научная статья по теме К ВОПРОСУ О ПЕРЕХОДНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ НЕМАТИКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. I. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, ВОЗНИКАЮЩАЯ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА Химия

Текст научной статьи на тему «К ВОПРОСУ О ПЕРЕХОДНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ НЕМАТИКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. I. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, ВОЗНИКАЮЩАЯ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА»

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2014, том 59, № 1, с. 116-122

ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ

УДК 532.783

к вопросу о переходной гидродинамическом

неустойчивости нематиков в магнитном поле. i. неустойчивость, возникающая при деформации

поперечного изгиба © 2014 г. А. В. Голованов, Е. Н. Рыжов*

Институт элементоорганических соединений РАН, Москва

E-mail: gav@ineos.ac.ru *Волгоградский государственный технический университет Поступила в редакцию 03.04.2013 г.

Для эффекта переходной гидродинамической неустойчивости, возникающей в нематиках при деформации поперечного изгиба в магнитном поле, аналитически получена зависимость h 2(q2) — квадрата безразмерной напряженности магнитного поля от квадрата безразмерного волнового вектора доменной структуры. Показано, что: процесс доменообразования связан с элементарной катастрофой типа складки; квадрат критического поля доменообразования hD определяется из условия

5[h2(<7 2)]/d(q2) = 0; функция h2(q2) в общем случае является отношением двух многочленов, коэффициенты которых для каламитиков определяются комбинациями четырех безразмерных вязко-

стей П1, Пб/П1, П7/П1, П8/П1; частное от деления многочленов при больших q2 совпадает с квадратичной функцией, что позволяет экспериментально определять безразмерные вязкости ц2/П1, Пб/ П1, П11П1, а 2 П1. DOI: 10.7868/S0023476114010056

ВВЕДЕНИЕ

Эффект переходной гидродинамической неустойчивости нематиков в магнитном поле (МП) известен давно [1—3]. Это явление характерно появлением системы темных и светлых полос в слое жидкого кристалла, если его внести в МП, напряженность которого больше, чем критическое поле Фредерикса ИР для данного слоя. Система полос, представляющая собой линии вихря, получила название доменная структура (ДС) или магнитогидродинамические (МГД)-домены. Отличие МГД-неустойчивости от электрогидродинамической [4] состоит в том, что ДС в первом случае является переходной — при включении МП домены появляются, развиваются и затем исчезают.

В [1] теоретически и экспериментально изучены МГД-домены, возникающие при деформации поперечного изгиба в типичном термотропном нематике я-метоксибензилиден-я-бутиланилине (МББА). Здесь из уравнений нематодинамики

получены дисперсионные зависимости s(q ) (обратного времени включения доменов от квадрата

безразмерного волнового вектора $2) при различных значениях квадрата безразмерной напряженности МП к .

Было показано, что функция х( $2, к2) (в одно-константном приближении) определяется комбинациями шести коэффициентов вязкости Лесли а; и коэффициентом вращательной вязкости у1. Также экспериментально определена зависи-

2 2 2 2 мость ¿Ц (к ). Для анализа функции s(q ,к ) в качестве модельной системы выбран МББА, так как для него все эти коэффициенты измерены [5]. Отметим, что хотя в [1] и получена экспериментальная зависимость $2 (к2), но ее вид аналитически не определен. Она была задана графически как кривая, пересекающая функцию s($ ) в максимумах, соответствующих наиболее быстрому росту неустойчивости, при различных значениях к2. Кроме того, ни теоретически, ни экспериментально не был решен вопрос о нахождении критического поля доменообразования.

Однако в [6], где теоретически рассматривалась задача о возникновении МГД-доменов в не-матике при деформации кручения, показано, что

зависимость к2(#2) является квадратичной функцией с коэффициентами, представляющими собой комбинации безразмерной константы упругости и двух безразмерных коэффициентов вязкости.

Квадрат порогового поля доменообразования к2в,

являющийся точкой фазового перехода второго рода, определяется отношением безразмерной константы упругости и вязкости. В [7] для лио-тропного нематика в системе краситель дисуль-фоиндантрон—вода при исследовании ДС, возникающей из деформации кручения в МП, определены коэффициенты функции к2(д2) и на их основе вычислены безразмерные константа упру-

К

гости —, коэффициенты вязкости П и

К2 а 4 у 4

Цель настоящей работы — получение явного

вида функции к2(д2), описывающей ДС, возникающую при деформации поперечного изгиба, исследование качественного механизма доменно-образования и определение квадрата порогового

поля доменообразования к2в. Это позволит использовать полученные данные в экспериментах по изучению МГД-доменов, например, в лио-тропных каламитиках.

2

а 2

Рассмотрим дисперсионную зависимость s(q2, к2),

(1)

полученную (в приближении К1 = К3) в [1]:

г2/,2 ~2

5 _ X дНЖ - С - 1) 2 2 ' (а2С -аз)

У1 15-~2-

П2 С + N +П1

где х а — анизотропия диамагнитной восприимчивости, НР — критическое поле Фредерикса для деформации поперечного изгиба, к = Н-, д = —,

Нр

п 1

д* -—, а — толщина слоя нематика, * й

П1 = 2 (аз + а 4 +а 6) П2 = 2 (-а 2 + а 4 +аз), N = П5 - П4 - П6 + а4(*), П4 = 2(-аз + а4 + аб),

П5=а1+а4+а5+а6, П6=2(+а4+а5)

а,- — коэффициенты вязкости Лесли, у1 — вращательная вязкость. Соотношение (*) сводится к комбинации четырех коэффициентов Лесли, а именно: N = а1 + а3 + а4 + а5 = а1 + а4 + а6 - а2.

Как видно из (1), поведение функции 5( д2, к2) определяется семью коэффициентами. Покажем, что при определенных допущениях количество коэффициентов можно сократить. Для этого преобразуем (1) к следующему виду:

5 = ■

У1

ХаНР

П2

(к2 - с

2

а2 ~4

- ч

У1;

(2)

2а 2а3 У1

С2 +

П1

2

а 3

У1.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

здесь введено обозначение п7 = N.

В [8] приведены данные по значениям коэффициентов вязкости Месовича п1, П2 и вращательной вязкости у1 для некоторых термотропных каламитиков. Из этих данных следует, что для всех представленных жидких кристаллов выполняется примерное равенство

12 У1

1.

(**)

Положим этот факт в основу дальнейших рассуждений. Тогда можно показать, что коэффициенты многочлена, стоящего в знаменателе правой части уравнения (2), преобразуются следующим образом:

2

а 2

П2 ; У1

П6,

П7 +

2а 2а 3 У1

а1 + а4 + а5 - а3 = ,

П1 -

2

а3 У1

П1.

Это позволяет записать (2) как

2 2 (к -д- 1)(ад + Ьд + 1)

ед2 + йд + 1

(3)

— характерное время задачи, д = д

у

где т 0 = \т п К11

а = П2, ь = П, е = П, й = П. П1 П1 П1 П1

На рис. 1 представлено семейство кривых 5(д),

параметризованных переменной к2 (здесь для определения величин а, Ь, с и а использованы значения коэффициентов вязкости МББА [5]: а = 4.35; Ь = 1.09; е = 5.66; й = 5.76). Из рис. 1 видно, что кривая 5(д) трансформируется — монотонное убывание при некотором значении к 2 (кривые 1—4) заканчивается, и на кривой появляются локальные минимум и максимум (кривые 5—

8), которые при дальнейшем увеличении к2 не исчезают. Такое поведение функции под действием некоторого параметра называется катастрофой складки, а параметр, отвечающий за трансформацию, является управляющим параметром [9].

Таким образом, появляется возможность исследовать поведение (3) с помощью математического аппарата теории катастроф [10, 11].

х

Ч

*

Рис. 1. Семейство кривых $($), параметризованных

переменной к2. к2 = 1 (7), 2.37 (2), 3.03 (3), 3.74 (4), 4.20 (5), 4.84 (б), 5.48 (7), 6.45 (5).

Рис. 2. Положение критических точек £(#,к ) как функции к 2.

В данном случае катастрофа складки задается семейством функций (3), зависящих от одного

2 Ле

управляющего параметра к . Уравнение — = 0

определяет многообразие катастрофы. Задача сводится к нахождению критических точек (КТ) катастрофы и дважды вырожденных КТ, которые

определяются соответственно из уравнений — = 0 й2 £

и —2 = 0, а также к определению типа устойчивости функции в КТ.

Функция, принадлежащая семейству (3), при значении параметра к2 < 3.74 не имеет КТ, при

к2 = 3.74 имеет одну дважды вырожденную КТ, а при к2 > 3.74 — две КТ (рис. 1).

Таким образом, параметр к2 является бифуркационным, так как его изменение приводит к тому, что вырожденная КТ распадается на две критические морсовского типа [10].

Далее, геометрическое место КТ определяется решением уравнения четвертой степени

аЬ$4 + 2ай$3 + (За + сй + ай - Ьс - Ь)$2 +

+ 2 (а + с - Ь+ (1 + с - й) - (4)

- к2[(ай - Ьс2 + 2 (а - Ь) + (с - й)] = 0

при различных значениях к . Из (4) находим функцию, задающую критическое многообразие

к2 аЬ$ + 2ай$ + (За + сй + ай - Ьс - Ь)$ + 2(а + с - Ь)$ + (1 + с - й)

(ай - Ьс)$ + 2 (а - Ь)$ + (с - й)

(5)

Критическое многообразие, задаваемое функцией (5), изображено на рис. 2.

Дважды вырожденная КТ функции *?($), явля-

2

ющаяся минимумом функции к (ф, расположена в пространстве Я2 с координатой # = 0.26 при соответствующем параметре к2 = 3.74 (рис. 3). Эта точка в данном случае является неморсовской бифуркационной [10].

Исследование качественного механизма возникновения ДС по существу раскрывается через исследование локального поведения функции *?( $). Вследствие двукратного вырождения КТ локальное поведение графика функции будет определяться членами не ниже третьего порядка. Поэто-

му аппроксимационные формулы следует искать в классе кубических полиномов. Ниже будет показано, что при достаточно больших # учет кубической нелинейности является достаточным и дает вполне удовлетворительные результаты.

Проведем исследование локального поведения функции £(с)к2=3 74 (рис. 1, кривая 4) в окрестности дважды вырожденной КТ # = 0.26 для выяснения типа устойчивости функции [10, 11]. Разложим (3) в ряд Тейлора в окрестности КТ, удерживая в разложении члены третьего порядка. В результате имеем

С3 ( - 0.26)3 + С2 ( - 0.26)2 + + С1 ( - 0.26) + С0,

к2 12

0.9 д

0\у

3

Рис. 3. Критическое значение управляющего параметра является точкой минимума функции к 2(д).

где С3 = (0.58 - 0.59к2), С2 = (-0.64 + 0.17Г),

С1 = (-1.62 + 0.43к2), С0 = (-1.35 + 1.0 8к2). Функция (6) — это кубическая парабола вида

Г « С3С'3 + С2С'2 + С С + Се, (7)

рассматриваемая в новой системе координат, где с' = с - Се и Се = 0.26.

Известно [11], что действие малых возмущений на функцию / (добавление к рассматриваемой функции малой поправки р), имеющую КТ, либо сохраняет, либо изменяет их тип. С этой точки зрения второе, третье и четвертое слагаемые в

(7) являются возмущением функции С3д'3. Так как

коэффициент С3 для любого к > 1 остается отрицательным и его значения не влияют на появление не

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Химия»