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 3, с. 282-284
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 550.370
К ВОПРОСУ О НАХОЖДЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
© 2007 г. С. А. Романов
Институт космических исследований РАН, г. Москва Поступила в редакцию 22.03.2006 г.
РАС8: 94.05. -а; 94.30.cq
Проблема идентификации волн в космической плазме по результатам прямых измерений на спутниках Земли и дальних космических аппаратах интересует широкий круг исследователей. Она решалась разными способами с использованием одно-спутниковых измерений, когда проводился анализ отношений флуктуаций различных физических величин, регистрируемых на спутнике [1]. В числе пионерских работ в этом направлении можно назвать, например, работу [2]. В таких экспериментах по вариациям магнитного поля находился волновой вектор к и поляризация волны в системе отсчета спутника, однако, направления волновых векторов, как правило, нельзя было однозначно определить без каких-либо предположений о характере идущих процессов.
Двух-спутниковые измерения дали возможность находить направление проекции вектора к на ось, проходящую через оба аппарата. Дополняя этот результат анализом флуктуаций магнитного поля, находили направление к в пространстве [3]. Наконец, четыре аппарата проекта Кластер, летающие по одной орбите и расположенные в пространстве по отношению друг к другу в точках, соответствующих вершинам тетраэдра, позволили находить направления волновых векторов прямым способом по фазовым задержкам сигнала на разных КА [4]. Знание волнового вектора позволяет учесть сдвиг частоты из-за эффекта Доплера и перейти в систему отсчета, покоящуюся в плазме.
Для полного определения волновой моды, кроме волнового вектора и частоты в системе отсчета плазмы, необходимо находить также тип поляризации, соотношение главных осей эллипса поляризации и их положение в пространстве, а также направление вращения эллиптически поляризованной волны в системе плазмы. О некоторых аспектах решения этой задачи идет речь в настоящем сообщении.
Традиционным методом нахождения поляризационных характеристик поперечных волн служит метод, основанный на вычислении так называемых параметров Стокса, из которых получа-
ют все параметры эллипса поляризации ([5], §2). Однако, использование параметров Стокса в настоящее время не вполне оправдано, поскольку они являются лишь промежуточным результатом вычислений и сами по себе не представляют какого-либо интереса, в то время как существуют прямые и физически наглядные способы решения данной задачи.
Более подходящим для нахождения параметров поляризации по результатам измерений в плазме, является метод минимума вариаций ММВ [6]. В этом методе для описания и анализа полученной в эксперименте последовательности значений вектора флуктуаций магнитного (или электрического) поля используется тензор вариаций, элементы которого вычисляются по формуле:
1 п
Кав = П X (1)
г = 1
где а, в = 1, 2, 3; Б'а - проекция на ось а вектора вариации поля Вг(0, п - число измерений, t - момент времени г-ого измерения. Методами линейной алгебры находятся три собственных числа и соответствующие им три собственных вектора матрицы (1). Собственные числа равны квадратам соответствующих главных полуосей эллипсоида вариаций, а собственные векторы дают направления трех главных осей в пространстве. Таким образом получаются суммарные статистические характеристики колебаний величины Вг(0 во всем измеряемом диапазоне частот. Для того, чтобы получить этим способом параметры поляризации отдельных волновых мод, необходимо предварительно провести фильтрацию измеренного ряда данных с выделением интересующей частоты.
Возможен и другой путь, более эффективный и отвечающий задаче анализа всей совокупности колебаний измеряемой векторной величины В/О. Он заключается в том, чтобы применять технику вычисления собственных чисел и векторов не к матрице вариаций (1), где данные представлены в функции от времени, но к тензору поляризации,
К ВОПРОСУ О НАХОЖДЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ
283
составленному из компонент векторов, полученных в результате преобразования Фурье ряда В/О, зависящих от частоты и фазы. Тензор поляризации в произвольной системе координат определяется выражением ([7], §50):
4р(ю) = <Х* (ю)Хр(ю)>,
где а, в, = 1, 2, 3, Хх(ю), Х2(ю), Х3(ю) - проекции преобразования Фурье величины В/О на координатные оси, ю - круговая частота; звездочкой отмечена комплексно сопряженная величина; угловые скобки означают усреднение по интервалу Аю <§ ю. (Здесь комплексно сопряженная величина сознательно поставлена впереди, так как это диктуется расстановкой знаков в последующих формулах).
Следует заметить, что усреднение по интервалу частот Аю = 1/Тт, где Тт - длительность интервала, выбранного для анализа, получается автоматически при выполнении преобразования Фурье. Дополнительное усреднение по частоте и по ансамблю может быть сделано из соображений статистической значимости результатов, с учетом возможности достижения желаемого разрешения по частоте и по времени [8].
Применяя к 4р(ю) технику определения собственных чисел и векторов, находим искомые параметры эллипса поляризации, усредненные по интервалу Аю, для волн вблизи центральной частоты ю: нормаль к плоскости поляризации, эллиптичность-отношение малой оси эллипса к большой, направление вращения поля и положение в пространстве главных осей эллипса поляризации.
Отметим одно важное обстоятельство применения анализа собственных величин к тензору поляризации. Минимальное собственное число на каждой частоте ю в этом случае всегда оказывается равным нулю (эллипсоид вырождается в эллипс), и это понятно, поскольку здесь мы имеем дело только с одной (усредненной) частотой. Собственный вектор, соответствующий минимальному собственному числу, совпадает с нормалью к плоскости поляризации. Два других собственных числа представляют квадраты большой и малой полуосей эллипса поляризации, а соответствующие им собственные векторы дают направление этих осей в пространстве.
Направление вращения поля волны в (не вращающейся) системе отсчета, связанной с космическим аппаратом, может быть определено разными путями, но здесь хотелось бы привести изящный способ, основанный на понятии двух типов корреляции векторных величин. Указанное понятие было введено в работе [9]. Там было показано, что для флуктуирующих векторных полей естественным образом определяются два типа корреляции: векторный и скалярный - и соответствующие им векторный и скалярный перекрестный и авто-
спектры. Приведем здесь формулы для вычисления спектральных плотностей мощности скалярного и векторного V авто-спектров.
5(ю) = ■-У <Х*(ю)Х(ю)>,
1 = 1
¥,(ю) = 1т
, , ч 1 + 12 (-1) пх
(2)
(3)
х <X*(ю)X,(ю) -X*(ю)(ю)>
В последней формуле: 1 ,к = 1, 2, 3 характеризуют координатные оси; три проекции вектора V(ю) на эти оси получаются круговой перестановкой указанных индексов. Связь (2) и (3) с тензором поляризации очевидна.
Из (2) и (3) видно, что первая формула представляет собой скалярное произведение вектора Х(ю) и его комплексно сопряженного вектора, а вторая - их векторное произведение. В работе [9] показано, что вектор V(ю) направлен по нормали к плоскости поляризации, и по вектору угловой скорости волнового поля анализируемой частоты (т.е. дает направление вращения на данной частоте).
Свойства спектров V(ю) и 5(ю) позволяют также определить абсолютные значения осей эллипса поляризации, не прибегая к анализу собственных чисел тензора поляризации. Как следует из анализа, выполненного в работе [9], модули скалярной и векторной спектральных плотностей выражаются через полуоси эллипса поляризации следующим образом (далее в формулах зависимость от ю опускается для краткости записи) :
5 = а2 + Ъ2,
(4)
V = 2 аЪ, (5)
где а и Ъ - большая и малая полуоси эллипса поляризации на частоте ю;
V = IV (ю)|.
Из (4) и (5) следуют формулы для нахождения величин а, Ъ и е:
а = 2 ,
ъ = 2 (*5+У -45^),
е = Ъ /а.
Величина е(ю) изменяется в пределах: от нуля при ^ю) = 0, до 1 при ^ю) = 5(ю). Первый случай соответствует линейной поляризации, второй -круговой. (Всегда выполняется соотношение ^ю) < 5(ю) [9].) Знак е обычно берется равным знаку проекции вектора угловой скорости волны
п
284
РОМАНОВ
на среднее магнитное поле. Правое вращение по отношению к магнитному полю дает знак плюс, а левое - знак минус. Поскольку вектор угловой скорости совпадает по направлению с У(ю), для определения знака вращения волны относительно фонового магнитного поля В0 или относительно волнового вектора к достаточно умножить скалярно У(ю) на соответствующий вектор.
Надо помнить, однако, что знак вращения волны определяется в системе координат космического аппарата, и при переходе в систему отсчета плазмы из-за эффекта Доплера этот знак может смениться на противоположный. Признаком тому будет служить факт получения отрицательного значения частоты в системе покоящейся плазмы в результате учета эффекта Доплера.
Точность определения перечисленных параметров зависит как от принимаемых мер по максимизации статистической значимости результата путем разумных усреднений, не приводящих еще к недопустимым потерям в разрешении по частоте и по времени, так и от поляризационных свойств объекта исследования.
Если интервал наблюдения, взятый для обработки, содержит несколько периодов когерентного сигнала, хотя бы и смешанного с сигналами на соседних частотах и с шумом, то можно утверждать, что в большинстве случаев абсолютные значения осей эллипса поляризации и их отношения находятся с приемлемой ошибкой.
Что же касается направления нормали к плоскости поляризации, то она теряет смысл в случае, если волна обладает линейной поляризацией. Поэтому при малых абсолютных значениях £ ошибка в определении положения нормали по отношению к ее повороту вокруг большой оси становится большой. И соответственно растет вероятность ошибиться в знаке вращения. Но в таких случаях физически более значимым делается направление в пространстве большой оси, точность нахождения которого растет с уменьшением £. А направление вращения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.